Оҡшашлыҡ

Оҡшаш фигуралар Боронғо Грецияла беҙҙең эраға тиклем V—IV быуаттарҙа ҡаралған; улар Гиппократ Хиосский, Архит Тарентский, Евдокс Книдский хеҙмәттәрендә һәм Евклидтың «Башланғыстар»ының VI китабында осрай.

• Теләһә ниндәй гомотетия оҡшашлыҡ була.
• Теләһә ниндәй хәрәкәтте (шул иҫәптән тождестволы) шулай уҡ ${\displaystyle k=1}$ коэффициенты менән оҡшашлыҡ үҙгәртеүе тип ҡарарға була.

• Әгәр ${\displaystyle F\mapsto F'}$ булған оҡшашлыҡ үҙгәртеүе булһа, ${\displaystyle F}$ фигураһы ${\displaystyle F'}$ фигураһына оҡшаш тип атала.
  • Фигураларҙың оҡшашлығы эквивалентлылыҡ бәйләнеше була.
  • Оҡшашлыҡты тамғалау өсөн ${\displaystyle \sim }$ — тамғаһы ҡулланыла, ${\displaystyle F}$ һәм ${\displaystyle F'}$ фигуралары оҡшаш тигәнде ${\displaystyle F\sim F'}$ тип яҙып була.

Фигуралар оҡшашлығы бик күп төҙөүгә мәсьәләләр эшләүгә ярҙам итә.

Оҡшашлыҡ методы шунан тора, мәсьәләләге ҡайһы бер бирелештәр буйынса тәүҙә эҙләнгән фигураға оҡшаш фигура төҙөйҙәр, ә аҙаҡ эҙләнгән фигураға күсәләр.Был метод, бер генә бирелгән дәүмәл оҙонлоҡ, ә ҡалғандары — йәки мөйөштәр, йәки киҫектәр сағыштырмаһы булған осраҡта бигерәк тә уңайлы.

Оҡшашлыҡ методына мәсьәләнең классик миҫалы булып, бирелгән мөйөштөң ике яғына тейеүсе һәм бирелгән нөктә аша үтеүсе әйләнә төҙөү тора^[1]

• Оҡшашлыҡ Евклид арауығын үҙенә үҙ-ара бер мәғәнәле сағыштырыу була.
• Оҡшашлыҡ яҫылыҡты аффинналы үҙгәртеү була.
• Оҡшашлыҡ тура һыҙыҡта нөктәләрҙең урынлашыу тәртибен һаҡлай, йәғни әгәр ${\displaystyle B}$ нөктәһе ${\displaystyle A}$ һәм ${\displaystyle C}$ нөктәләре араһында ятһа һәм ${\displaystyle B'}$ , ${\displaystyle A'}$ , ${\displaystyle C'}$ — ниндәйҙер оҡшашлыҡта уларҙың ярашлы образдары булһа, ул саҡта ${\displaystyle B'}$ нөктәһе шулай уҡ ${\displaystyle A'}$ һәм ${\displaystyle C'}$ нөктәләре араһында ята.
• Бер тура һыҙыҡта ятмаған нөктәләр, теләһә ниндәй оҡшашлыҡта, бер тура һыҙыҡта ятмаған нөктәләргә күсәләр.
• Оҡшашлыҡ тура һыҙыҡты тура һыҙыҡҡа, киҫекте киҫеккә, нурҙы нурға, мөйөштө мөйөшкә, әйләнәне әйләнәгә күсерә.
• Оҡшашлыҡ кәкере һыҙыҡтар араһындағы мөйөш дәүмәлен һаҡлай.
• Коэффициенты ${\displaystyle k\not =1}$ булған оҡшашлыҡ, теләһә ниндәй тура һыҙыҡты уға параллель булған тура һыҙыҡҡа сағылдыра, ${\displaystyle k}$ йәки ${\displaystyle -k}$ коэффициенты менән гомотетия була.
  • Һәр оҡшашлыҡты ${\displaystyle D}$ хәрәкәте менән ниндәйҙер ыңғай коэффициентлы ${\displaystyle \Gamma }$ гомотетияның композицияһы итеп ҡарарға була.
  • Оҡшашлыҡ үҙ (үҙ түгел) тип атала, әгәр ${\displaystyle D}$ хәрәкәте үҙ (үҙ түгел) булһа. Үҙ оҡшашлыҡ фигураларҙың ориентацияһын һаҡлай, ә үҙ булмағаны — ориентацияны ҡапма-ҡаршыға үҙгәртә.
• Ике өсмөйөш оҡшаш була, әгәр
  • уларҙың ярашлы мөйөштәре тигеҙ булһа, йәки
  • яҡтары пропорциональ булһа. Шулай уҡ ҡарағыҙ Өсмөйөштәрҙең оҡшашлыҡ билдәләре.
• Оҡшаш фигураларҙың майҙандарының сағыштырмаһы уларҙың оҡшаш һыҙыҡтарының (мәҫәлән, яҡтарының) квадраттарына пропорциональ. Шулай, түңәрәктәрҙең майҙандары уларҙың радиустары квадраттары сағыштырмаһына пропорциональ.

3-үлсәмле Евклид арауығында оҡшашлыҡ шулай уҡ билдәләнә ( юғарыла һынап кителгән үҙсәнлектәре һаҡлана), һәм шулай уҡ n-үлсәмле Евклид һәм псевдоевклид арауығында.

Үлсәмле арауыҡтарҙа, ${\displaystyle n}$ -үлсәмле Риманов, псевдориманов һәм Финслер арауыҡтарындағы кеүек, оҡшашлыҡ арауыҡтың үлсәмен үҙ-үҙенә даими ҡабатлашыусыға тиклем аныҡлыҡ менән күсереүсе үҙгәртеү һымаҡ билдәләнә.

n-үлсәмле Евклид, псевдоевклид, Риманов, псевдориманов йәки Финслер арауыҡтарының бөтә оҡшашлыҡтары йыйылмаһы, ярашлы арауыҡтың оҡшашлыҡ (гомотетик) үҙгәртеүҙәр төркөмө тип аталған, ${\displaystyle r}$ -быуынлы Ли үҙгәртеүҙәре төркөмөн төҙөй.Күрһәтелгән типтағы һәр арауыҡта ${\displaystyle r}$ -быуынлы Ли оҡшашлыҡ үҙгәртеүҙәре төркөмөндә хәрәкәттәрҙең ${\displaystyle (r-1)}$ -быуынлы нормаль аҫтөркөмө бар.

• Өсмөйөштәрҙең оҡшашлыҡ билдәләре
• Конгруэнтлыҡ (геометрия)
• Конформлы сағылыш
• Симметрия
• Үҙоҡшашлыҡ

• Равенство и подобие геометрических фигур.
• Граве Д. А. Гомотетические фигуры // Брокгауз һәм Ефрондың энциклопедик һүҙлеге: 86 томда (82 т. һәм 4 өҫтәмә том). — СПб., 1890—1907. (рус.)