Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)

Podobieństwo to przekształcenie przestrzeni metrycznej ${\displaystyle (X,d)}$ na siebie spełniające dla dowolnych dwóch punktów ${\displaystyle M,N}$ i pewnej liczby ${\displaystyle k>0}$ zależność:

${\displaystyle d(M',N')=k\cdot d(M,N),}$

gdzie punkty ${\displaystyle M',N'}$ są obrazami punktów odpowiednio ${\displaystyle M,N,}$ a ${\displaystyle d}$ – metryką (odległością) dwóch dowolnych punktów zbioru ${\displaystyle X.}$

Liczbę ${\displaystyle k}$ nazywa się skalą bądź stosunkiem podobieństwa.

Gdy ${\displaystyle k=1,}$ podobieństwo jest izometrią.

W szczególności ${\displaystyle X}$ może być prostą, płaszczyzną lub przestrzenią trójwymiarową ze zwykłą odległością euklidesową.

Podobieństwem nazywa się również relację równoważności zdefiniowaną następująco:

dwie figury są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą.

Często fakt podobieństwa figur ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ oznacza się symbolicznie jako ${\displaystyle A\sim B.}$

Figurami podobnymi są dowolne dwa odcinki, dwa okręgi, koła, sfery, kule, wielokąty foremne o tej samej liczbie boków, wielościany foremne o tej samej liczbie ścian, parabole.

• Złożenie podobieństw o skalach ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ jest podobieństwem o skali ${\displaystyle k_{1}k_{2}.}$
• Przekształcenie odwrotne do podobieństwa o skali ${\displaystyle k}$ jest podobieństwem o skali ${\displaystyle {\frac {1}{k}}.}$
• Dowolne podobieństwo przestrzeni euklidesowej jest złożeniem izometrii i jednokładności o skali równej skali podobieństwa^[1].
• Dowolne podobieństwo niebędące izometrią ma dokładnie jeden punkt stały przekształcenia.

Z definicji oraz powyższych własności wynika, że w figurach podobnych w przestrzeniach euklidesowych:

• stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa,
• odpowiadające sobie kąty są przystające,
• stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa,
• stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.

Podobieństwa tworzą grupę przekształceń geometrycznych.

Prosta

Na prostej można wyróżnić następujące rodzaje podobieństw^[2]:

• parzyste
  • tożsamość,
  • przesunięcie (translacja);
• nieparzyste
  • jednokładność.

Płaszczyzna

Na płaszczyźnie można wyróżnić następujące rodzaje podobieństw^[3]:

• parzyste
  • tożsamość,
  • przesunięcie (translacja),
  • jednokładność,
  • podobieństwo spiralne.
• nieparzyste
  • symetria osiowa,
  • symetria z poślizgiem,
  • symetria dylatacyjna.

• indeks Jaccarda
• odległość Hamminga (podobieństwo ciągów)
• podobieństwo macierzy
• proporcjonalność
• przystawanie

• Marek Kordos, Lesław Włodzimierz Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 290–292, 306–313, 330–332.