Funció signe

La funció signe té com a domini de definició ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (el conjuint dels nombres reals) i com a imatge el conjunt ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$ .

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\operatorname {sgn} :&\mathbb {R} &\to &\{-1,0,1\}\\&x&\to &y=\operatorname {sgn}(x)\end{array}}}$

A partir d'aquí, i per tal d'obtenir la funció signe, trobem entre les definicions possibles les següents.

Definició directa

La definició més usual és per trossos:^[1]

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x):=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{si }}x>0\\0,&{\mbox{si }}x=0\\-1,&{\mbox{si }}x<0\end{matrix}}\right.}$

A partir de la funció valor absolut

Com a derivada

Sigui ${\displaystyle {|x|}}$ la funció valor absolut sobre ${\displaystyle x}$ (que recordem està definida sobre ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}}$ i no pas sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ) i sigui ${\displaystyle {\dfrac {d|x|}{dx}}}$ la seva derivada. Aleshores podem definir

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x):=\left\{{\begin{matrix}{\dfrac {d|x|}{dx}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{matrix}}\right.}$

Com a quocient

Sigui ${\displaystyle {|x|}}$ la funció valor absolut sobre ${\displaystyle x}$ (que recordem està definida sobre ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}}$ i no pas sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ). Aleshores podem definir^[1]

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x):=\left\{{\begin{matrix}{\dfrac {x}{|x|}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{matrix}}\right.}$

A partir de la funció esglaó unitari

Sigui ${\displaystyle {u(x)}}$ la funció esglaó de Heaviside o funció esglaó unitari (coneguda en anglès com Heaviside Step) que pren els valors

${\displaystyle u(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{si }}x>0\\{\frac {1}{2}},&{\mbox{si }}x=0\\0,&{\mbox{si }}x<0\end{matrix}}\right.}$

Aleshores, podem definir^[1]

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x):=2u(x)-1}$

Amb claudàtors d'Iverson

Una definició senzilla de la funció signe a partir de claudàtors d'Iverson és ${\displaystyle \operatorname {sgn} {(x)}:=[x>0]-[x<0]}$ .

A partir de les funcions de part entera i de valor absolut

Fent servir la funció de part entera de ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ i la funció valor absolut de ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle |x|}$ , podem definir

${\displaystyle \ \operatorname {sgn}(x)={\Bigg \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Bigg \rfloor }-{\Bigg \lfloor }{\frac {-x}{|-x|+1}}{\Bigg \rfloor }}$ .

• La funció signe és una funció imparella, és a dir:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(-x)=-\operatorname {sgn}(x)\qquad \forall {x}\in \mathbb {R} \,.}$

• Tot nombre real ${\displaystyle x}$ es pot expressar com a producte del seu valor absolut i la funció signe avaluada en ${\displaystyle x}$ , és a dir:

${\displaystyle x=\operatorname {sgn}(x)\cdot |x|\,\qquad \forall x\in \mathbb {R} \,.}$

• La funció signe és la derivada de la funció valor absolut en ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}}$ , és a dir

${\displaystyle {d|x| \over dx}=\operatorname {sgn}(x)\qquad \forall x\neq 0\,.}$

• La funció signe és derivable amb derivada 0 per tot el seu domini excepte en el valor 0. No és derivable en 0 en el sentit ordinari de derivada, però sota una noció més general de derivada dins de la teoria de distribucions, la derivada de la funció signe és dues vegades la funció delta de Dirac,^[2] és a dir

${\displaystyle {d\ \operatorname {sgn}(x) \over dx}=2\delta (x)\,.}$

on ${\displaystyle \delta (x)}$ és l'esmentada funcìó delta de Dirac.

• La funció signe és el límit de la següent successió de funcions

${\displaystyle {f}_{k}(x)=\tanh(kx)}$

on ${\displaystyle \tanh(x)}$ és la funció tangent hiperbòlica de ${\displaystyle x}$ . Per tant, podem expressar

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\tanh(kx)=\operatorname {sgn}(x)\,.}$

Òbviament la convergència en aquest últim cas no és uniforme, és només puntual.

• La funció ${\displaystyle f(x,\epsilon )={\frac {x}{\sqrt {{x}^{2}+{\epsilon }^{2}}}}}$ tendeix a la funció signe de ${\displaystyle x}$ quan ${\displaystyle \epsilon }$ tendeix a zero. És a dir:

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}f(x,\epsilon )={\frac {x}{\sqrt {{x}^{2}+{\epsilon }^{2}}}}=\operatorname {sgn} {(x)}\qquad x\in \mathbb {R} }$ .

• La funicó signe és també el producte de l'arrel quadrada de tot nombre real diferent de zero per l'arrel quadrada del seu invers,^[1] és a dir:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {1 \over x}}\qquad \forall x\neq 0\,.}$

La funció signe se sol generalitzar al conjunt dels nombres complexos com a:^[1]

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {z}{|z|}},&{\mbox{si }}z\neq 0\\0,&{\mbox{si }}z=0\end{matrix}}\right.}$

D'aquesta manera, per tot ${\displaystyle z\neq 0}$ , el signe d'un nombre complex ${\displaystyle z}$ és el punt del cercle unitat del pla complex més proper a ${\displaystyle z}$ . Per tant, tenim que

${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)=e^{i\arg {(z)}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \backslash \{0\}\,,}$

on ${\displaystyle \arg {(z)}}$ és la funció argument complex.

La tria de ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}$ en la generalització pels nombres complexos es basa fonamentalment en dotar la funció de coherència amb la seva versió sobre els nombres reals. De no fer-ho, Rich i Jeffrey proposen interpretar ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)}$ com un punt no especificat del cercle unitat del pla complex.^[3]

Una altra generalització de la funció signe a ${\displaystyle \mathbb {C} }$ és la funció ${\displaystyle \operatorname {csgn} (z)}$ per ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ que es defineix com:^[4]

${\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}\operatorname {sgn}(\mathrm {Re} (z))&{\text{si }}\mathrm {Re} (z)\neq 0,\\\operatorname {sgn}(\mathrm {Im} (z))&{\text{si }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}\qquad ={\begin{cases}1&{\text{si }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{si }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn}(\mathrm {Im} (z))&{\text{si }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}$

on ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$ és la part real de ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)}$ és la part imaginària de ${\displaystyle z}$ .

Amb aquesta definició tenim les següents propietats:

• Coincidència amb la funció signe sobre els reals, és a dir:

${\displaystyle \operatorname {csgn} (x)=\operatorname {sgn}(x)\qquad \forall x\in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \backslash \{0\}}$ .

En el context de les funcions generalitzades o distribucions, es pot definir la distribució signe ${\displaystyle \varepsilon {(x)}}$ tal que ${\displaystyle {\varepsilon {(x)}}^{2}=1\quad \forall x\in \mathbb {R} }$ , per tant també en ${\displaystyle x=0}$ (a diferència del que passa amb la funció signe, que pren valor ${\displaystyle \operatorname {sgn} {(0)}=0}$ ). La construcció d'aquesta funció signe generalitzada ${\displaystyle \varepsilon {(x)}}$ permet la construcció d'una àlgebra de funcions generalitzades, però a costa de perdre la commutativitat. En particular, la funció sigma generalitzada ${\displaystyle \varepsilon {(x)}}$ anticommuta amb la funció delta de Dirac:^[5]

${\displaystyle \varepsilon {(x)}\delta {(x)}+\delta {(x)}\varepsilon {(x)}=0~}$ .

Una altra contrapartida és que ${\displaystyle \varepsilon {(x)}}$ no pot avaluar-se en ${\displaystyle x=0}$ mentre que la funció signe sí, amb ${\displaystyle \operatorname {sgn} {(0)}=0}$ .