Signum-funktio

Vaihtoehtoisia määritystapoja

Kun ${\displaystyle x\neq 0}$ , se voidaan laskea myös muodossa

${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}},}$ ^[1]

missä ${\displaystyle |x|}$ tarkoittaa ${\displaystyle x}$ :n itseisarvoa. Se voidaan ilmaista myös erään yksiportaisen askelfunktion Heavisiden funktion ${\displaystyle H(x)}$ avulla:

${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1.}$ ^[1]

Parittomuus

Signum-funktio on pariton funktio, sillä positiiviselle luvulle ${\displaystyle a>0}$ pätee ${\displaystyle \operatorname {sgn}(-a)=-1=-(+1)=-\operatorname {sgn} a,}$ koska ${\displaystyle \operatorname {sgn} a=+1}$ .

Muita ominaisuuksia

Signumin avulla voidaan laskea itseisarvo ${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn} x}$ .^[6] Toisaalta voidaan kirjoittaa myös ${\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x}$ .

Reaalilukujen kertolaskun merkkisääntö voidaan ilmaista ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x\cdot y)=\operatorname {sgn} x\cdot \operatorname {sgn} y}$ . Vastaava pätee osamäärällekin.

Signum voidaan yhdistää itsensä kanssa yhdistetyksi funktioksi, mutta se ei muuta sen arvoa: ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\operatorname {sgn} x)=\operatorname {sgn} x}$ .

Jatkuvuus realiluvuilla

Signum on jatkuva funktio kaikkialla paitsi origossa, missä vasemmanpuoleinen raja-arvo on ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0 \atop x<0}\operatorname {sgn} x=-1\neq \operatorname {sgn} 0}$ ja oikeanpuoleinen raja-arvo ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0 \atop x>0}\operatorname {sgn}(x)=1\neq \operatorname {sgn}(0)}$ .

Kompleksiluvut

Signumin määrittäminen kompleksiluvuille voidaan tehdä eri tavoin. Jos luku ${\displaystyle z=x+yi\ (\neq 0)}$ on kompleksiluku, määritetään sen merkki

${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}},}$

missä itseisarvo ${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ , ja muuten ${\displaystyle \operatorname {sgn}(0+0i)=0}$ . Sama asia voidaan kirjoittaa myös

${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}=e^{i\theta },}$

missä ${\displaystyle \theta =\arg(z)}$ . Kun signum reaaliluvulla tarkoittaa yleensä arvoa ±1, on signum kompleksiluvuilla yleensä lukua, joka sijaitsee kompleksitason origokeskeisellä yksikköympyrällä eli ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}.}$ ^[6]Kun kompleksiluku esitetään muodossa ${\displaystyle z=x+yi}$ , tulee kaava muotoon

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x+yi)={\frac {x+yi}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.}$ ^[7]

Kaikille kompleksiluvuille ${\displaystyle z}$ ja niiden kompleksikonjugaateille ${\displaystyle {\overline {z}}}$ on voimassa ${\displaystyle z\operatorname {sgn} {\overline {z}}=|z|}$ .^[6]

Kompleksilukujen signum-funktiolle on osoitettavissa seuraavia ominaisuuksia:

• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(z_{1}\cdot z_{2})=\operatorname {sgn} z_{1}\cdot \operatorname {sgn} z_{2}}$ (tulon merkkisääntö)
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\lambda \cdot z)=\operatorname {sgn} z}$ positiiviselle reaaliluvulle ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\lambda \cdot z)=-\operatorname {sgn} z}$ negatiiviselle reaaliluvulle ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(-z)=-\operatorname {sgn} z}$ (pariton funktio kompleksiluvuille)
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} (|z|)=|\operatorname {sgn} (z)|}$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}({\bar {z}})={\overline {\operatorname {sgn} z}}}$ kompleksilukujen konjugaateille
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} \left({\frac {1}{z}}\right)={\frac {1}{\operatorname {sgn} z}}={\overline {\operatorname {sgn} z}},}$ kun ${\displaystyle z\neq 0}$ .

Signum-funktiolla on derivaatta (joka on nolla) kaikkialla muualla paitsi origossa, joka on epäjatkuvuuskohta. Distibuutioteoriassa voidaan kuitenkin kirjoittaa

${\displaystyle D\operatorname {sgn}(x)=2\delta (x),}$

missä ${\displaystyle \delta (x)}$ on Diracin deltafunktio.Signumin yleinen integraali on

${\displaystyle \int \operatorname {sgn}(t)\,dt=|x|+C.}$ ^[6]

• Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: Signals and Systems, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9.

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Signum-funktio.

• Mathematik: Die Signumfunktion (saksaksi)
• LipsWork: Signum function(englanniksi)