絕對值

假設有一個實數${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ 。佢嘅絕對值${\displaystyle |a|}$ 就係

$${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a&{\text{if }}a>0,\\0&{\text{if }}a=0,\\-a&{\text{if }}a<0.\end{cases}}}$$

${\displaystyle |a|}$

例子

• ${\displaystyle |5|=5}$
• ${\displaystyle |{-12}|=12}$
• ${\displaystyle |0|=0}$

性質一

如果${\displaystyle |a|=0}$ ，咁一定係${\displaystyle a=0}$ 。(${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$ )

證明：

因為三叉性質，所以${\displaystyle a>0}$ ，${\displaystyle a<0}$ 或者${\displaystyle a=0}$ 。根據定義，只有${\displaystyle a=0}$ ，先至會有${\displaystyle |a|=0}$ 。

性質二

${\displaystyle |{-a}|=|a|,\,\forall a\in \mathbb {R} }$

證明：

因為三叉性質，所以${\displaystyle a>0}$ ，${\displaystyle a<0}$ 或者${\displaystyle a=0}$ 。

如果${\displaystyle a>0}$ ，咁${\displaystyle -a<0}$ 。得出${\displaystyle |{-a}|=-(-a)=a=|a|}$ 。

如果${\displaystyle a<0}$ ，咁${\displaystyle -a>0}$ 。得出${\displaystyle |a|=-a=|{-a}|}$ 。

如果${\displaystyle a=0}$ ，咁${\displaystyle |a|=|0|=0=-0=|{-a}|}$ 。

性質三

${\displaystyle |ab|=|a||b|,\,\forall a,b\in \mathbb {R} }$

證明：

如果${\displaystyle a=0}$ 或者${\displaystyle b=0}$ ，咁${\displaystyle |ab|=|a||b|}$ 。

因為性質二得知，無論${\displaystyle a}$ 同${\displaystyle b}$ 係正數係負數，佢哋嘅絕對值都係一樣。

${\displaystyle |ab|=ab=|a||b|}$ 。

性質四

${\displaystyle |a^{2}|=a^{2},\,\forall a\in \mathbb {R} }$

證明：

利用性質三得出，${\displaystyle |a^{2}|=|aa|=|a||a|=aa=a^{2}}$ 。

性質五

如果${\displaystyle c\geq 0}$ ，咁只有因為${\displaystyle -c\leq a\leq c}$ ，先會得出${\displaystyle |a|\leq c}$ 。換句話講，${\displaystyle |a|\leq c}$ 同${\displaystyle -c\leq a\leq c}$ 係同一個意思。

性質六

${\displaystyle -|a|\leq a\leq |a|,\,\forall a\in \mathbb {R} }$

• 三角形不等式
• 開方根
• 複數
• 向量