Лаптăк

• Пĕрчĕлле тăваткалăн лаптăкĕ 1-пе тан (нормăланăлăх).
• Лаптăк аддитивлă.
• Лаптăк минуслă мар.
• Конгруэнтлă фигурăсен лаптăкĕсем тан (инвариантлăх).

Лаптак фигурăн лаптăкĕ

Математикăлла анализ татăккăн яка чикĕллĕ лаптак кĕлеткесен лаптăкне тупмалли универсаллă меслет сĕнет.

Декартла координатсем

Ĕнтĕ ${\displaystyle [a,b]}$ интервалри татăлми функцин графикĕ тата горизонталлĕ тĕнĕл хушшинчи кĕлеткен лаптăкне хайхи функцин паллăлăхлă интегралĕ пек тупаççĕ:

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Çавăн пекех, ${\displaystyle [a,b]}$ интервалри татăлми икĕ ${\displaystyle f(x),\,g(x)}$ функцисем хушшинчи кĕлеткен лаптăкне хайхи функцисен паллăлăхлă интегралĕсен расналăхĕ пек тупаççĕ:

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\,dx}$

Полярла координатсем

Çий лаптăкĕ

Тĕп статья: Çий лаптăкĕ

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$ Вектор-функципе кăтартса панă A кукăрăлчăк çийĕн лаптăкне иккĕллĕ интегралпа тупаççĕ:

${\displaystyle S=\iint \limits _{A}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.}$

Çавах, координатсенче:

${\displaystyle S=\iint \limits _{A}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v}$

Кунта ${\displaystyle {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v}\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}}$ .

Метрла системăра

• Тăваткаллă çухрăм, 1км²=1 000 000 м²
• Гектар, 1га =10 000 м²
• Ар, 1а=100 м²
• Тăваткаллă метр, — мăн виçе.
• Тăваткаллă сантиметр, 1 см²=0,0001 м²
• Тăваткаллă миллиметр, 1 мм²=0,000 001 м²

Авалхи

• Арура

• Кĕлетке лаптăкĕ — ăнлавăн математика аспекчĕсем.
• Йĕр тăршшĕ
• Тăваткаллатав (математика)
• Калăпăш
• Çий

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд. 3-е, М.: Наука, 1967.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — ISBN 5-9221-0155-2

• Болтянский В. О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977.
• Рохлин В. А. Площадь и объём. Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия.