Azalera

Antzinatik uste izan da azalera irudi geometriko baten barruko eskualdearen tamaina ematen duen neurria dela. Antzinako Egipton, urteroko Nilo ibaiko uraldien ondoren eta eragindako uholdeen ondorioz, nekazaritza lursail bakoitzaren azalera kalkulatzeko beharra agertu zen lursail mugak berrezartzeko. Arazo honi konponbidea aurkitu nahian, egiptoarrek geometria sortu zuten, Herodotoren arabera.^[5]

Poligono baten azalera triangeluen azaleren batura gisa kalkulatzeko metodoa, lehen aldiz Antifon greziar jakintsuak proposatu zuen, K.a. 430. urtearen inguruan. Irudi kurbadun baten azalera kalkulatzeak zailtasun gehiago sortzen du. Exhauzio-metodoak poligonoak irudi geometrikoan zirkunskribatzean eta inskribatzean datza, poligono horien aldeen kopurua handitu eta azalera bilatu.

Eudoxo-ren Exhauzio-metodo izenez ezagutzen den sistemarekin, zirkuluaren azalera kalkulatzeko hurbilketa lortu zuen. Sistema hori, geroago Arkimedes-ek erabili zuen antzeko problemak ebazteko,^[6] hala nola pi zenbakiaren balioaren hurbilketa.

Zirkuluaren eta elipsearen azalera

K. a. V. mendean, Hipokrates Koskoa izan zen zirkulu baten azalera (zirkunferentzia batez itxitako eremua) bere diametroaren karratuarekiko proportzionala dela erakusten lehena, bere lunularen koadraturaren zati gisa^[7], baina ez zuen proportzionaltasunaren konstantea identifikatu. Eudoxo Knidokoa, halaber, K.a. V. mendean, zirkulu baten azalera bere erradioarekiko proportzionala dela ere aurkitu zuen^[8].

Geroago, Euklidesen Elementuak I. Liburua bi dimentsioko irudien arteko eremu-berdintasunaz arduratu zen. Arkimedes matematikariak geometria euklidiarraren tresnak erabili zituen zirkulu baten barruko azalera eta zirkuluaren zirkunferentziaren luzera duen triangelu angeluzuzena berdinak direla erakusteko, bere Zirkuluaren neurriari buruzko liburuan. (Zirkunferentzia 2πr da, eta triangelu baten azalera da oinarriaren erdia bider altuera; ondorioz, diskoaren πr² azalera lortzen da). Arkimedesek, π-ren balioa hurbildu zuen (eta, beraz, erradio unitarioko zirkulu baten azalera) bere metodoaren bidez, eta triangelu erregular bat zirkulu batean inskribatu eta bere azalera apuntatu zuen; gero, hexagono erregular bat emateko, albo-kopurua bikoiztu zuen, ondoren, behin eta berriz, albo-kopurua bikoiztu zuen poligonoaren azalera zirkuluarenera hurbiltzen zen heinean (eta gauza bera egin zuen poligono zirkunskribatuekin)^[6].

Johann Heinrich Lambert zientzialari suitzarrak, 1761ean frogatu zuen «zirkulu baten azaleraren eta bere erradio karratuaren arteko erlazioa irrazionala dela», eta horrek esan nahi du ez dela bi zenbaki osoren zatiduraren berdina^[9]. 1794an, Adrien-Marie Legendre matematikari frantziarrak frogatu zuen «π² irrazionala» dela; horrek frogatzen du ere «π irrazionala» dela^[10]. 1882an, Ferdinand von Lindemann alemaniar matematikariak «π transzendentala» dela frogatu zuen (ez da koefiziente arrazionalak dituen ezein ekuazio polinomikoren soluzioa); horrek Legendre eta Eulerren aieru bat berresten du^[9]or196).

Hirukien azalera

Heron Alexandriakoak triangelu baten azalerarako Heronen formula izenez ezagutzen dena aurkitu zuen bere aldeei dagokienez, eta froga bat aurki daiteke bere Métrica liburuan, 60. urtearen inguruan idatzia. Iradoki izan da Arkimedesek baino bi mende edo gehiago lehenago ezagutzen zuela formula^[11], eta Métrica antzinako munduan eskuragarri zegoen ezagutza matematikoaren bilduma zenez, litekeena da formula lan horretan emandako erreferentzia baino lehenagokoa izatea^[12].

499an, Aryabhatak, Indiako matematika eta astronomiaren garai klasikoko matematikari-astronomo batek, triangelu baten azalera oinarriaren erdia bider altueraz adierazi zuen Aryabhatiyan (2.6 atala).

Txinatarrek Heronen formula bera aurkitu zuten greziarrak alde batera utzita. 1247an argitaratu zen Shushu Jiuzhangen (Tratatu matematikoa bederatzi ataletan), Qin Jiushaok idatzia.

Azalera zer den definitzeko hurbilketa bat axiomen bidezkoa da. Azalera irudi planoen mota berezi bateko M bilduma batetik (multzo neurgarriak deitzen direnak) zenbaki errealen multzora arteko funtzio gisa defini daiteke honako propietate hauek betez^[13]:

• M-ren S guztientzat, a(S) ≥ 0.
• S eta T M-n badaude, orduan, S ∪ T eta S ∩ T ere bai, eta baita a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
• S eta T M-n con S ⊆ T-rekin badaude, orduan, T - S M-n dago eta a(T−S) = a(T) − a(S).
• S multzo bat M-n badago eta S kongruentea bada T-rekin, orduan, T ere M-n eta a-n (S) = a(T) dago.
• R laukizuzen bakoitza M-n dago. Laukizuzenak h luzera eta k zabalera baditu, orduan, a(R) = hk.
• Izan bedi Q mailakako bi eremuen artean itxitako multzoa, S eta T. Oinarri komun batean oinarritzen diren aldameneko laukizuzenen batasun finitu batetik eratzen da maila-eremu bat, hau da, S ⊆ Q ⊆ T. c zenbaki bakar bat badago, hala nola a(S) ≤ c ≤ a(T) halako eremu mailakatu guztietarako S eta T, orduan, a(Q) = c.

Froga daiteke eremu-funtzio hori benetan existitzen dela^[14].

Perimetroa, eremuarekin batera, irudi geometriko planoen bi neurri nagusietako bat da. Unitate berean adierazten ez diren arren, ohikoa da bi nozio horiek nahastea^[15]​ edo sinestea zenbat eta handiagoa izan bestea ere handiagoa dela. Izan ere, irudi geometriko baten handitzeak (edo murrizteak) aldi berean bere azalera eta perimetroa handitzen (edo txikitzen) ditu. Adibidez, mapa batean, lur zati bat 1:10.000 eskalan agertzen bada, lurren benetako perimetroa kalkula daiteke irudikapenaren perimetroa 10 000-z biderkatuz eta azalera 10 000²ez biderkatuz. .000. Hala ere, ez dago inolako lotura zuzenik azaleraren eta perimetroaren artean. Adibidez, metro karratuko azalera duen laukizuzen batek dimentsio gisa izan ditzake, metrotan: 0,5 eta 2 (beraz, 5 m-ko perimetroa) baina baita 0,001 eta 1000 ere (beraz, 2.000 m baino gehiagoko perimetroa). Proklok (V. mendea) dio greziar nekazariek perimetroen arabera, bidezko banaketan, partekatzen zituztela soroak, baina azalera ezberdinekin^[16][17]. Hala ere, soro baten ekoizpena azalerarako proportzionala da, ez perimetroarekiko.

Poligonoen formulak

Koordenatu kartesiarrak ezagutzen diren poligono (soil) baterako ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ (i = 0, 1, ..., n − 1) bere n erpinetatik, Gaussen azalera formulak ematen du:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }}$

i=n−1 denean, orduan i+1 n modulu gisa adierazten da eta, beraz, 0-ri dagokio.

Laukizuzenak

Azaleraren formula oinarrizkoena laukizuzen baten azaleraren formula da. ${\displaystyle l}$ luze eta ${\displaystyle a}$ zabal dituen laukizuzena emanda, eremuaren formula hau da:

${\displaystyle A=l\times a}$  (laukizuzen).

Laukizuzenaren azalera luzera zabalerarekin biderkatuta da. Kasu zehatz gisa, ${\displaystyle l=a}$ karratuaren kasuan, ${\displaystyle c}$ albo-luzera duen karratu baten azalera

${\displaystyle A=c^{2}}$  (karratu). formulak ematen du.

Laukizuzen baten azaleraren formula azaleraren oinarrizko propietateetatik dator zuzenean, eta, batzuetan, definizio edo axioma gisa hartzen da. Bestalde, geometria aritmetikaren aurretik garatzen bada, formula hori zenbaki errealen biderketa definitzeko erabil daiteke.

Hiruki edo triangeluak

Hirukien azalera da hiruki horren oinarriaren eta altueraren arteko biderketaren erdia, hau da:^[18]

${\displaystyle A=\left({\frac {b\cdot h}{2}}\right)}$ ,

non b hirukiaren oinarria eta h hirukiaren altuera baita (edozein alde har daiteke oinarritzat).

Triangelua angeluzuzena bada, altuerak eta katetoak balio bera dute; beraz, azalera formula honen bidez adieraz daiteke:

${\displaystyle A=\left({\frac {a\cdot b}{2}}\right)}$ ,

non triangeluaren katetoak a eta b diren .

Aldeen luzera ezagutzen bada, Heron-en formula erabil daiteke:

${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ ,

non a, b eta c aldeen luzera-balioak eta ${\displaystyle s=\left({\frac {1}{2}}\right)(a+b+c)}$ , hirukiaren perimetroerdia diren.

Triangelua aldekidea bada, horren azalera formula honek adierazten du:

${\displaystyle A=\left({\frac {\sqrt {3\cdot a^{2}}}{4}}\right)}$ ,

non hirukiaren alde baten luzera a den.

Disekzioa eta paralelogramoak

Azalera kalkulatzeko, formula sinple gehienek disekzioaren metodoa jarraitzen dute. Forma bat zatitan moztean datza, zeinen azalerak jatorrizko formaren azalerara gehitu behar diren.

Adibidez, edozein paralelogramo trapezio batean eta triangelu angeluzuzen batean zati daiteke, irudian ikusten den bezala. Triangelua, trapezioaren beste aldera eramaten bada, ondoriozko irudia laukizuzena da. Horren ondorioz, paralelogramoaren azalera laukizuzenaren berdina da:

${\displaystyle A=b\times h}$  (paralelogramo).

Hala ere, paralelogramo bera diagonal batean zehar bi triangelu kongruentetan ere moztu daiteke, irudian ikusten den bezala. Triangelu bakoitzaren azalera paralelogramoaren azaleraren erdia dela ondorioztatzen da:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$  (triangelu).

Trapezoide edo lauki baten azalera haren diagonalen arteko distantziek eta hauek eratzen duten angeluaren sinuaren arteko biderkadura zati bi da.

${\displaystyle A=\left({\frac {{\bar {AC}}\cdot {\bar {BD}}\cdot \sin \theta }{2}}\right)}$

Azalera triangulazioaren bitartez ere lor daiteke:

${\displaystyle A=\left({\frac {a\cdot d\cdot \sin \alpha +b\cdot c\cdot \sin \gamma }{2}}\right)}$ ,

non ${\displaystyle \alpha }$ a eta d aldeen arteko angelua baita eta ${\displaystyle \gamma }$ , b eta c aldeen arteko angelua.

Laukizuzena paralelogramo bat da, eta haren angelu guztiak ${\displaystyle 90^{\circ }}$ gradukoak dira. Azalera laukizuzenaren aldameneko bi aldeen arteko biderkadura da:

${\displaystyle A=a\cdot b}$

Erronboa lau aldeak berdinak dituen paralelogramoa da. Haren azalera erronboaren bi diagonalen distantziaren biderkadura zati bi da:

${\displaystyle A=\left({\frac {{\bar {AC}}\cdot {\bar {BD}}}{2}}\right)}$

Laukia lau aldeko poligono erregularra da, eta, aldi berean, laukizuzena eta erronboa. Beraz, haren azalera horien antzera kalkulatzen da. Hala ere, haren aldeak berdinak direnez, honako formula hau erabiltzen da bereziki:

${\displaystyle A=a\cdot a=a^{2}}$ ,

Erronboidearen azalera haren alde baten eta altueraren arteko biderketaren bidez kalkulatzen da:

${\displaystyle A=b\cdot h}$ ,

non b alde baten luzera eta h altuera diren.

Trapezioak bi alde elkarrekiko paralelo, eta bi alde elkarrekiko ez-paralelo ditu. Haren azalera bi alde elkarrekiko paraleloen batezbestekoa bider euren arteko distantziaren (altuera) bitartez kalkulatzen da:

${\displaystyle A=\left({\frac {a+b}{2}}\right)\cdot h}$

Forma kurbatuen azalera

Zirkulua

Zirkulu baten azaleraren formula (egokiago, zirkulu batek inguratutako azalera edo disko baten azalera) antzeko metodo batean oinarritzen da. ${\displaystyle r}$ erradioko zirkulu bat emanda, posible da sektoretan zatitzea, irudian ikusten den moduan. Sektore bakoitza triangeluarra da, gutxi gorabehera, eta sektoreak berrantolatu daitezke gutxi gorabehera paralelogramo bat osatzeko. Paralelogramo honen altuera ${\displaystyle r}$ da, eta, zabalera, zirkuluaren zirkunferentzia edo ${\displaystyle \pi r}$ erdia. Beraz, zirkuluaren azalera osoa ${\displaystyle \pi r^{2}}$ da^[19]:

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$  (círculo).

Formula horretan erabiltzen den disekzioa gutxi gorabeherakoa den arren, zirkulua gero eta sektore gehiagotan banatu ahala errorea gero eta txikiagoa da. Gutxi gorabeherako paralelogramoen azaleren muga zehazki ${\displaystyle \pi r^{2}}$ da, zeina zirkuluaren azalera den.

Argumentu hori kalkuluarn ideien aplikazio sinplea da. Antzina, Exhauzio-metodo antzeko modu batean erabiltzen zen zirkulu baten azalera aurkitzeko, eta metodo hori, gaur egun, Exhauzio-metodo integralaren aitzindari gisa onartzen da. Metodo modernoak erabiliz, zirkulu baten azalera integral zehatz baten bidez kalkula daiteke:

${\displaystyle A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}}$

Elipsea

Elipse batek mugatutako azalera zirkuluaren azaleraren antzekoa da, eta ardatzerdi handiaren, txikiaren eta ${\displaystyle \pi }$ -ren arteko biderkaduraren bitartez kalkulatzen da:^[20]

${\displaystyle A=\pi \cdot a\cdot b}$

Azaleraren gainazala

Azaleraren gainazalaren oinarrizko formula gehienak gainazalak moztu eta lautuz lor daitezke. Adibidez, zilindroaren alboko gainazala (edo edozein prisma) luzetara mozten bada, gainazala lautu daiteke laukizuzen bat osatu arte. Era berean, kono batean zehar ebaki bat egiten bada, alboko gainazala lautu daiteke zirkulu baten sektore bat lortu arte, eta, ondorioz, azalera kalkulatu.

Esfera baten gainazalaren formula zailagoa da lortzen: esfera batek Gaussen kurbadura zerotik berezia duenez, ezin da berdindu. Arkimedesek, lehenengoz, esfera baten azaleraren formula lortu zuen Esferaren eta zilindroaren gainean obran. Formula hau da:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$  (esfera).

non ${\displaystyle r}$ esferaren erradioa den. Zirkulu baten azaleraren formularekin gertatzen den moduan, formula horren edozein deribaziok berez erabiltzen ditu kalkuluaren antzeko metodoak.

Bi funtziok mugatutako azalera

Bi funtziok mugatutako azalera kalkulatzeko modu bat kalkulu integrala erabiltzea da:

${\displaystyle A(a,b)=\int _{a}^{b}\left\vert f(x)-g(x)\right\vert dx}$ (A formula)

Integral horren emaitza ${\displaystyle f(x)}$ eta ${\displaystyle g(x)[<f(x)]}$ funtzioek osatutako azalera izango da [a,b] tartean.

ADIBIDEA

X ardatzak eta ${\displaystyle f(x)=4-x^{2}}$ funtzioak mugatutako azalera kalkulatu nahi bada [-2,2] tartean, A formula erabili behar da. Kasu honetan, ${\displaystyle g(x)=0}$ izanik, honako emaitza lortzen da:

${\displaystyle A(-2,2)=\int _{-2}^{2}\left\vert 4-x^{2}-0\right\vert dx=2\int _{0}^{2}4-x^{2}dx=2[4x-\left({\frac {x^{3}}{3}}\right)]_{0}^{2}=2\left[8-{\frac {2^{3}-0}{3}}\right]=\left({\frac {32}{3}}\right)}$

Beraz, mugatutako azalera ${\displaystyle 32/3}$ da.

Bi funtziok mugatutako bolumena integralaren kalkuluaren bitartez lor daiteke.

Azaleraren eta perimetroaren arteko lotura

Plano euklidear batean  kurba itxi eta sinple bat emanda, froga daiteke azalera itxi baten perimetroak edo luzerak eta azalera itxiak berak honako lotura hau dutela:

${\displaystyle \left({\frac {A}{L^{2}}}\right)\leq \left({\frac {1}{4\pi }}\right)}$

Zirkuluaren kasuan berdintza betetzen da, eta gainerako irudietan, desberdintza hertsia.

Gainazal kurbatuaren azalera konplexuagoa da eta orokorrean idealizazio edo limite motaren bat egin behar da neurtzeko:

• Gainazala garagarria denean, zilindro baten edo kono baten aldearen azalera bezala, gainazalaren azalera azalera garatu batetik abiatuta kalkula daiteke. Hori irudi laua da beti. Gainazala garagarria izan dadin, Gaussen kurbadurak nulua izan behar du.

• Gainazala garagarria ez denean, gainazalaren kalkulua edo balio hori lortzeko modu analitikoa neketsuagoa da. Gainazal ez-garagarri baten adibide bat esfera da, izan ere, Gaussen kurbadurak eta erradioaren karratuaren alderantzizkoak bat datoz, eta beraz, ez da nulua. Hala ere, esfera biraketa-gainazal bat da.

${\displaystyle A_{r}(a,b)=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)^{2}}}\operatorname {d} \!x}$

Biraketa-gainazala

Gainazal kurbatu bat kurba lau  bat  edo kurba sortzaile bat ardatz gidagarri baten inguruan biratuz sor daiteke, eta gainazal erresultanteari biraketa-gainazala deitzen zaio. Haren azalera  erraz kalkula daiteke kurba sortzailearen luzeratik abiatuta, zeinak biratzean gainazala sortzen baitu. y=f(X) ekuazioak kurbaren zati bat definitzen badu,  kurba X ardatzaren inguruan biratzean biraketa-gainazala sortzen da eta bere azalera honako hau da:

Biraketa-gainazalen adibideak honako hauek dira:

• Esferaren azalera, R erradioduna: ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$
• Konoaren azalera, R erradioduna eta h altueraduna: ${\displaystyle \pi Rh{\sqrt {1+R^{2}/h^{2}}}}$
• Zilindroaren aldeko azalera, R erradioduna eta h altueraduna: ${\displaystyle 2\pi Rh}$

Azaleraren kalkulu orokorra

Gainazalen geometria diferentzialaren bitartez edota Riemann-en geometria erabiliz, edozein gainazal kurbatu finituren azalera kalkula daiteke. Gainazala ${\displaystyle z=f(x,y)}$ funtzio esplizituaren bidez adierazita badago, ${\displaystyle \Omega }$ eskualdean izanik, orduan, azalera honako hau da:

${\displaystyle A(\Omega )=\iint \limits _{\Omega }xy{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}dxdy}}}$ (B formula)

Gainazalaren ekuazio parametrikoa edozein u eta v koordenaturen bidez ezagutzen bada, orduan B formula hori honela idatz daiteke:

${\displaystyle A(\Omega )=\iint \limits _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\operatorname {d} \!u\operatorname {d} \!v}$ ,

non tentsore metrikoaren elementuak diren E, F eta G .

n ${\displaystyle >}$ 1 dimentsioko Riemann-en barietate batean, 2 dimentsioko zenbait azpibarietateren azalera kalkula daiteke. Azalera kalkulatu ahal izateko, bi koordenatu (u,v), dituen multzo bat definitzen da, azpibarietatea parametrizatzen duena, eta, ondoren, azpibarietatearen atlas bat eratzen da. Beraz, azalera barietate horren 2-forma baten integralaren bidez kalkulatzen da.

Nazioarteko Unitate Sistema erabiliz:^[21]

• kilometro karratua: ${\displaystyle 10^{6}}$ metro karratu
• hektometro karratua edo hektarea: ${\displaystyle 10^{4}}$ metro karratu
• dekametro karratua: ${\displaystyle 10^{2}}$ metro karratu
• dezimetro karratua: ${\displaystyle 10^{-2}}$ metro karratu
• zentimetro karratua: ${\displaystyle 10^{-4}}$ metro karratu
• milimetro karratua: ${\displaystyle 10^{-6}}$ metro karratu
• barn: ${\displaystyle 10^{-28}}$ metro karratu

• (Gaztelaniaz) Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.
• (Ingelesez) Weisstein, Eric W (1999). Chapman&Hall, ed. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. ISBN 0-8493-9640-9.