Koŝia konverĝa provo

Serio

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$

estas konverĝa se kaj nur se por ĉiu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ estas nombro N${\displaystyle \in \mathbb {N} }$ tia ke

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

veras por ĉiuj n>N kaj ${\displaystyle p\geq 1}$ .

La serio ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\ldots }$ konverĝas, ĉar

${\displaystyle \left|\sum _{i=n+1}^{m}{\frac {1}{i^{2}}}\right|<\left|\sum _{i=n+1}^{m}{\frac {1}{i(i-1)}}\right|=\left|\sum _{i=n+1}^{m}\left({\frac {1}{i-1}}-{\frac {1}{i}}\right)\right|={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}<{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{N}}<\varepsilon }$ ,

kiam ${\displaystyle N>{\tfrac {1}{\varepsilon }}}$ , dank' al la arĥimeda eco.

La provo laboras ĉar la serio estas konverĝa se kaj nur se la parta sumo ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$ estas koŝia vico: por ĉiu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ estas nombro N, tia ke por ĉiuj n,m>N veras ${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|<\varepsilon .}$ Oni povas supozi ke m>n kaj tial aro p=m-n. La serio estas konverĝa se kaj nur se

${\displaystyle |s_{n+p}-s_{n}|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon .}$

• Serio
• Konverĝa serio