Eragiketen hierarkia

Matematikan, zientzian, teknologian eta hainbat programazio-lengoaiatan, honako eragiketa-hierarkia estandarra erabiltzen da:^[1]

1. berreketak eta erroketak
2. biderketak eta zatiketak
3. batuketak eta kenketak

Hau da, hainbat eragiketaz osaturiko adierazpen matematiko batean, lehendabizi, berreketa eta erroketak ebatzi behar dira; ondoren, biderketak eta zatiketak, eta, azkenik, batuketak eta kenketak.

Batuketaren eta biderketaren trukakortasun- eta elkarkortasun-legeek aukera ematen dute batugaiak eta biderkagaiak (bakoitza bere aldetik) edozein modutan ordenatzeko, baina bi eragiketa horiek batera agertzen direnean, eragiketen hierarkia errespetatu beharra dago.

Zenbait testuingurutan, lagungarri gertatzen da zatiketa biderketaz (alderantzizko elementuaren biderketaz) eta kenketa batuketaz (aurkako elementuaren batuketaz) ordezkatzea. Izan ere, 3 ÷ 4 = 3 × ¼; hau da, 3 eta 4 arteko zatiketak eta 3 eta ¼ arteko biderketak emaitza bera dute. Era berean, 3 - 4 = 3 + (−4); hau da, 3 eta 4 arteko kenketak eta 3 eta -4 arteko batuketak emaitza bera dute. Hortaz, 1 - 3 + 7 eragiketa 1 + (−3) + 7 batuketa gisa azter daiteke; hiru batugaiak edozein ordenatan batu ahal dira, eta kasu guztietan emaitza 5 da. Adibidez, aljebra konputazionalean, aldaketa horiek eragiketa bitar gutxiago sortzen dituzte, eta elkarkortasun- eta trukakortasun-legeak erabiltzea ahalbidetzen du, zeinak oso baliagarriak baitira adierazpen luzeak sinplifikatzeko.

Lehentasun-hitzarmen horiek anbiguotasuna ezabatzeko sortu ziren eta notazioa ahalik eta laburrena izateko. Konbentzio horiek saihestu edota azpimarratu nahi direnean, parentesien () erabilerak hierarkia berria ezar dezake, edo dagoena nabarmendu, nahasteak ekiditeko (zenbaitetan, irakurgarritasuna errazteko, giltzez {} edo kako zuzenez [] ordezkatuak). Esate baterako, (2 + 3) × 4 = 20 eragiketan, batuketa biderketaren aurretik ebatzi behar da, eta (3 + 5²)= 64 eragiketan, batuketa berreketa baino lehenago. Erroketaren ikurrak √ elkartze-ikurren bat behar du errokizunaren gainean; Ikurrik ohikoena barra bat (vinculum izenekoa) da. Beste funtzio batzuek, hala nola funtzio trigonometrikoek, parentesiak erabiltzen dituzte anbiguotasuna saihesteko. Zenbaitetan, sarrera monomioa bada, parentesiak alde batera uzten dira. Hori dela eta, sin(3x) = sin 3x moduan idatz daiteke, baina sin x + y = sin(x) + y jarri behar da, zeren x + y ez baita monomioa.^[1]

Adibideak

Hainbat eragiketatan, marra horizontalak jarduten du elkartze-ikur gisa.

${\displaystyle {\sqrt {1+3}}+5={\sqrt {4}}+5=2+5=7.}$

Zatikien kasuan ere erabiltzen da:

${\displaystyle {\frac {1+2}{3+4}}+5={\frac {3}{7}}+5.}$

Irakurketa errazteko, beste elkartze-ikur batzuk erabili daitezke parentesiekin batera: giltzak { } edo kako zuzenak [ ], esaterako. Adibidez:

${\displaystyle [(1+2)-3]-(4-5)=[3-3]-(-1)=1.}$

Hitz mnemoteknikoak eragiketa-segiden arauak gogoratzeko edo ebaluazioan laguntzeko erabiltzen dira. Herrialde bakoitzean hitz mnemotekniko desberdina erabiltzen da:^[3][4][5]

• Amerikako Estatu Batuetan, PEMDAS akronimoa da zabalduena; haren esangura Parentheses, Exponents, Multiplication/Division, Addition/Subtraction da. Sarritan, "Please Excuse My Dear Aunt Sally"  ere erabili ohi da  lelo moduan.^[6]
• Kanadan eta Zeelanda Berrian, BEDMAS akronimoa oso zabalduta dago ikasleen artean, eta Brackets, Exponents, Division/Multiplication, Addition/Subtraction ordenamendua gogoraraztea du helburu.

Hitz mnemoteknikoak erabilgarriak suerta badaitezke ere, kontu handia izan behar dugu haiekin, askotan akronimoek gaizki-ulerturen batera eraman baikaitzakete.^[6] Adibidez, lehen akronimoaren kasuan (PEMDAS), norbaitek batuketa (addition ingelesez) kenketa (substraction ingelesez) baino hierarkia altuago batean dagoela pentsa dezake, eta 10 - 3 + 2 moduko eragiketa^[6] baten emaitza 5 dela interpretatu, benetako emaitza 9 delarik, nabaria den moduan.

Esponentzialen segida

Berreketa bat beste berreketa baten berretzailea denean, normalean, goitik beherako lehentasuna ematen da; hau da, lehenik, berretzaileko berreketa ebatzi behar da:^[1][2]

${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}}$

Honako honek bestelako emaitza emango luke:

${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}}$

Zatiketen segida

Anbiguotasuna gertatzen da, halaber, zatiketen segidetan; esate baterako, 10 ÷ 5 ÷ 2 adierazpena bi modutan interpreta daiteke:

10 ÷ (5 ÷ 2) = 4

edo

(10 ÷ 5) ÷ 2 = 1

Ezkerretik eskuinerako lehentasunak anbiguotasuna argitzen du, bigarren adierazpenaren alde. Gainera, matematikan ohitura da faktoreak konbinatzea eta zatiketa alderantzizko biderketa gisa adieraztea, anbiguotasunak sortutako zalantzak murrizteko. Hala ere, bi adierazpen luze bateratzen direnean, eragiketen ordena zuzena gal daiteke.

Kalkulagailu guztiek ez diete lehentasun bera ematen eragiketa guztiei. Kalkulagailu sinple askok ezkerretik eskuinera ematen diete lehentasuna eragiketei; horietan, 1 + 2 x 3 = 9 izango da. Kalkulagailu sofistikatuek, ordea, lehentasun estandarra erabiltzen dute, eta 1 + 2 x 3 = 7 izango da.

• Elkarkortasun
• Trukakortasun
• Banakortasun
• Notazio poloniar
• Alderantzizko notazio poloniar