Matrize nilpotente

${\displaystyle A\,}$ matrize nilpotentea bada orduan bere determinantea nulua da.

Frogapena

A k ordenako matrize nilpotentea bada, ${\displaystyle A^{k}=0\,}$

Orduan: ${\displaystyle \det(A^{k})=0\,}$

Hori dela eta: ${\displaystyle \det(A)^{k}=0\,}$ ,hortaz, ${\displaystyle \det(A)=0\,}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

matrizea nilpotentea da, M² = 0 baita. Orokorrean, edozein matrize triangeluar, bere diagonal nagusian zeroak dituena, nilpotentea da. Esaterako,

${\displaystyle N={\begin{pmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

matrizea nilpotentea da, zeren

${\displaystyle N^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}};\ N^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}};\ N^{4}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$ baita.

Aurreko adibideek elementu nulu asko eduki arren, ohiko matrize nilpotenteekk ez dituzte. Esaterako,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6&-9\\4&-6\end{pmatrix}}\qquad {\text{eta}}\qquad {\begin{pmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{pmatrix}}}$

matrizeak ber bi eginda nuluak dira, nahiz eta elementu nulurik ez izan.

• (Ingelesez) Matrize nilpotentea eta eraldatze nilpotenteak PlanetMath-en