Paralelogramo

Un paralelogramo é un cuadrilátero convexo que ten os pares de lados opostos iguais e paralelos dous a dous.^[1]

Os paralelogramos son:

o cadrado, que ten todos os seus lados de igual lonxitude.
o rectángulo, que ten os seus lados opostos de igual lonxitude.
o rombo, que ten todos os seus lados de igual lonxitude, e dous pares de ángulos iguais.
o romboide, que ten os lados opostos de igual lonxitude e dous pares de ángulos iguais^[2]

Pódense clasificar os paralelogramos en polígonos equiláteros e non equiláteros, co que se ten:

Paralelogramos equiláteros, cos seus catro lados iguais:
- o cadrado, que ten todos os seus lados de igual lonxitude (e todos os seus ángulos rectos).
- o rombo, que ten todos os seus lados de igual lonxitude (pero os seus ángulos non son rectos).
Paralelogramos non equiláteros, se os seus catro lados non son iguais:
- o rectángulo, no que só os seus lados opostos teñen igual lonxitude (e todos os seus ángulos son rectos).
- o romboide, no que só os lados opostos son iguais (e os seus ángulos non son rectos).

Propiedades

Conxunto e subconxuntos da familia dos paralelogramos. Todo o que non sexa cadrado, rectángulo ou rombo denomínase **romboide** (*zona gris*).

O conxunto dos paralelogramos reúne varios subconxuntos de figuras xeométricas, todas elas con lados opostos iguais e paralelos, por exemplo os romboides, os rombos, os cadrados e os rectángulos son todos subconxuntos pertencentes ao conxunto dos paralelogramos. O feito de que varias figuras con algunhas características distintas sexan parte dos paralelogramos fai un pouco máis complexo mencionar as súas propiedades, posto que existen propiedades que son comúns a toda a familia de paralelogramos. Por exemplo, a propiedade «lados opostos iguais e paralelos» e común a todos, mais outras propiedades como ser «eixes de simetría de reflexión» poden ser diferentes para cada subfamilia.

Propiedades comúns a todos os paralelogramos

Teñen catro vértices, catro lados e catro ángulos interiores, é dicir, é un subconxunto dos cuadriláteros.
Os lados opostos dun paralelogramo son paralelos (por definición), polo que nunca se intersecan.
Os lados opostos dun paralelogramo son de igual lonxitude (congruentes).
Os ángulos opostos dun paralelogramo son iguais en medida.
Os ángulos de dous vértices contiguos son suplementarios (suman 180°).
A suma dos ángulos interiores de todo paralelogramo é igual a 360°.
A área dun paralelogramo é o dobre da área dun triángulo formado por calquera das súas diagonais e os lados contiguos da figura.
A área dun paralelogramo é igual á magnitude (módulo) do produto vectorial de dous lados contiguos, considerados como vectores.^[3]
Todos os paralelogramos son convexos.^[4]
Calquera recta secante coplanaria corta o paralelogramos en dous e só en dous dos seus lados.
As diagonais dun paralelogramo bisécanse entre elas.
O chamado «centro» do paralelogramo atópase no punto no que se bisecan as dúas diagonais.
O centro do paralelogramo é tamén o baricentro do mesmo.^[5]
Calquera recta coplanaria que pasa polo centro dun paralelogramo divide a súa superficie en dúas partes iguais, ou en dous trapecios congruentes.^[6] O segmento que pasa polo punto medio chámase mediana, mesmo no caso extremo dunha diagonal.
Calquera recta coplanaria que pase polo baricentro^[5] dun paralelogramo é tamén «transversal de gravidade» do mesmo.
Calquera transformación afín non dexenerada transforma un paralelogramo noutro paralelogramo.
Existe un número infinito de transformacións afíns que transforman un paralelogramo dado nun cadrado.
Pódese establecer un homeomorfismo entre un paralelogramo e unha circunferencia.^[7]
Unha translación ou unha rotación dun paralelogramo conservan a forma e o tamaño^[8]

Propiedades particulares de distintos paralelogramos

O cadrado ten simetría de rotación de orde 4 (90°)
O romboide, o rombo e o rectángulo teñen simetría de rotación de orde 2 (180°)
Se non existe ningún eixe de simetría de reflexión, entón é un romboide.
Se ten dous eixes de simetría de reflexión diagonais, entón é un rombo.
Se ten dous eixes de simetría de reflexión perpendiculares aos lados, entón é un cadrado.
Se ten catro eixes de simetría de reflexión, entón é un cadrado.

Algunhas propiedades métricas comúns

O perímetro dun paralelogramo é 2 (a + b), onde a e b son as lonxitudes de dous lados contiguos calquera.
A suma dos cadrados dos lados é igual á suma dos cadrados das diagonais (lei do paralelogramo).
Para calcular a área dun paralelogramo, pódese considerar como unha figura composta por dous triángulos congruentes e un rectángulo, trazando alturas dos vértices dos ángulos obtusos.

Fórmulas

Fórmulas do paralelogramo
Área	$A\,=\,a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=\,\left\|\left\|\,{\overrightarrow {AB}}\,\times \,{\overrightarrow {AD}}\,\right\|\right\|$ ^[3] $A\,=\,a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta ={\frac {e\cdot f\cdot \sin \theta }{2}}$
Altura de a	$h_{a}\,=\,b\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \beta ={\frac {A}{a}}$
Altura de b	$h_{b}\,=\,a\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta ={\frac {A}{b}}$
Diagonais (teorema do coseno)	$f={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}$ $e={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}$
Ángulos	$\alpha =\gamma \;\;\;\;\;\beta =\delta \;\;\;\;\;\beta =180^{\circ }-\alpha$

Lei do paralelogramo

Existe unha lei xeométrica que relaciona os lados dun paralelogramo coas súas diagonais, chamada lei do paralelogramo. Esta di que a suma dos cadrados das lonxitudes dos catro lados dun paralelogramo calquera é igual á suma dos cadrados das lonxitudes das dúas diagonais. En notación matemática, represéntase como:

(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}.\,

onde A, B, C, e D son os vértices do paralelogramo.

Posto que os lados son iguais dos a dos, a fórmula adoita representarse simplificada:

2\cdot ((AB)^{2}+(BC)^{2})=2\cdot ((CD)^{2}+(DA)^{2})=(AC)^{2}+(BD)^{2}.\,

Notas

Véxase tamén

Outros artigos

Teorema de Apolonio

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Search