סימון מתמטי

יש כמה מערכות מספרים וקבועים מספריים שקיבלו סימן קבוע משלהם (ראו להלן).

מלבד אלה, נהוגה היררכיה של סוגי אותיות, הנמצאת בהתאמת-מה לגודלו של האובייקט המסומן. לדוגמה, מרחב וקטורי יסומן באות לטינית גדולה כגון ${\displaystyle \ V}$ , בעוד שאבריו יסומנו באותיות קטנות ${\displaystyle \ u,v}$ , ומשפחה של מרחבים תסומן באות מעוטרת כגון ${\displaystyle \ {\mathcal {V}}}$ . אלו אינם כללים מחייבים, ויש להם יוצאי דופן רבים. לדוגמה, טופולוגיה מקובל לסמן באות היוונית טאו, בעוד שאת הקבוצות הפתוחות השייכות לטופולוגיה מסמנים באותיות לטיניות גדולות, למשל ${\displaystyle \ U}$ .

לרוב האותיות בהן נעשה שימוש מגיעות מהאלפבית הלטיני או מהאלפבית היווני. לעיתים נדירות יותר נעשה שימוש גם במערכות כתב אחרות. למשל באלפבית העברי נעשה שימוש לציון עוצמות.

משפטים מורכבים לעיתים מחלקים, אשר גוררים לוגית זה את זה. למשל המשפט "בכל מחשב יש מעבד", גורר שאם קיים מחשב, אזי קיים מעבד. הוא אינו גורר שקיים מחשב, או שאם יש מעבד, הוא בהכרח נמצא בתוך מחשב. המשפט "כל מעבד נמצא במחשב" אינו נובע מהמשפט הנ"ל. כמו כן, ישנם משפטים השקולים זה לזה, למשל "כל העטים כחולים, ורק הם כחולים", ו - "אם משהו הוא כחול, אזי הוא עט, ואם משהו הוא עט, אזי הוא כחול". בקיצור, אפשר לומר ש"x הוא עט אם ורק אם הוא כחול". סימני הלוגיקה הפורמלית מאפשרים להצרין את הקשרים הללו.

על הסימונים האלה אמר המתמטיקאי פול הלמוש^[1] "... הסימבוליזם של הלוגיקה הפורמלית חיוני לדיון בלוגיקה של המתמטיקה, אבל בתור אמצעי להעברת רעיונות מאדם לאדם הוא הופך לקוד מסורבל. הכותב נאלץ לקודד בו את המחשבות שלו (אני מסרב להאמין שאדם כלשהו חושב במונחי ${\displaystyle \ \wedge ,\vee }$ או ${\displaystyle \ \exists }$ ), והקורא נאלץ לפענח אותו. בשני הכיוונים מדובר בבזבוז זמן. פסוקים פורמליים הם משהו שמכונות יכולות לכתוב, ומעטים מלבד מכונות יכולים לקרוא".

סימון	שם	משמעות	דוגמה	דוגמה במילים	הערות
${\displaystyle \ \neg }$	שלילה	היפוך ערך אמת	${\displaystyle \ \neg A}$	אם ${\displaystyle \ A}$ אמיתי אז ${\displaystyle \neg A}$ שקרי ולהפך	מקובלים גם הסימונים ${\displaystyle \sim A}$ ו-${\displaystyle {\bar {A}}}$
${\displaystyle \ \Rightarrow }$ ${\displaystyle \implies }$	גורר ש-	הביטוי / ההסק הלוגי מצד שמאל גורר את זה שמצד ימין	${\displaystyle \ A=B\implies B=A}$	${\displaystyle \ A=B}$ גורר ש - ${\displaystyle \ B=A}$
${\displaystyle \ \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \ \iff }$	אם ורק אם / שקילות	הביטויים גוררים זה את זה	${\displaystyle \ A=B\iff B=A}$	${\displaystyle \ A=B}$ אם ורק אם - ${\displaystyle \ B=A}$
${\displaystyle \lor }$	או	הביטוי הוא אמת אם אחד מהאיברים מצידי הסימן הוא אמת, אחרת שקר	${\displaystyle A\lor B}$	הביטוי הוא אמת אם ${\displaystyle \ A}$ נכון או ${\displaystyle \ B}$ נכון
${\displaystyle \land }$	וגם	הביטוי הוא אמת אם שני האיברים מצידי הסימן הוא אמת, אחרת שקר	${\displaystyle A\land B}$	הביטוי הוא אמת אם ${\displaystyle \ A}$ נכון וגם ${\displaystyle \ B}$ נכון
${\displaystyle \ \forall }$	לכל	לכל איבר המקיים [...]	${\displaystyle \ \forall a>10:a>9}$	לכל a הגדול מ-10, a גדול מ-9
${\displaystyle \ \exists }$	קיים	קיים איבר המקיים [...]	${\displaystyle \ \exists ~a<3}$	קיים a הקטן מ-3.
${\displaystyle \ \exists !}$	קיים יחיד	קיים איבר יחיד המקיים [...]	${\displaystyle \ \exists !L\in \mathbb {N} :7<L<9}$	קיים מספר טבעי יחיד ${\displaystyle \ L}$ בין 7 ל-9.
${\displaystyle \ \equiv }$	מוגדר בתור / שקול ל- / שווה תמיד ל -	הביטוי בצד שמאל מוגדר כביטוי בצד ימין	${\displaystyle \ A\equiv B}$		הסימון משמש למספר דברים שונים במתמטיקה, למשל בחשבון מודולרי.
${\displaystyle \ :=}$	מוגדר בתור	הביטוי בצד שמאל מוגדר כביטוי בצד ימין	${\displaystyle \ A:=B}$	${\displaystyle \ A}$ מוגדר בתור ${\displaystyle \ B}$	מקור הסימון הוא פעולת ההשמה בשפות תכנות (מדעי המחשב)

בניית קבוצות

באופן כללי, קבוצות מסומנות בסוגריים מסולסלים, כאשר איברי הקבוצה מנויים בין הסוגריים. כך ניתן גם להגדיר את הקבוצה, באופן חד משמעי: תחילה נסמן את האיברים, ואחר כך את התנאי שהם מקיימים, כאשר קיימת הפרדה ביניהם. למשל, קבוצת כל המספרים הממשיים הקטנים מ-2 אך הגדולים מ-1 תסומן:${\displaystyle \ A=\{a\in \mathbb {R} \mid 1<a<2\}}$ או:${\displaystyle \ A=\{a\in \mathbb {R} :1<a<2\}}$ או:${\displaystyle \ A=\{a\in \mathbb {R} \mid 1<a,a<2\}}$ .

סימונים מקובלים

סימון	שם	הסבר	דוגמה	דוגמה במילים	הערות
${\displaystyle \ \in }$	נמצא ב - / שייך ל -	הביטוי בצד שמאל נמצא כאיבר בקבוצה שבצד ימין	${\displaystyle \ a\in B}$	${\displaystyle \ a}$ שייך ל- ${\displaystyle \ B}$
${\displaystyle \ \notin }$	לא נמצא ב - / לא שייך ל -	הביטוי בצד שמאל לא נמצא כאיבר בקבוצה שבצד ימין	${\displaystyle \ a\notin B}$	${\displaystyle \ a}$ לא שייך ל- ${\displaystyle \ B}$
${\displaystyle \ \subset }$	מוכל ב-	הקבוצה בצדו השמאלי של הסימן מוכלת בקבוצה שבצדו הימני של הסימן	${\displaystyle \ A\subset B}$	${\displaystyle \ A}$ מוכל ב- ${\displaystyle \ B}$	אפשר גם כך: הקבוצה בצד הימני מוכלת בקבוצה שבצד השמאלי: ${\displaystyle \ \supset }$
${\displaystyle \ \subseteq }$	מוכל או שווה ל-	הקבוצה בצדו השמאלי של הסימן מוכלת בקבוצה בצדו הימני של הסימן או שווה לה	${\displaystyle \ A\subseteq B}$	${\displaystyle \ A}$ מוכל ב- או שווה ל- ${\displaystyle \ B}$	אפשר גם כך: הקבוצה בצד הימני מוכלת בקבוצה בצד השמאלי, או שווה לה: ${\displaystyle \ \supseteq }$
${\displaystyle \ \cup }$	איחוד	איחוד של שתי קבוצות ${\displaystyle \ A}$ ו-${\displaystyle \ B}$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים של שתי הקבוצות	${\displaystyle \ A\cup B}$	איחוד של ${\displaystyle \ A}$ ו- ${\displaystyle \ B}$
${\displaystyle \ \cap }$	חיתוך	חיתוך של שתי קבוצות ${\displaystyle \ A}$ ו-${\displaystyle \ B}$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-${\displaystyle \ A}$ ששייכים גם ל-${\displaystyle \ B}$	${\displaystyle \ A\cap B}$	חיתוך של ${\displaystyle \ A}$ ו- ${\displaystyle \ B}$
${\displaystyle \cup \!\!\!\cdot }$ או ${\displaystyle \uplus }$ או ${\displaystyle \sqcup }$	איחוד זר	איחוד של שתי קבוצות ${\displaystyle \ A}$ ו-${\displaystyle \ B}$ זרות	${\displaystyle \ A\uplus B}$	${\displaystyle \ A}$ איחוד זר עם ${\displaystyle \ B}$	מסמנים זאת כך כאשר ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$
- או \	הפרש קבוצות	האיברים שנמצאים בקבוצה אחת אך לא באחרת	${\displaystyle A-B=A\backslash B}$	A פחות B	${\displaystyle A-B=\{x|x\in A{\mbox{ and }}x\notin B\}}$
${\displaystyle \ \Delta }$	הפרש סימטרי	הפרש סימטרי של שתי קבוצות הוא קבוצת כל האיברים השייכים בדיוק לאחת משתי הקבוצות	${\displaystyle \ A\Delta B}$		${\displaystyle A\Delta B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)}$
×	מכפלה קרטזית	קבוצה המורכבת מזוגות סדורים של A ו-B	${\displaystyle \ A\times B}$		${\displaystyle \ A\times B=\{(a,b)\ |\ a\in A,b\in B\}}$
${\displaystyle \ f:A\rightarrow B}$	פונקציה מ-A ל-B	פונקציה שהתחום שלה הוא הקבוצה A והטווח שלה הוא הקבוצה B	${\displaystyle \ x^{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$	${\displaystyle \ x^{2}}$ היא פונקציה מהממשיים לממשיים
${\displaystyle \ x\mapsto f(x)}$	כלל התאמה	תיאור כלל התאמה ואיזה איבר בטווח מתאים לאיבר במקור	${\displaystyle \ x\mapsto x^{2}}$	פונקציה המתאימה ל-x את ריבועו ${\displaystyle x^{2}}$	מופיע בדרך כלל מתחת לביטוי מהצורה ${\displaystyle f:A\to B}$ (ראו לעיל) ומושלם על ידו
${\displaystyle \ f=\lambda x\in A.f(x)\in B}$	פונקציה בתחשיב למדא	תיאור פונקציה באמצעות סימון למדא	${\displaystyle \ \lambda x.x^{2}}$	פונקציה המתאימה ל-x את ריבועו ${\displaystyle x^{2}}$	סימון זה נמצא בשימוש בעיקר בלוגיקה מתמטית, שפות פורמליות ומדעי המחשב
${\displaystyle \displaystyle \aleph _{0}}$	אָלֶף אֶפֶס	עוצמת המספרים הטבעיים - האינסוף הקטן ביותר, כמשמעותו של מושג זה בתורת הקבוצות	${\displaystyle |\mathbb {N} |=\aleph _{0}}$
${\displaystyle \!\,\aleph }$ או ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$	אלף - עוצמת הרצף	עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים ושל קבוצת הנקודות על קו ישר או על קטע	${\displaystyle |\mathbb {R} |=\aleph }$

להלן סימונים הנהוגים באלגברה ליניארית ותחומים אחרים באלגברה מופשטת:

סימון	שם	הסבר	דוגמה
${\displaystyle \ {\vec {v}}\,\ {\bar {v}}\,\ \mathbf {v} }$	וקטור (אלגברה)	שתי הצורות מקובלות, לעיתים נהוג אף לסמן וקטור באות דגושה.	${\displaystyle \ {\vec {r}}=(-1,4,2),{\bar {A}}=\mathbf {A} }$
${\displaystyle \ {\hat {u}}}$	וקטור יחידה	וקטור בעל נורמה 1	${\displaystyle \ {\hat {x}}=(1,0,0),{\hat {y}}=(0,1,0),{\hat {z}}=(0,0,1)}$
${\displaystyle \ \oplus }$	סכום ישר	פעולה הבונה מבנה אלגברי מתוך מבנים נתונים.	${\displaystyle \ V\oplus \{0\}=V}$
${\displaystyle \ \mathbb {F} ^{n}}$		המרחב הווקטורי שאיבריו הם ה-n-יות הסדורות מעל שדה ${\displaystyle \ \mathbb {F} }$	${\displaystyle \ \mathbb {V} =\mathbb {R} ^{n}}$
${\displaystyle \ A^{\top }}$	מטריצה משוחלפת	שחלוף מטריצות הופך את השורות לעמודות (שיקוף סביב האלכסון). מקובלים גם הסימונים ${\displaystyle A^{T}}$ ו-${\displaystyle A^{t}}$ .	מטריצה ריבועית היא מטריצה סימטרית אם ורק אם ${\displaystyle A^{\top }=A}$ .
${\displaystyle \ \langle {\bar {a}},{\bar {b}}\rangle }$	מכפלה פנימית של הווקטור a בווקטור b	ראו מרחב מכפלה פנימית
${\displaystyle \|x\|}$	נורמה	הכללה של מושג ה"אורך" עבור וקטור, להרחבה ראו נורמה	${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\z&v\end{pmatrix}}}$ או ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}}$	מטריצה
${\displaystyle \det A=\left|{\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{array}}\right|}$	דטרמיננטה של מטריצה	פונקציה המקבלת מטריצה ומחזירה סקלר בשדה מעליה היא מוגדרת
${\displaystyle \ [A:B]}$	אינדקס של תת-חבורה B בחבורה A, או ממד של השדה A מעל תת-השדה B	${\displaystyle [G:H]=|G/H|}$ כאשר ${\displaystyle H\subset G}$ חבורות. ${\displaystyle [K:F]=\dim _{F}K}$ כאשר ${\displaystyle F\subset K}$ שדות.
${\displaystyle \ A/B}$	חבורת מנה, חוג מנה, או הרחבת שדות.
${\displaystyle R[x]}$	חוג הפולינומים מעל חוג R	חוג הפולינומים במשתנה x כך שמקדמי הפולינומים הם מ-R	${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ = חוג הפולינומים עם מקדמים רציונליים
${\displaystyle \left[\ \ ,\ \ \right]}$	קומוטטור	בתורת החבורות: ${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$ בחוגים או אלגברות: ${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$	${\displaystyle \left[\partial _{x},x\right]=\partial _{x}x-x\partial _{x}=1}$
${\displaystyle \otimes }$	מכפלה טנזורית		${\displaystyle K\otimes _{F}E}$ מכפלה טנזורית של K ב-E מעל F
${\displaystyle \hookrightarrow }$	שיכון (מונומורפיזם)	העתקה חד-חד-ערכית	${\displaystyle \ f:\mathbb {N} \hookrightarrow \mathbb {Z} \quad ;\quad f(n)=n}$
${\displaystyle \twoheadrightarrow }$	אפימורפיזם	העתקה שהיא על	${\displaystyle \ g:\mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {N} \quad ;\quad g(n)=|n|}$
${\displaystyle R^{\times }}$ (ולעיתים גם ${\displaystyle R^{*}}$ )	חבורת האיברים ההפיכים בחוג R	חבורת האיברים ${\displaystyle r\in R}$ כך שקיים ${\displaystyle s\in R}$ כך ש-${\displaystyle rs=1_{R}=sr}$	${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\times }=\{\pm 1\}}$ ו-${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }=\mathbb {R} -\{0\}}$

סימונים חשובים נוספים:

סימון	שם	הסבר	דוגמה
${\displaystyle \ c_{i}}$	אינדקס	האיבר במקום ה-i בסדרה כלשהי	${\displaystyle \ c_{3},a_{4},F_{42},\alpha _{\beta _{\gamma }}}$
${\displaystyle \ \sum _{i=a}^{n}}$	סכום	סכום האיברים בעלי האינדקסים a עד n	${\displaystyle \ \sum _{i=0}^{n}{q^{i}}=q^{0}+q^{1}+\dots +q^{n}={\frac {q^{n+1}-1}{q-1}}}$ (סכום סדרה הנדסית)
${\displaystyle \ \prod _{i=a}^{n}}$	מכפלה	מכפלת האיברים בעלי האינדקסים a עד n	${\displaystyle \ \prod _{i=0}^{4}{a_{i}}=a_{0}\cdot a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot a_{4}}$
${\displaystyle \ \pi }$	הקבוע המתמטי פאי	היחס בין היקף לקוטר המעגל	${\displaystyle \ \pi \approx 3.14159265}$
${\displaystyle \ e}$	הקבוע המתמטי e	בסיס הלוגריתם הטבעי	${\displaystyle \ e=\sum _{n=0}^{\infty }(1/n!)\approx 2.718281828}$
${\displaystyle \ i}$ ‏[5]	היחידה המדומה (קיצור באנגלית של המלה imaginary)	${\displaystyle \ i^{2}=-1}$	${\displaystyle \mathbb {C} =\left\{x+iy\mid x,y\in \mathbb {R} \right\}}$
${\displaystyle \phi }$	יחס הזהב	שני גדלים a ו-b מקיימים את יחס הזהב אם היחס בין סכום הגדלים לבין הגדול מביניהם (${\displaystyle a>b}$ ) שווה ליחס שבין הגדול מביניהם לקטן מביניהם. ${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$	${\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\phi }$
${\displaystyle \Re }$ או ${\displaystyle \operatorname {Re} }$	החלק הממשי של מספר מרוכב	${\displaystyle \operatorname {Re} \left\{5-2i\right\}=\Re \left\{5-2i\right\}=5}$	5 הוא החלק הממשי של המספר המרוכב ‎${\displaystyle 5-2i}$
${\displaystyle \Im }$ או ${\displaystyle \operatorname {Im} }$	החלק המדומה של מספר מרוכב	${\displaystyle \operatorname {Im} \left\{5-2i\right\}=\Im \left\{5-2i\right\}=-2}$	(2-) הוא החלק המדומה של המספר המרוכב ‎${\displaystyle 5-2i}$
${\displaystyle \ \circ }$	הרכבת פונקציות	${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$	${\displaystyle \exp \circ \sin =[\![x\mapsto e^{\sin(x)}]\!]}$

סדרת המספרים הממשיים ${\displaystyle \ a_{n}}$ מתכנסת לגבול ${\displaystyle \ L}$ אם ורק אם

• לכל ${\displaystyle \varepsilon }$ גדול מ-0, קיים ${\displaystyle \ n_{0}}$ טבעי, כך שלכל ${\displaystyle \ n}$ הגדול מ-${\displaystyle \ n_{0}}$ מתקיים: הערך המוחלט של ${\displaystyle \ a_{n}-L}$ קטן מ-${\displaystyle \varepsilon }$ .

בסימונים, אפשר לכתוב: ${\displaystyle \ \forall \varepsilon >0:\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n>n_{0}:|a_{n}-L|<\varepsilon }$ .

• התפתחות הסימונים האריתמטיים
• קדימות אופרטורים

• Mathematical operators and symbols in Unicode – ערך בוויקיפדיה האנגלית, המכיל רשימה אדירה של קודי יוניקוד של אופרטורים, סמלים מתמטיים ודומיהם
• Sequences 2: Notation – סרטון הסבר של MathTV על סימונים מתמטיים של סדרות (באנגלית)