Analisis kompleks

Konsep analisis kompleks ini hampir mirip dengan konsep analisis real. Berikut ini merupakan konsep-konsep analisis kompleks, diantaranya

Bilangan kompleks

Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni bilangan riil dan imajiner. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan ${\displaystyle z}$ adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan

${\displaystyle z=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {R} \}}$ ^[2]

serta himpunannya didefinisikan sebagai

${\displaystyle \mathbb {C} =\{z\mid z=(a,b);a,b\in \mathbb {R} \}}$ ,^[3]

dimana ${\displaystyle a}$ adalah bagian riil, dinotasikan ${\displaystyle \Re (z)}$ dan ${\displaystyle bi}$ adalah bagian imajiner, dinotasikan ${\displaystyle \Im (z)}$ ,^[2] atau ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$ dan ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)}$ .^[3]

Fungsi elementer

Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yakni fungsi suku banyak, fungsi rasional, fungsi eksponensial, fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, fungsi logaritma (beserta inversnya), dan fungsi aljabar dan transenden.^[4]

Fungsi suku banyak

Dalam analisis kompleks, fungsi suku banyak didefinisikan sebagai

${\displaystyle P(z)=a_{0}z^{n-1}+a_{1}z^{n}+\dots +a_{n}}$

dimana ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ , ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ adalah konstanta kompleks dan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulat positif yang dinamakan derajat suku polinom ${\displaystyle P(z)}$ .^[4] Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupa fungsi polinomial. Misalkan ${\displaystyle P}$ dan ${\displaystyle Q}$ adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga

${\displaystyle R(z)={\frac {a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}}{c_{0}z^{m}+c_{1}z^{m-1}+\cdots +c_{m}}}}$

adalah fungsi rasional bilangan kompleks,^[5] dengan kasus khusus diperoleh

${\displaystyle R(z)={\frac {az+b}{cz+d}},\quad ad-bc\neq 0}$

adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.^[6]

Fungsi eksponensial

Dalam cabang ini, eksponensial dapat memperluas deret kuasa fungsi eksponensial dari bilangan riil ke bilangan kompleks. Untuk suatu bilangan riil ${\displaystyle \theta }$ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\theta )^{n}}{n!}}\\&=1+i\theta +{\frac {1}{2!}}(i\theta )^{2}+{\frac {1}{3!}}(i\theta )^{3}+{\frac {1}{4!}}(i\theta )^{4}+\cdots \\&=\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-\cdots \right)+i\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}-{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$

Karena ${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cdot x^{2n}}{(2n)!}}}$ dan ${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$ (lihat disini mengenai hubungan fungsi trigonometri dengan deret), maka

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$ ^[7]

Hubungan fungsi eksponensial dengan bilangan kompleks ini dapat kita sebut sebagai rumus Euler.

Fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik beserta inversnya

Mengenai fungsi trigonometri cukup kita turunan rumus Euler, sehingga didapati

${\displaystyle \sin z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2i}}}$ dan ${\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{iz}}{2}}}$

Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks.^[8] Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik^[9] (beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.^[10]

Fungsi logaritma

Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi logaritma alami terhadap bilangan kompleks bukan nol. Misalkan ${\displaystyle w=\log z}$ , dimana ${\displaystyle z=e^{a+bi}=e^{a}\cdot e^{bi}}$ dan persamaan ini ekuivalen dengan

${\displaystyle e^{a}=\left|w\right|\quad {\text{ dan }}\quad e^{b}={\frac {w}{|w|}}}$ .^[11]

Dengan substitusi, maka diperoleh

${\displaystyle w=\log e^{a}+\log e^{bi}=\log |w|+i\arg w}$ ^[7]

dimana ${\displaystyle b=\arg w}$ .

Limit dan kekontinuan

Suatu fungsi ${\displaystyle f(z)}$ terdefinisi atau mempunyai limit ${\displaystyle L}$ untuk ${\displaystyle z}$ mendekati ${\displaystyle z_{0}}$ dituliskan sebagai

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)=L}$ .^[12]

Definisi limit dapat kita agak-agihkan lebih lanjut menggunakan definsi limit (ε,δ).

Turunan

Turunan dalam analisis kompleks mirip dengan turunan dalam analisis riil. Namun, karena halaman ini membahas tentang analisis kompleks, kita akan menganggap ${\displaystyle z}$ adalah bilangan kompleks. Menurut definisi, jika diturunkan di ${\displaystyle z_{0}}$ , maka turunan ${\displaystyle f}$ dirumuskan

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}-\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}}$ atau ${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$ .^[14]

Integral

Dalam analisis kompleks, integral mirip dengan analisis riil (termasuk juga dengan kalkulus), yakni cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Dengan memisalkan ${\displaystyle f(t)}$ adalah fungsi kompleks dengan variabel riil ${\displaystyle t}$ dimana ${\displaystyle f(t)=u(t)+i\cdot v(t)}$ sehingga ${\displaystyle u(t)}$ dan ${\displaystyle v(t)}$ kontinu di interval ${\displaystyle [a,b]}$ . Kita dapat menuliskannya sebagai

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}u(t)\,\mathrm {d} t+i\int _{a}^{b}v(t)\,\mathrm {d} t}$ .^[15]

Integral dalam cabang ini dibagi menjadi:

• Integral lintasan, yaitu suatu integral yang didefinisikan dalam bentuk ${\displaystyle f(z)}$ sepanjang lintasan ${\displaystyle C}$ dari ${\displaystyle z_{1}}$ hingga ke ${\displaystyle z_{2}}$ . Ini dapat ditulis sebagai

${\displaystyle \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z}$ atau ${\displaystyle \int _{z_{1}}^{z_{2}}f(z)\,\mathrm {d} z}$ .^[16]

• Integral kontur, metode menghitung integral tertentu di sepanjang lintasan dalam bidang kompleks.^[17][18][19]
• Teorema integral Cauchy atau dikenal teorema Cauchy–Goursat adalah pernyataan penting tentang integral garis terhadap fungsi holomorfik dalam bidang kompleks. Teorema ini berbunyi

Bila ${\displaystyle f}$ analitik di dalam dan pada kontur tertutup sederhana ${\displaystyle C}$ arah positif dan bila ${\displaystyle z_{0}}$ suatu titik di dalam ${\displaystyle C}$ maka

${\displaystyle \int _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,\mathrm {d} z=2\pi if(z_{0})}$

jika dan hanya jika

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,\mathrm {d} z}$ .^[20]

Residu

Residu dalam analisis kompleks ialah bilangan kompleks yang sebanding dengan integral kontur dari fungsi meromorfik di sepanjang lintasan yang melintasi salah satu singularitasnya. Biasanya dilambangkan sebagai ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)}$ atau ${\displaystyle \operatorname {Res} _{c}f}$ . Misal ${\displaystyle f}$ adalah fungsi yang analitik di titik ${\displaystyle z_{0}}$ , yang dapat diekspansi ke dalam deret Laurent yang berbentuk

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$ .

Pada koefisien ${\displaystyle a_{-1}}$ , terdapat pada suku deret Laurent yang berbentuk ${\displaystyle {\frac {1}{z-z_{0}}}}$ dinamakan residu ${\displaystyle f}$ pada ${\displaystyle z_{0}}$ . Ini ditulis dengan

${\displaystyle a_{-1}=\operatorname {Res} (f,z_{0})}$ .^[21]

Teorema residu Cauchy

Teorema residu (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan deret takhingga juga. Diberikan ${\displaystyle C}$ adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ yang masing-masing merupakan singularitas terasing ${\displaystyle f}$ . Maka,

${\displaystyle \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})}$ ^[22]

atau kita tuliskan sebagai

${\displaystyle \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=2\pi i\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=z_{k}}{\operatorname {Res} }}f(z)}$ .^[23]

Pemetaan konformal

Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah sudut. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.

Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, ${\displaystyle w=f(z)=f(x+iy)}$ , beserta sebarang dua kurva ${\displaystyle C_{1}}$ , ${\displaystyle C_{2}}$ pada bidang ${\displaystyle z}$ berpotongan pada titik ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ dipetakan berturut-turut sebagai kurva ${\displaystyle C_{1}}$ dan ${\displaystyle C_{2}}$ pada bidang ${\displaystyle w}$ yang berpotongan di ${\displaystyle (u_{0},v_{0})}$ antara kurva ${\displaystyle C_{1}}$ dan ${\displaystyle C_{2}}$ , maka pemetaan ${\displaystyle w=f(z)=f(x+iy)}$ konformal pada ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ .^[24]

Dimensi fraktal merupakan dimensi dengan rasio yang memberikan kompleksitas indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam pola fraktal berubah skalanya pada saat diukur. Namun, halaman ini membahas dimensi fraktal dalam bilangan kompleks, salah satu himpunan yang terkenal adalah himpunan Julia dan himpunan Mandelbrot.^[25]

Himpunan Julia

Himpunan Julia, himpunan yang pertama kali diselidiki matematikawan Prancis, Gaston Julia, merupakan salah satu contoh himpunan fraktal yang didefinisikan pada bilangan kompleks dan dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks.^[26] Salah satu fungsi yang sederhana yang membangun himpunan Julia adalah

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,\quad c\in \mathbb {C} }$ .

Dalam dinamika kompleks, himpunan Julia sangat terkait erat dengan himpunan Mandelbrot.^[26]

Himpunan Mandelbrot

Himpunan Mandelbrot, dinamai dari Benoît Mandelbrot (matematikawan berkebangsaan Prancis dan Amerika Serikat) merupakan kumpulan titik-titik ${\displaystyle c}$ pada bidang kompleks yang dibangun dengan mengiterasikan fungsi ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$ dengan nilai awal ${\displaystyle z}$ bernilai ${\displaystyle 0}$ .^[27]

• 
  Himpunan Mandelbrot
• 
  Animasi himpunan Mandelbrot berdasarkan jumlah iterasi statis per piksel
• 
  Himpunan Mandelbrot, yang diperbesar sehingga terdapat himpunan yang serupa.
• 
  Himpunan Mandelbrot berdasarkan visualisasi secara vertikal.

Analisis kompleks berguna terhadap cabang matematika lainnya, diantaranya: geometri aljabar, hubungan dimana metode transendental ke geometri aljabar, bersama dengan lebih banyak aspek geometri analisis kompleks, yaitu geometri kompleks; teori bilangan, salah satunya hipotesis Riemann, berasal dari Masalah Milenium. Masalah ini diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik.^[28]; dan kombinatorik analitik, dimana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, seperti deret Taylor, deret Laurent, dan teorema binomial.^[29]

Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya: hidrodinamika atau dinamika fluida, dimana bilangan kompleks dapat diterapkan ke dalam kasus penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel dimensi 2.^[30]; termodinamika, dimana hipotesis Riemann berhubungan dengan mekanika statistik, lihat gas Riemann bebas (en); dan mekanika kuantum, bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucing Schrödinger, studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.^[31]

• Analisis real atau analisis riil, cabang yang membahas analisis mengenai bilangan riil.
• Daftar topik analisis kompleks, meliputi topik yang berkenaan dengan analisis kompleks.