კომპლექსური ანალიზი

კომპლექსური ანალიზი - მათემატიკის ნაწილი, რომელიც შეისწავლის კომპლექსური ცვლადის ფუნქციებს.

ასევე განარჩევენ მათემატიკის ქვედარგს მრავალი ცვლადის კომპლექსური ანალიზი.

კომპლექსური ფუნქცია არის ფუნქცია რომელიც განმარტებულია კომპლექსური რიცხვების ქვესიმრავლეზე და რომლის მნიშვნელობებიც კომპლექსური რიცხვებია. კომპლექსური ფუნქცია f–ისთვის შეიძლება გამოიყოს ნამდვილი და წარმოსახვით ნაწილები:

${\displaystyle z=x+iy\,}$

${\displaystyle w=f(z)=u(z)+iv(z)=u(x,y)+v(x,y)\,}$

სადაც ${\displaystyle x,y,u(z),v(z)\in \mathbb {R} }$ ნამდვილი რიცხვებია, ხოლო ${\displaystyle i}$ წარმოსახვითი ერთეული.

კომპლექსური ანალიზში განსაკუთრებული ყურადღებით შეისწავლება კომპლექსური ცვლადის ანალიზური ფუნქციები, ე.წ. ჰოლომორფული ფუნქციები. ე.ი. ფუნქციები რომლებიც კომპლექსურად დიფერენცირებადია. კომპლექსური დიფერენცირებადოვა ჩვეულებრივ დიფერენცირებადობაზე მნიშვნელოვნად ძლიერი პირობაა. ელემენტარული ფუნქციების უმრავლესობა მაჩვენებლიანი ფუნქცია, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, პოლინომური ფუნქციები ჰოლომორფულია.

კომპლექსური ანალიზის წარმოშობა უკავშირდება მე–19 საუკუნეში გაუსის, კოშის, რიმანის, ვაიერშტრასის შრომებს. მე–20 საუკუნეში დარგი ინტენსიურად ვითარდებოდა. დღესდღეობით კომპლექსური ანალიზი მჭიდროდ უკავშირდება მათემატიკის სხვა დარგებს.