Kaidah pendiferensialan

Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi bilangan real (R) yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika didefinisikan dengan baik^[1][2]— termasuk bilangan kompleks (C).^[3]

Untuk fungsi-fungsi f dan g dan bilangan real a dan b apapun, turunan fungsi h(x) = af(x) + bg(x) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$

Kasus-kasus khusus meliputi:

• Kaidah faktor konstan

${\displaystyle (af)'=af'\,}$

• Kaidah penjumlahan

${\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}$

• Kaidah pengurangan

${\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}$

Untuk fungsi-fungsi f dan g, turunan fungsi h(x) = f(x) g(x) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}={\frac {df}{dx}}g+f{\frac {dg}{dx}}.}$

Turunan dari fungsi h(x) = f(g(x)) terhadap x dapat ditulis

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{dx}}.\,}$

Namun, dengan melonggarkan penafsiran h sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai

${\displaystyle {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}{\frac {dg}{dx}}.\,}$

Jika fungsi f mempunyai suatu fungsi invers g, yaitu g(f(x)) = x dan f(g(y)) = y, maka

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Jika ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ , untuk bilangan bulat n apapun maka

${\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\,}$

Kasus-kasus khusus meliputi:

• Kaidah konstanta: jika f adalah fungsi konstanta f(x) = c, untuk bilangan c apapun, maka untuk semua x, f′(x) = 0.
• jika f(x) = x, maka f′(x) = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi:

  Turunan suatu fungsi affine adalah suatu konstanta: jika f(x) = ax + b, maka f′(x) = a.

Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.

Turunan dari h(x) = 1/f(x) untuk fungsi f (yang "tidak menghilang"; nonvanishing) manapun adalah:

${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}.\ }$

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

${\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.\,}$

Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan dari kaidah rantai (chain rule) dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; power rule).

Jika f dan g adalah fungsi, maka:

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$ di mana g bukan nol.

Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus f(x) = 1.

Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" (functional power rule): untuk fungsi-fungsi f dan g apappun,

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$

di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.

Kasus-kasus khusus:

• Jika f(x) = x^a, f′(x) = ax^{a − 1} bilamana a adalah suatu bilangan real dan x adalah positif.
• Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana g(x) = −1.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={c^{ax}\ln c\cdot a},\qquad c>0}$

perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{x}\right)=e^{x}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}$

persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}$

Turunan logaritmik adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }$ wherever f is positive.

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}$	${\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}$	${\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}$	${\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}$
${\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
${\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
${\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}$

Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen, ${\displaystyle \arctan(y,x)}$ . Nilainya terletak dalam rentang ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ dan mencerminkan kuadran dari titik ${\displaystyle (x,y)}$ . Untuk kuadran pertama dan keempat (yaitu ${\displaystyle x>0}$ ) maka ${\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)}$ . Turunan parsialnya adalah

${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}$ , and ${\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.}$

Misalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap x dalam fungsi

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$

di mana fungsi-fungsi ${\displaystyle f(x,t)\,}$ dan ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\,}$ keduanya kontinu dalam ${\displaystyle t\,}$ dan ${\displaystyle x\,}$ dalam wilayah tertentu bidang ${\displaystyle (t,x)\,}$ , termasuk ${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,}$ , dan fungsi-fungsi ${\displaystyle a(x)\,}$ dan ${\displaystyle b(x)\,}$ keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,}$ . Maka untuk ${\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,\,}$ :

${\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}$

Rumus ini merupakan bentuk umum dari kaidah integral Leibniz dan dapat diturunkan menggunakanTeorema fundamental kalkulus.

Ada sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke-n suatu fungsi, di mana n adalah sebuah bilangan bulat positif. Di antaranya:

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}}$

di mana ${\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ dan himpunan ${\displaystyle \{k_{m}\}}$ terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine ${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$ .

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$

• Turunan fungsi
• Fungsi Hiperbolik
• Fungsi invers
• Fungsi trigonometri
• Kalkulus matriks

Kaidah-kaidah ini ditulis dalam banyak buku, baik kalkulus elementer maupun lanjutan, dalam matematika murni maupun terapan. Notasi dalam halaman ini (selain pada rujukan-rujukan di atas) dapat dijumpai dalam:

• Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
• The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
• Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
• NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

• Derivative calculator with formula simplification
• A Table of Derivatives Diarsipkan 2012-10-31 di Wayback Machine.