自然対数

自然対数の概念が表立って現れるのは、1649年より以前にグレゴワール・ド・サン゠ヴァンサン（英語版）とアルフォンス・アントニオ・ド・サラサ（英語版）による^[3]の成した業績においてであり、その中には双曲的扇形（英語版） の面積を決定することによる直交双曲線 xy = 1 の求積が含まれている。それら解法は、こんにち自然対数に結び付けられる性質を満足する「双曲対数」函数の必要から生じたものである。

自然対数への初期の言及はニコラス・メルカトルが1668年に著わした自身の著書 Logarithmotechnia（「対数の方法」）^[4] にあるが、既に1619年には数学教師のジョン・スパイデル（英語版）が事実上の自然対数表を編纂している^[5]

記法 "ln x" および "log_e x" は何れも紛れなく x の自然対数を表しているが、底を明示しない記法 "log x" もまた自然対数を表すのに用いられることがある。このような記号の使い方は数学では広く用いられ、一部の自然科学の文脈やさまざまなプログラミング言語^{[注釈 2]}でも用いられる。ただし、別の文脈では "log x" が常用対数（底 10 の対数）を表すのに用いられる。

符号位置

直観的には、常用の記数法が底 10 の位取りであるため、10を底とする「常用対数」がよほど「自然」に感じられるかもしれない。だが、数学的に見れば10は何ら著しい特徴を持つ数ではなく、10 を用いるのは文化的な理由（典型的には両手の指の数が10本あること）からだ^[6]。文化的な理由ではほかにも 5, 8, 12, 20, 60 などに基づく命数法がしばしば用いられる^[7][8][9]。

自然対数 log_e が「自然」であるというのは、数学において自然に生じ、よく見かけるということを根拠とするものである。例えば対数函数の微分の問題^[10]

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}\right)={\frac {1}{\ln(b)}}\cdot {\frac {d}{dx}}[\ln(x)]={\frac {1}{x\ln(b)}}}$$

別な意味で底 e の対数が最も自然と思わせる理由として、単純な積分やテイラー級数でそれが極めて容易に定義できること（それは他の対数ではできない）が挙げられる。この自然さの更なる意味は、微分積分学の中では見えてこないが、例えば自然対数を含む単純な級数が様々存在することによって知ることができる。ピエトロ・メンゴリとニコラス・メルカトルがそれを「自然対数」(羅: logarithmus naturalis) と呼んだのは、ニュートンとライプニッツが微分積分学を繰り広げるよりも、何十年か先んじる^[11]。

自然対数 ln は直交双曲線 1/x の面積として定義される。それは具体的には定積分として

${\displaystyle \ln(a):=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx}$

と定めるということである。この函数は対数の基本性質 ln(ab) = ln(a) + ln(b) を満足するという意味において対数である。定数 e は ln(a) = 1 を満足する正数 a として定義される。

自然指数函数が先に（具体的には無限級数として）定義されている場合には、自然対数を自然指数函数の逆函数として定義することもできる。すなわち ln は exp(ln(x)) = x を満足する函数である。実数全体で定義された自然指数函数の値域は正数全体の集合に一致し、また自然指数函数は狭義単調増大（ゆえに一対一）であるから、ln はこの方法で任意の正数 x に対して矛盾なく定まる。

複素数の対数

0 でない複素数 z を極座標表示して

z = r e^iθ

と書けたとする。対数関数は指数関数の逆関数なので

log z = ln r + iθ

ということになる（ln z と書くことはあまりない）が、この θ の選び方は一通りではなく 、2π の整数倍だけ異なる値を選ぶことができる。したがって、複素数の対数関数は多価正則関数である。

定義域を制限することによって、その定義域の上では正則な一価関数となるように θ の選び方を定めることができる。定義域は 0 を含まない単連結領域ならどれでもよいが、よく使われるのは複素平面から 0 と負の実数を除いた領域であり、変数の偏角を −π < θ < π の範囲にとる。このとき、r e^iθ ↦ ln r + iθ によって正則な一価関数が得られる。この関数を対数関数の主値と呼び、

Log z

と書く（Ln z と書くことはあまりない）。

複素対数関数は、実数での対数関数が満たす恒等式を満たすとは限らないので注意が必要である。例えば、Log e^z = z や Log (zw) = Log z + Log w は一般には成り立たない。^{[注釈 3]}

• 複素平面上での対数関数の主値
• 
  z = Re Log (x +iy)
• 
  z = | Im Log (x +iy) |
• 
  z = | Log (x +iy) |
• 
  これらを重ね合わせた図

バナッハ環における対数関数

|x| < 1 を満たす x に対して、テイラー展開

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,{x^{n} \over n}=x-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 3}-{x^{4} \over 4}+\cdots }$

が可能である。この級数展開も、1668年にメルカトルによって見出されたものである。

すべての固有値の絶対値が 1 より小さい正方行列 X が与えられたとき、このテイラー展開の変数に X を代入することにより、行列 I + X の対数 ln (I + X ) が定義される。ここで、I は X と同じサイズの単位行列である。これをさらに一般化して、和や積の構造と両立するノルムを持った完備な空間であるバナッハ環において、ノルムが 1 より小さい元 x に対し、上の式によって 1 + x の対数が定義できる。このとき、指数関数による ln (1+x ) の像は可逆元 1+x になっている。

注釈

出典

プロジェクト 数学

ポータル 数学

• logarithm in nLab
• Weisstein, Eric W. "Natural Logarithim". mathworld.wolfram.com (英語).
• natural logarithim - PlanetMath.（英語）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Logarithm of a number”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Logarithm_of_a_number 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Logarithmic function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Logarithmic_function