Logarytm naturalny

Logarytm naturalny liczby ${\displaystyle a}$ można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ w przedziale od ${\displaystyle 1}$ do ${\displaystyle a{:}}$

${\displaystyle \ln(a)=\int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x.}$

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

${\displaystyle \ln a=\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}.}$

Dowód

Oznaczmy:

${\displaystyle a^{x}-1={\frac {1}{z}}}$

(1)

Wtedy ${\displaystyle a^{x}={\frac {1}{z}}+1.}$ Logarytmując obustronnie przy podstawie ${\displaystyle e,}$ otrzymujemy:

${\displaystyle x\ln a=\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right),}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}.}$

Mnożąc obustronnie przez (1), otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{z\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.}$

Teraz należy wykazać, że przy ${\displaystyle x\to 0}$ mianownik dąży do jednego. Otóż:

${\displaystyle z={\frac {1}{a^{x}-1}}.}$

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \lim \limits _{z\to \infty }\left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.}$

Wyrażenie ${\displaystyle \left(1+{\tfrac {1}{z}}\right)^{z}}$ w mianowniku dąży do ${\displaystyle e,}$ więc mianownik jest równy ${\displaystyle \ln e=\log _{e}e=1,}$ co było do okazania.

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\log _{a}x)'&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{x}}\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e\\&={\frac {1}{x\ln a}}.\end{aligned}}}$

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie ${\displaystyle a=e}$ otrzymujemy: ${\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}.}$

Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na ${\displaystyle n}$ -tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli: ${\displaystyle (\ln x)^{(n)}=-1^{(n-1)}\cdot {\frac {(n-1)!}{x^{n}}}.}$

• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)}$ dla ${\displaystyle x,y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x)<\ln(y)}$ dla ${\displaystyle 0<x<y}$
• ${\displaystyle {\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h}$ dla ${\displaystyle h>-1}$

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję ${\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \ln \left({\frac {x}{y}}\right)=\ln(x)-\ln(y)}$ dla ${\displaystyle x,y>0}$
• Jeśli ciąg ${\displaystyle c_{n}\to 0,c_{n}>-1,c_{n}\neq 0,}$ to:

${\displaystyle {\frac {\ln(1+c_{n})}{c_{n}}}\to 1}$

• ${\displaystyle \ln e^{x}=x,}$
• ${\displaystyle e^{\ln x}=x}$ dla ${\displaystyle x>0,}$
• ${\displaystyle \ln x\ =\ln 10\cdot \log x\ \approx 2{,}303\ \log x}$
• ${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln |f(x)|+C}$
• ${\displaystyle \ln(x)\leqslant x-1}$

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\ldots }$ dla ${\displaystyle -1<x\leqslant 1}$

${\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\ldots }$ dla ${\displaystyle 0<x\leqslant 2}$

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Natural Logarithm, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].