ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ

ವಸ್ತು ಸಮುದಾಯಕ್ಕೆ ಗಣ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 1, 2, 6 ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ಗಣವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು {1, 2, 6} ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. 1,2,6 ಇದರ ಧಾತುಗಳು. 0, ±1, ±2,...... ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ಗಣ ಕೊಡುತ್ತವೆ. {a, e, i, o, u} ಎಂಬುದು ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಅಕ್ಷರಮಾಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸ್ವರಗಳ ಗಣ. ಗಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ A, B, C ಮುಂತಾದ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಭಾಷೆಯ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

a, b ಎಂಬವು A ಗಣದ ಧಾತುಗಳಾಗಿರಲಿ. (a, b) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು a, b ಗಳ ಕ್ರಮಯುಗ್ಮವೆನ್ನುವೆವು. ಇದರಲ್ಲಿ a, ಮೊದಲನೆಯದ ಧಾತು, b ಎರಡನೆಯ ಧಾತು. a = b ಆದ ಹೊರತು (a, b) ಮತ್ತು (b, a) ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮಯುಗ್ಮಗಳು. A ಗಣದ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಯುಗ್ಮ (b, a) ಯೊಡನೆ ಆ ಗಣದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಧಾತುವನ್ನು ಸೇರಿಸತಕ್ಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗೆ A ಯ ಮೇಲಣ ದ್ವಿಪದ ಕ್ರಿಯೆ (ಬೈನರಿ ಆಪರೇಶನ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ Z ಎಂಬುದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಸುಪರಿಚಿತ + ಎಂಬ ಸಂಕಲನ ಚಿಹ್ನೆ Z ಮೇಲಣ ಒಂದು ದ್ವಿಪದಕ್ರಿಯೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ (2, 3) ಎಂಬ ಕ್ರಮಯುಗ್ಮ 2 + 3 = 5 ಎಂಬ ಧಾತುವಿನೊಡನೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ a + b = b + a. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಕಲನವೊಂದು ಪರಿವರ್ತಕ (commutative) ದ್ವಿಪದ ಕ್ರಿಯೆ. ಆದರೆ ವ್ಯವಕಲನ ಅಲ್ಲ: a – b ≠ b - a.

ಯಾವುದೇ ಗಣಿತ ಶಾಖೆ ಕೆಲವು ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳ (ಆ್ಯಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್) ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿರುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳ ಪರಿಣಾಮಗಳ ಅಧ್ಯಯನವೇ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ. ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಕಾರಣಕೊಟ್ಟು ಅವುಗಳ ಸಮಂಜಸತೆ ತಿಳಿಸುವುದು ನ್ಯಾಯವಾಗಿ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದುದಲ್ಲ. ಅದು ಅನುಭವದ ಅಥವಾ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಚಾರ. ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅನುಸರಣೆ ಮಾತ್ರ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯ.

ಕನಿಷ್ಠ ಪಕ್ಷ ಎರಡು ಧಾತುಗಳಾದರೂ ಇರುವ B ಎಂಬ ಗಣವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಇದರ ಮೇಲೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ + ಮತ್ತು · ಎಂಬ ಎರಡು ದ್ವಿಪದ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿದ್ದು ಕೆಳಗಿನ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳು ನಿಜವಿರಲಿ.

A₁: B ಯ ಯಾವುವೇ ಧಾತುಗಳಿಗೆ a + b = b + a ಮತ್ತು a · b = b · a ನಿಜವಿರಲಿ. ಎಂದರೆ ದ್ವಿಪದ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಪರಿವರ್ತನೀಯ.

A₂: B ಯ ಯಾವುದೇ a ಗೆ a + 0 = a ಮತ್ತು 1 · a = a ಆಗಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಧಾತುಗಳು, (ಸೊನ್ನೆ) ಮತ್ತು 1 (ಏಕ) B ಯಲ್ಲಿವೆ.

A₃: B ಯ ಯಾವುವೇ a, b, c ಧಾತುಗಳಿಗೆ a(b + c) = a · b + a · c ಮತ್ತು a + b · c = (a + b) · (a + c)

A₄: B ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾತು a ಗೂ a + a’ = 1 ಮತ್ತು a . a’ = 0 ಆಗಿರುವಂತೆ ಮತ್ತೊಂದು ಧಾತು ಇರುತ್ತದೆ.

ಈ ಗುಣಗಳಿರುವ B ಗೆ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಹೆಸರು.^[೧] ದ್ವಿಪದ ಕ್ರಿಯೆಗಳಾದ + ಮತ್ತು · ನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಬೂಲಿಯನ್ ಗುಣಾಕಾರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಧಾತುಗಳಾದ 0 ಮತ್ತು 1 ನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ B = {0, 1} ಗಣದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ:

1 + 0 = 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 1, 0 · 0 = 0, 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 = 1. ಇದರಲ್ಲಿ A₁ ರಿಂದ A₄ ರವರೆಗಿನ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳೆಲ್ಲವೂ ನಿಜವಿರುತ್ತದೆ. ಎಂದೇ B ಒಂದು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ. ಇಲ್ಲಿ 1’ = 0 ಮತ್ತು 0’ = 1.

ಉದಾಹರಣೆ 2: B = {1, 2, 5, 10} ಗಣ 10 ರ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಧನ ಭಾಜಕಗಳ (positive integer divisors) ಗಣ. B ಯ ಯಾವುವೇ a, b ಧಾತುಗಳಿಗೆ a + b ಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಲಘುತಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವೆಂದೂ (least common factor), a · b ಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಮಹತ್ತಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವೆಂದೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆ 5 + 2 = 10, 5 · 2 = 1. ಇಲ್ಲಿ B ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ. B ಯ ಯಾವುವೇ ಧಾತುಗಳಿಗೆ a + b = b + a, a · b = b · a ನಿಜ. B ಯ ಸೊನ್ನೆ 1. ಏಕೆಂದರೆ a + b = 1 ರ ಲ.ಸಾ.ಅ. = a. B ಯ ಏಕಾಂಶ 10. ಏಕೆಂದರೆ a·10 = a, 10 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ. = a.

ಇನ್ನು a + b · c = (a + b) · (a + c) ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.

a = 1, b = 2, c = 5 ಆಗಿದ್ದರೆ a + b · c = 1 + 2 · 5 = 1 + 1 = 1 ಮತ್ತು (a + b) · (a + c) = (1 + 2) · (1 + 5) = 2 · 5 = 1. ಆದ್ದರಿಂದ 1 + 2 · 5 = (1 + 2) · (1 + 5). ಹೀಗೆಯೇ ಯಾವುದೇ a, b, c ಗಳಿಗೆ ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು. ಹೀಗೆಯೇ a · (b + c) = a · b + a · c ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

ಇನ್ನು B ಯಲ್ಲಿಯ 2 ಧಾತುವಿಗೆ 2 + a = 10, 2 · a = 1 ಆಗುವಂತೆ a = 5 ಇರುತ್ತದೆ. B ಯಲ್ಲಿ 10 ಏಕ, 1 ಸೊನ್ನೆ. ಹೀಗೆ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಯನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ B ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: X ಒಂದು ಗಣ. A ಗಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾತುವೂ X ನ ಧಾತುವಾಗಿದ್ದರೆ A ಯನ್ನು X ನ ಉಪಗಣವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಧಾತುಗಳೇ ಇಲ್ಲದ ಗಣಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯ ಗಣವೆಂದು ಹೆಸರು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಋಣಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವರ್ಗವಾಗಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ. ಶೂನ್ಯ ಗಣವನ್ನು ∅ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.^[೨] ಯಾವುದೇ ಗಣಕ್ಕೂ ∅ ಒಂದು ಉಪಗಣವೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.^[೩]

X ನ ಎರಡು ಉಪಗಣ A, B ಆಗಿರಲಿ. A ಯಲ್ಲಿ, B ಯಲ್ಲಿ, ಇಲ್ಲವೇ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಇರುವ ಧಾತುಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ A, B ಗಳ ಸಂಯೋಗವೆಂದು ಹೆಸರು: A ∪ B ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎರಡರಲ್ಲೂ ಇರುವ ಧಾತುಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ A, B ಗಳ ಛೇದನ ಎಂದು ಹೆಸರು: ಇದನ್ನು A ∩ B ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ A = {2, 3, 4}, B = {4, 7, 8} ಆಗಿದ್ದರೆ A ∪ B = {2, 3, 4, 7, 8}, A ∩ B = {4}

A ಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ X ನ ಧಾತುಗಳ ಗಣವನ್ನು X ನಲ್ಲಿ A ಯ ಪೂರಕ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. A, B, C ಎಂಬವು X ನ ಉಪಗಣಗಳಾದರೆ ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವು:

A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A

A ∪ ∅ = A, A ∩ X = A

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∪ A' = X, A ∩ A' = ∅

ಆದ ಕಾರಣ X ನ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳ ಗಣವನ್ನು (set of subsets) P(X) ಎಂದು ಕರೆದರೆ P(X) ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ. ∪ ಸಂಕಲನಕ್ರಿಯೆ, ∩ ಗುಣಾಕಾರಕ್ರಿಯೆ. P(X) ನ ಶೂನ್ಯಾಂಶ ∅, ಏಕಾಂಶ X.

A₁ ರಿಂದ A₄ ರವರೆಗಿನ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಬರುವ ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ. ಇವುಗಳ ಹೊರತು ಮತ್ತೇನನ್ನೂ ಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ 1

ಒಂದು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಯಾವುದೇ ಧಾತುಗಳು a, b ಆಗಿದ್ದರೆ,

(i) a + a = a, a . a = a

(ii) a + 1 = 1, a . 0 = 0

(iii) a + ab = a, a . (a + b) = a

ಸಾಧನೆ: (i) a = a + 0 = a + a.a' = (a + a) . (a + a')...A₃ರಿಂದ = a.1 = a

(ii) 1 = a + a' = a + 1.a' = (a + 1) . (a + a') = (a + 1) . 1 = a + 1

a . 0 = a.0 + 0 = a.0 + a.a' = a . (0 + a') = 0

(iii) a + a.b = a.1 + a.b = a . (1 + b) = a.1 = a, (ii) ರಿಂದ

(iv) a.(a+b) = a.a + a.b = a + a.b, (i) ರಿಂದ = a, (iii) ರಿಂದ

a, b, c ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದು + ಮತ್ತು . ಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಅರ್ಥಗಳಿದ್ದರೆ a + (b + c) = (a + b) + c ಮತ್ತು a . (b . c) = (a . b) . c. ಇವು ಸಹವರ್ತನ ನಿಯಮಗಳು.^[೪][೫] ಆದ್ದರಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗಣ Z ನ ಮೇಲೆ + ಮತ್ತು . ಗಳು ಸಹವರ್ತನ ದ್ವಿಪದ ಕ್ರಿಯೆಗಳು. ವ್ಯವಕಲನ ಕ್ರಿಯೆ ಸಹವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ 2

ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕಲನ ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಹವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 3

ಬೂಲಿಯನ್ ಗಣಿತದ ಧಾತುಗಳಾದ a, b ಗಳು a + b = 1, a . b = 0 ಸಂಬಂಧ ಪಡೆದಿದ್ದರೆ b = a’.

ಪ್ರಮೇಯ 4

(a + b)’ = a’ . b’ ಮತ್ತು (a.b)’ = a’ + b’

1938ರಲ್ಲಿ ಸಿ.ಇ. ಷಾನನ್ ಎಂಬಾತ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಒಂದು ಲೇಖನದಿಂದ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೊಸ ಯುಗ ಆರಂಭವಾಯಿತು.^[೬] ಈ ಗಣಿತವನ್ನು ಮೊತ್ತಮೊದಲನೆಯವನಾಗಿ ಈತ ತಿರುಪು ಮಂಡಲಗಳಿಗೆ (ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಸ್) ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದ.^[೭] ಅಂದಿನಿಂದ ಇದು ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಗಣಕಗಳಿಗೆ ಬಹಳವಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಿದೆ.

ತಿರುಪು ಮಂಡಲಗಳಿಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ನೋಡೋಣ. AB ಎಂಬುದು ಒಂದು ತಿರುಪುಳ್ಳ (ಸ್ವಿಚ್) ವಿದ್ಯುನ್ಮಂಡಲ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತಿರುಪಿನ ಕೆಲಸ ಸಂಪರ್ಕ ಉಂಟುಮಾಡುವುದು. ಇಲ್ಲವೇ ಒಡೆಯುವುದು. ತಿರುಪು ತೆರೆದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು 0 ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದಲೂ, ಸೇರಿದ್ದರೆ (ಮುಚ್ಚಿದ್ದರೆ) 1 ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದಲೂ ಗುರ್ತಿಸುವೆವು. ತಿರುಪುಗಳಿಗೆ x, y ಮುಂತಾದ ಚರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಸುವೆವು. ಇವುಗಳಿಗೆ ತಿರುಪು ಚರಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. x ಎಂಬ ತಿರುಪುಚರ ತೆರೆದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಬೆಲೆ 0, ಮುಚ್ಚಿದ್ದರೆ 1.

x ತಿರುಪಿನೊಡನೆ ಅದರ ಪೂರಕ x’ ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ತಿರುಪನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವೆವು: x ಮುಚ್ಚಿದ್ದರೆ x’ ತೆರೆದಿದೆ: x ತೆರೆದಿದ್ದರೆ x’ ಮುಚ್ಚಿದೆ.

ಈಗ x, y ಎಂಬ ಎರಡು ತಿರುಪುಗಳು ಸಮಾಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿರಲಿ;

ಈ ಮಂಡಲವನ್ನು x + y ಎಂದು ಗುರ್ತಿಸಿ x, ಅಥವಾ y ಎಂದು ಓದುವೆವು. A, B ಗಳ ನಡುವೆ ಮಂಡಲ ತೆರೆದಿರುವ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿರುವ ವಿಚಾರ x ನ, y ಯ ಅಥವಾ ಅವೆರಡರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬನೆಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದಾದರೂ ಮುಚ್ಚಿದ್ದರೆ AB ಮಂಡಲ ಮುಚ್ಚಿರುವುದು, ಎರಡೂ ತೆರೆದಿದ್ದರೆ ಮಂಡಲವೂ ತೆರೆದಿರುವುದು.

ಈಗ x, y ತಿರುಪುಗಳು A, B ಗಳ ನಡುವೆ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರಲಿ.

ಈ ಮಂಡಲವನ್ನು x-y ಎಂದು ಬರೆದು x ಮತ್ತು y ಎಂದು ಓದುತ್ತೇವೆ. A, B ಗಳ ನಡುವೆ ಮಂಡಲದ ಸ್ಥಿತಿ xy ಗಳೆರಡನ್ನೂ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದಾದರೂ ತೆರೆದಿದ್ದರೆ AB ಮಂಡಲವೂ ತೆರೆದಿರುವುದು, ಎರಡೂ ಮುಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಮಂಡಲವೂ ಮುಚ್ಚಿರುವುದು.

ಎರಡು ಮಂಡಲಗಳ ಸ್ಥಿತಿ (ಮುಚ್ಚಿರುವ ಅಥವಾ ತೆರೆದಿರುವ) ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆ ಮಂಡಲಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಎನ್ನುವೆವು. ಈ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿಯ ಮಂಡಲಗಳು ಸಮಾನವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೂರನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ x ತಿರುಪು ತೆರೆದ ಮಂಡಲದೊಡನೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಸೇರಿದೆ. A, B ಗಳ ನಡುವೆ ಮಂಡಲದ ಸ್ಥಿತಿ x ತಿರುಪಿನ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ನಿಂತಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಮಂಡಲ x ತಿರುಪನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮಂಡಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನ.

ಏಳನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ x ತಿರುಪು ಕೂಡ ಅದರ ಪೂರಕ x’ ನೊಡನೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಸೇರಿದೆ. x ತೆರೆದಿದ್ದರೆ x’ ಮುಚ್ಚಿರುವುದು; x ಮುಚ್ಚಿದ್ದರೆ x’ ತೆರೆದಿರುವುದು. ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಮಂಡಲ ಮುಚ್ಚಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮಂಡಲ 1 ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿತವಾಗುವ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಂಡಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನ.

ಎಂಟನೆಯ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ x, x’ ಎರಡೂ ಪಂಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿವೆ. x, x’ ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ತೆರೆದಿರುವುದರಿಂದ ಮಂಡಲ ಈಗ ತೆರೆದೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಮಂಡಲ ತೆರೆದ ಮಂಡಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನ.

ಹೀಗೆಯೇ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನೂ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಈ ಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ತಿರುಪು ಚರಗಳಾದ x, y, z ಮುಂತಾದವು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ವಿಷಯವೊಂದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಯ ಎಂಟು ಚಿತ್ರಗಳ ಪೈಕಿ ಐದನೆಯದರ ಎಡ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮಂಡಲದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂರು ತಿರುಪುಗಳಿವೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬಲಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ತಿರುಪುಗಳಿವೆ.

ಎಂದರೆ ಐದನೆಯದರ ಬಲಪಾರ್ಶ್ವ ಮಂಡಲದಲ್ಲಿರುವ ನಾಲ್ಕು ತಿರುಪುಗಳ ಕೆಲಸವನ್ನು ಎಡಪಾರ್ಶ್ವ ಮಂಡಲದ ಮೂರು ತಿರುಪುಗಳೇ ಮಾಡಬಲ್ಲವು. ಆರನೆಯದರಲ್ಲಿಯೂ ಹೀಗೆಯೇ ಇದೆ. ಅನೇಕ ತಿರುಪುಗಳಿರುವ ಇನ್ನೂ ಜಟಿಲ ಮಂಡಲಗಳಲ್ಲಿ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ತಿರುಪುಗಳ ಕೆಲಸ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಭಂಗ ತರದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಿರುಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬ ವಿಚಾರ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು.

ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಯೋಗ ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕ ತರ್ಕದಲ್ಲಿದೆ (ಸಿಂಬಾಲಿಕ್ ಲಾಜಿಕ್). ಬೂಲಿಯನ್ ಗಣಿತವನ್ನು ತರ್ಕದ ಬೀಜಗಣಿತವೆನ್ನಬಹುದು.

ನಿತ್ಯ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಜ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳು, ಎರಡೂ ಮಾತ್ರ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ: 2 + 2 = 4, ಹಾಲು ಬೆಳ್ಳಗಿದೆ-ಇವು ನಿಜ. 2 + 2 = 5, 4 ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆ-ಇವು ಸುಳ್ಳು. ಒಳಗೆ ಬಾ, ಎತ್ತ ಹೊರಟೆ? ಇವು ನಿಜವೂ ಅಲ್ಲ, ಸುಳ್ಳೂ ಅಲ್ಲ. ಇಂಥ ವಾಕ್ಯಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವಿಚಾರಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಸುಳ್ಳು ಅಥವಾ ನಿಜ ಇವೆರಡರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ವಾಸ್ತವವಾಗಿರುವ ವಾಕ್ಯಕ್ಕೆ ಹೇಳಿಕೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಗೆ `ಇಲ್ಲ’ ಅಥವಾ `ಅಲ್ಲ’ ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ಅದರ ನಕಾರ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. p ಹೇಳಿಕೆಯಾದರೆ ಅದರ ನಕಾರವನ್ನು ~p ಎಂದು ಬರಯುತ್ತೇವೆ. 2 + 2 = 5 ಎಂಬುದನ್ನು q ಹೇಳಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆದರೆ q : 2 + 2 ≠ 5.

ಮತ್ತು ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ, ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸಮಾಸವನ್ನು (ಕಂಜಂಕ್ಷನ್) ಪಡೆಯಬಹುದು. p, q ಗಳ ಸಮಾಸವನ್ನು p Λ q ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು `ಅಥವಾ’ ಪದದಿಂದ ಸೇರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ಪರ್ಯಾಯ (ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. p, q ಗಳ ಪರ್ಯಾಯ p ∨ q.

ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಿದ್ದರೆ ಅದರ ನಿಜ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (ಟ್ರೂತ್ ವೇಲ್ಯೂ) 1 ಎಂದೂ ಸುಳ್ಳಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು 0 ಎಂದು ಬರೆಯುವೆವು.^[೮][೯] p Λ q p ∨ q ಗಳ ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳು p, q ಗಳ ನಿಜಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಯುಕ್ತ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ನಿಜ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕೊಡುವ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ನಿಜ ಕೋಷ್ಟಕಗಳೆನ್ನುವೆವು:

ಒಂದೇ ನಿಜ ಮೌಲ್ಯಗಳುಳ್ಳ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನ (equivalent) ಎನ್ನುವೆವು. p, q ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾದರೆ p = q ಎಂದು ಬರೆಯುವೆವು.

p, q, r, s ಹೇಳಿಕೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ

p ∨ q = q ∨ p, p Λ q = q Λ p

p Λ (q ∨ r) = (p Λ q) ∨ (p Λ r)

p ∨ (q Λ r) = (p ∨ q) Λ (p ∨ r)^[೧೦]

ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ, ಎಲ್ಲ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ.

• Mano, Morris; Ciletti, Michael D. (2013). Digital Design. Pearson. ISBN 978-0-13-277420-8.
• Whitesitt, J. Eldon (1995). Boolean algebra and its applications. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-68483-3.
• Dwinger, Philip (1971). Introduction to Boolean algebras. Würzburg, Germany: Physica Verlag.
• Sikorski, Roman (1969). Boolean Algebras (3 ed.). Berlin, Germany: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-04469-9.
• Bocheński, Józef Maria (1959). A Précis of Mathematical Logic. Translated from the French and German editions by Otto Bird. Dordrecht, South Holland: D. Reidel.