Būla algebra
Matemātikā un matemātiskajā loģikā Būla algebra ir algebras apakšnozare, kurā mainīgo vērtības ir patiesumvērtības patiess un nepatiess, ko parasti atzīmē attiecīgi ar 1 un 0. Atšķirībā no elementārās algebras, kur mainīgo vērtības ir skaitļi un galvenās operācijas ir saskaitīšana un reizināšana, Būla algebrā galvenās operācijas ir konjunkcija un, ko apzīmē ar ∧, disjunkcija vai, ko apzīmē ar ∨, un negācija, ko apzīmē ar ¬.
Būla algebru 1854. gadā ieviesa Džordžs Būls savā grāmatā An Investigation of the Laws of Thought.[1] Saskaņā ar E. V. Hantingtonu, termins "Būla algebra" pirmoreiz tika ieteikts 1913. gadā, kad to lietoja Henrijs Šefers.[2]
Būla algebrai ir bijusi ārkārtīgi liela nozīme datorzinātnes un digitālās loģikas attīstībā. To izmanto arī kopu teorijā un statistikā.[3]
Operācijas
Pamatoperācijas
Būla algebras pamatoperācijas ir šādas:
- un (konjunkcija), apzīmēta x∧y (reizēm x AND y vai Kxy), apmierina x∧y = 1, ja x = y = 1 un x∧y = 0 citos gadījumos.
- vai (disjunkcija), apzīmēta x∨y (reizēm x OR y vai Axy), apmierina x∨y = 0, ja x = y = 0 un x∨y = 1 citos gadījumos.
- ne (negācija), apzīmēta ¬x (reizēm NOT x, Nx vai !x), apmierina ¬x = 0, ja x = 1 un ¬x = 1, ja x = 0.
Ja patiesības vērtības 0 un 1 interpretē kā veselus skaitļus, šīs darbības var izteikt ar parastajiem aritmētikas darbību operatoriem:
- x∧y = xy,
- x∨y = x + y - xy,
- ¬x = 1 - x.
Alternatīvi x∧y, x∨y un ¬x vērtības var izteikt ar patiesumvērtību tabulu palīdzību šādi.
x y x∧y x∨y 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 x ¬x 0 1 1 0 1. attēls. Patiesumvērtību tabulas
Var pieņemt, ka tikai negācija un viena no divām operācijām ir pamatoperācija, jo šīs vienādības ļauj definēt konjunkciju kā atkarību no negācijas un disjunkcijas un otrādi:
- x ∧ y = ¬(¬x ∨ ¬y)
- x ∨ y = ¬(¬x ∧ ¬y)
Atsauces
Ārējās saites
- How Stuff Works – Boolean Logic
- Science and Technology - Boolean Algebra Arhivēts 2013. gada 16. februārī, Wayback Machine vietnē. satur sarakstu un pieradījumus ar Būla teorēmām un likumiem.