두 변수 x , y {\displaystyle x,y} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} x y , x 2 , y 1 / 3 , sin x {\displaystyle xy,x^{2},y^{1/3},\sin x} y {\displaystyle y} 일차 함수 의 영점을 구하는 문제와 동치이다. 이변수 일차 방정식의 표현 방법은 여러 가지가 있으며, 이는 평면 위의 직선의 방정식을 표현하는 방법과도 같다.
일반적인 꼴 모든 이변수 일차 방정식은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} 여기서 a 2 + b 2 ≠ 0 {\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0} ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 스칼라곱 a x + b y {\displaystyle ax+by} − c {\displaystyle -c} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 행렬 을 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.
( a b ) ( x y ) = − c or ( a b c ) ( x y 1 ) = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=-c\quad {\text{or}}\quad {\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0} 만약 직선이 놓인 직교 좌표 평면을 복소평면 으로 간주한다면, 점은 두 실수의 순서쌍 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} z {\displaystyle z}
B ¯ z + B z ¯ + C = 0 {\displaystyle {\bar {B}}z+B{\bar {z}}+C=0} 여기서 B {\displaystyle B} 복소수 , C {\displaystyle C} 실수 , B ¯ {\displaystyle {\bar {B}}} B {\displaystyle B} 켤레 복소수 이다. 이는 직선의 방정식의 일반 꼴에서 z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} B = ( a + b i ) / 2 {\displaystyle B=(a+bi)/2} C = c {\displaystyle C=c}
기울기와 y절편이 주어진 경우 기울기 m {\displaystyle m} y 절편 n {\displaystyle n}
y = m x + n {\displaystyle y=mx+n} 이는 일반 꼴로부터 m = − a / b {\displaystyle m=-a/b} n = − c / b {\displaystyle n=-c/b} y 축과 평행하는 직선)(기울기가 무한대인 직선)의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.
한 점과 기울기가 주어진 경우 직선이 지나는 점 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} m {\displaystyle m}
y − y 1 = m ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})} 수직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.
두 점이 주어진 경우 직선 위에 놓인 두 점 ( x 1 , y 1 ) ≠ ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})}
( y − y 1 ) ( x 2 − x 1 ) = ( x − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) {\displaystyle (y-y_{1})(x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})(y_{2}-y_{1})} 이를 행렬식을 통해 표현하면 다음과 같다.
| x y 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0} 모든 직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 있다. 수직선이 아닐 경우 x 1 ≠ x 2 {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}
y − y 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})} 두 절편이 주어진 경우 x 절편 x 0 {\displaystyle x_{0}} y 절편 y 0 {\displaystyle y_{0}} x 0 ≠ 0 {\displaystyle x_{0}\neq 0} y 0 ≠ 0 {\displaystyle y_{0}\neq 0}
x x 0 + y y 0 = 1 {\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1} 이는 직선의 방정식의 일반적인 꼴에 x 0 = − c / a {\displaystyle x_{0}=-c/a} y 0 = − c / b {\displaystyle y_{0}=-c/b} x 축에 평행하거나, y 축에 평행하거나, 원점을 지나는 직선의 방정식은 이러한 꼴로 나타낼 수 없다.
매개 변수 방정식 직선을 하나의 매개 변수가 실수 범위에서 변화할 때 이 매개 변수에 의존하는 점이 그리는 궤적으로서 표현할 수 있다. 예를 들어, 점 P = ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P=(x_{0},y_{0})} u = ( a , b ) {\displaystyle \mathbf {u} =(a,b)}
x = x 0 + a t y = y 0 + b t t ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle {\begin{matrix}x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\end{matrix}}\qquad t\in (-\infty ,\infty )} 이는 다음과 같이 간략히 쓸 수도 있다.
P Q → = t u t ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=t\mathbf {u} \qquad t\in (-\infty ,\infty )} 여기서 Q = ( x , y ) {\displaystyle Q=(x,y)}
P Q → × u = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}\times \mathbf {u} =\mathbf {0} } 여기서 × {\displaystyle \times } 벡터곱 , 0 {\displaystyle \mathbf {0} } 영벡터 이다.
또한, 두 점 P = ( x 1 , y 1 ) ≠ Q = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle P=(x_{1},y_{1})\neq Q=(x_{2},y_{2})}
x = ( 1 − t ) x 1 + t x 2 y = ( 1 − t ) y 1 + t y 2 t ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle {\begin{matrix}x=(1-t)x_{1}+tx_{2}\\y=(1-t)y_{1}+ty_{2}\end{matrix}}\qquad t\in (-\infty ,\infty )} 이를 간략히 표현하면 다음과 같다.
O R → = ( 1 − t ) O P → + t O Q → t ∈ ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle {\overrightarrow {OR}}=(1-t){\overrightarrow {OP}}+t{\overrightarrow {OQ}}\qquad t\in (-\infty ,\infty )} 여기서 R = ( x , y ) {\displaystyle R=(x,y)}
P R → × P Q → = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {PR}}\times {\overrightarrow {PQ}}=\mathbf {0} } 
이라면, 유일한 해
를 가진다.
,
이라면, 이 방정식은 어떤 해도 가지지 않는다. 즉, 불능 방정식이다.
이라면, 이 방정식은 모든 수를 해로 가지며, 부정 방정식에 속한다.
의 해는
이다.
의 해는 존재하지 않는다.
은 모든 수를 해로 한다. 따라서 해가 무한히 많다.
