Линеарна равенка

Во математиката, линеарна равенка е полиномна равенка од прв степен. Истата може да има 1, 2, 3, или повеќе променливи. Меѓутоа, бидејќи е полином од прв степен, секој член од равенката е или константа или константа по променлива (без никакви експоненти).^[1][2][3]

На пример: ${\displaystyle Ax=B\,\,}$ , А≠0 е линеарна равенка во една променлива х. Коефициентите А и В се константи, односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а останува само x како променлива.

Зборот линеарна се однесува на тоа дека степенот на полиномот е еден, а не на графиконот на множеството решенија на равенката. На пример, 3x=6 e линеарна равенка во една променлива со решение х=2, т.е. точка на бројната оска. Множеството решенија на линеарна равенка во две променливи е права во рамнина (2-димензионален простор), а множеството решенија на линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор (3-димензионален простор). Множеството решенија на линеарна равенка во повеќе од три променливи е т.н. (n-1)-димензионална хиперрамнина во n-димензионален хиперпростор (што значи дека не можеме да го цртаме).^[4]

Забелешка: Линеарна равенка во 2 променливи е линеарна функција (во стандарден облик), па поради тоа честопати доаѓа до заблуда помеѓу поимите.

Линеарни равенки и нивни решенија
Една променлива х	Две променливи х и у	Три променливи х, у и z
${\displaystyle Ax=B}$ А ≠0	${\displaystyle Ax+By=C}$ А, B ≠0	${\displaystyle Ax+By+Cz=D}$ А, B, C ≠0
2x=6	-x+2y=6	3x-2y+3z=6
точка на бројна оска	права во рамнина	рамнина во 3Д простор

Множеството решенија на една линеарна равенка го дели „просторот“ на две полупростори: Во првиот пример бројот х=3 ја дели бројната оска на два дела (лево од х=3 и десно од х=3), во вториот пример правата -x+2y=6 ја дели рамнината на два дела (над и под правата) и во третиот пример рамнината 3x-2y+3z=6 го дели тридимензионалниот простор на два дела (лево и десно од жолтата рамнина. Ова својство се користи при решавање на линеарни неравенки.

Поформално, линеарнa равенкa во n променливи x₁, x₂, ..., x_n е имплицитна зададена функција A₁x₁+A₂x₂+...+A_n-1x_n-1+Bx_n=C, која може на единствен начин да се напише во експлицитен облик x_n:R^n-1 → R каде што x_n=¹⁄_B(C-A₁x₁+A₂x₂+...+A_n-1x_n-1).

Векторски облик на линеарна равенка во n променливи е: ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {X} =C}$    односно   ${\displaystyle [{\begin{array}{*{20}{l}}{A_{1}}&{A_{2}}&{...}&{{A_{n}}]}\end{array}}\cdot \left[{\begin{array}{*{20}{l}}{x_{1}}\\{x_{2}}\\\vdots \\{x_{n}}\end{array}}\right]=C}$.

Означување: Во зависност од дисциплината во која се работи, во општата равенка, константниот коефициент може да се појави од десната страна (како тука) или од левата страна, т.е. наместо ${\displaystyle Ax+By=C}$  се пиши  ${\displaystyle Ax+By+C=0}$. Ова е само формална разлика, но при работа треба да се внимава кој облик е користен при одредување на вредноста, односно знакот на константниот коефициент.

Забелешка: Решението на систем n линеарни равенки во n променливи (непознати) е секогаш точка во n-димензионален простор (доколку системот е доследен), т.е. систем 1 линеарна равенка во 1 непозната е точка на бројната оска, систем 2 линеарни равенки во 2 непознати е пресек на две прави, т.е. точка во рамнина (најпознатиот случај), а систем 3 линеарни равенки во 3 непознати е пресек на три рамнини, т.е. точка во простор. Види:Систем линеарни равенки.

Дефиницијата на линеарна равенка може да се обопштува до полето на комплексни броеви. На пример 3z+2i=6-i е линеарна равенка во една комплексна променлива, при што решението е комплексниот број: z=2-i.^[5]