Linearna jednačina

Implicitna jednadžba pravca

Razmatramo li jednakost oblika

${\displaystyle Ax+By+C=0\,}$

ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova x,y koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u kartezijanskom koordinatnom sustavu x0y određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.

Eksplicitna jednadžba pravca

Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca

${\displaystyle Ax+By+C=0\,}$

u drugi oblik kako slijedi

${\displaystyle By=-Ax-C\,}$

${\displaystyle y=-{\frac {A}{B}}x-{\frac {C}{B}}\,}$

naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku

${\displaystyle y=ax+b\,}$

gdje a i b ovise o A, B i C na način da je

${\displaystyle a=-{\frac {A}{B}}}$

${\displaystyle b=-{\frac {C}{B}}}$

Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca a te odsječak b koji pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.

Segmentna jednadžba pravca

Preuredimo li sada eksplicitnu jednadžbu pravca

${\displaystyle y=ax+b\,}$

u treći oblik kako slijedi

${\displaystyle y-ax=b\,}$

${\displaystyle {\frac {y}{b}}-{\frac {ax}{b}}=1\,}$

${\displaystyle {\frac {y}{b}}+{\frac {x}{\frac {-b}{a}}}=1\,}$

naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna jednadžba pravca može se zapisati i u sljedećem obliku

${\displaystyle {\frac {x}{m}}+{\frac {y}{n}}=1\,}$

gdje su

${\displaystyle m=-{\frac {b}{a}},\,}$

${\displaystyle n=b.\,}$

Druge oznake

Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku

${\displaystyle ax+by+c=0\,}$

gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao

${\displaystyle y=kx+l\,}$

gdje je k koeficijent smjer pravca, a l odsječak na y-osi.

Pravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvjema zadanim točkama kroz koje pravac prolazi.

Pravac određen točkom i koeficijentom smjera

Neka je pravac određen točkom ${\displaystyle ''T''(x_{1},y_{1})}$ i koeficijentom smjera a. Jednadžba pravca se u tom slučaju uobičajeno prikazuje u obliku

${\displaystyle y-y_{1}=a(x-x_{1})\,}$ .

Pravac određen dvjema točkama

Pravac je po definiciji određen dvjema točkama koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke ${\displaystyle ''T_{1}''(x_{1},y_{1})}$ i ${\displaystyle ''T_{2}''(x_{2},y_{2})}$ prikazuje se uobičajeno u obliku

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})\,}$ .

Pravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i ne samo matematike. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca

${\displaystyle y=ax+b\,}$

i ukoliko definiramo da je x slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a y zavisna varijabla gdje će nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je

${\displaystyle y=f(x)=ax+b\,}$

Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika: ${\displaystyle y=ax+b}$ , funkciju nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika

${\displaystyle y=f(x)=ax\,}$

koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.

• Linear Equations and Inequalities Arhivirano 2014-11-15 na Wayback Machine-u Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Linear equation”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.