Tiesinė lygtis

Tiesinė lygtis su vienu nežinomuoju x visada gali būt užrašoma forma

${\displaystyle ax=b.}$

Jei a ≠ 0, egzistuoja tik vienas sprendinys

${\displaystyle x={\frac {b}{a}}.}$

Jei a = 0, tai:

• jei b ≠ 0, lygtis neturi nė vieno sprendinio;
• jei b taip pat lygu nuliui, bet kuris skaičius yra sprendinys.

Dažnai pasitaikanti tiesinių lygčių su dviem kintamaisiais x ir y užrašymo forma yra

${\displaystyle y=kx+b,\,}$

kur k ir b nurodo konstantas (parametrus). Pavadinimo „tiesinė lygtis“ kilmė yra faktas, kad šios lygties sprendinių aibė plokštumoje sudaro tiesę.

Šioje lygtyje konstanta k nurodo tiesės krypties koeficientą, o pastovusis narys b nurodo tašką, kuriame tiesė kerta Y ašį.

Kadangi tiesinės lygties nariai negali būti sudaryti nei iš skirtingų ar vienodų kintamųjų sandaugų, nei iš kėlimo jokiu laipsniu (išskyrus 0 ir 1), nei iš kokios kitos kintamojo funkcijos, lygtys, turinčios tokius narius kaip xy, x², y^1/3 arba sin(x) yra netiesinė.

Dvimačių tiesinių lygčių išraiškos

Naudojant elementariosios algebros dėsnius, tiesinės lygtys gali būti užrašomas keleta skirtingų formų. Dažnai šios lygtys vadinamos „tiesės lygtimis“. Žemiau pateiktuose pavyzdžiuose x, y, t ir θ yra kintamieji; kitos raidės – konstantos.

Standartinė išraiška

Standartine forma tiesinė lygtis užrašoma taip:

${\displaystyle Ax+By=C,\,}$

kur nei A, nei B nelygūs nuliui. Pagal susitarimą, dažniausiai lygtis rašoma taip, kad A ≥ 0. Šios lygties grafikas yra tiesė ir kiekviena tiesė gali būti pavaizduojama šia lygtimi. Jei A nelygu nuliui, tai taškas, kuriame tiesė kerta X ašį (y lygu nuliui), yra C/A. Jei B nelygu nuliui, tai taškas, kuriame tiesė kerta Y ašį (x lygu nuliui) yra C/B. Tiesės krypties koeficientas yra -A/B. Standartinė forma (dar vadinama bendraja tiesės lygtimi)^[1] kartais užrašoma ir taip:

${\displaystyle ax+by+c=0,\,}$

kur a ir b nelygūs nuliui.

Krypties koeficiento išraiška

${\displaystyle y=mx+b,\,}$

kur m yra krypties koeficientas, o b – tašk, kuriame tiesė kerta Y ašį (x lygu nuliui), y koordinatė. Tai galima pamatyti į x vietą įstačius nulį y = mx + b = 0m + b = b, taigi y = b. Vertikalios tiesės, kurių krypties koeficientas neapibrėžtas, negali būti užrašomos šia lygtimi.

Krypties koeficiento ir taško išraiška

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}),\,}$

kur m yra tiesės krypties koeficientas, o (x₁,y₁) yra bet kuris tiesės taškas.

Krypties koeficiento ir taško forma pavaizduoja faktą, kad skirtumas tarp dviejų taškų y koordinatės (t. y., y − y₁) yra proporcingas skirtumui tarp taškų x koordinatės (t. y., x − x₁). Proporcijos konstanta yra m (tieses krypties koeficientas).

Dviejų taškų išraiška

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}),\,}$

kur (x₁, y₁) ir (x₂, y₂) yra du tiesės taškai, kai x₂ ≠ x₁. Ši lygtis yra tokia pati kaip krypties koeficiento ir taško išraiškos lygtis, tik krypties koeficientas užrašomas taip (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

Abi lygties puses padauginus iš (x₂ − x₁) gaunama simetriškoji išraiška:

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})=(y_{2}-y_{1})(x-x_{1}).\,}$

Sudauginus ir pergrupavus narius, gaunama bendroji išraiška:

${\displaystyle x\,(y_{2}-y_{1})-y\,(x_{2}-x_{1})=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}$

Naudojant determinantą, gaunama lengvai įsimenama determinanto išraišką:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0\,.}$

Ašių kirtimo išraiška

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1,\,}$

kur a ir bnegali būti lygūs nuliui. Lygties grafikas X ašį kerta taške a, o Y ašį taške b. Ašių kirtimo išraiška yra standartinė išraiška, kai A/C = 1/a ir B/C = 1/b. Tiesės, kertančios koordinačių pradžios tašką, arba tos, kurios yra vertikalios arba horizontalios, negali būti užrašytos šia forma.

Matricos išraiška

Naudojant standartinę išraišką

${\displaystyle Ax+By=C,\,}$

ją galima perrašyti matrica:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C\end{pmatrix}}.}$

Šį užrašymą galima išplęsti iki tiesinių lygčių sistemos.

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y=C_{1},\,}$

${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y=C_{2},\,}$

tampa:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}C_{1}\\C_{2}\end{pmatrix}}.}$

Kadangi šį užrašymo būdą galima lengvai transformuoti aukštesnėms dimensijoms, tai dažnas vaizdavimo būdas tiesinėje algebroje ir kompiuterių programavime.