Katalano kūnas

Matematikoje Katalano kūnas – atitinkamo Archimedo kūno dualusis briaunainis. Katalano kūnai taip vadinami pagal juos 1865 m. pirmą kartą aprašiusį belgų matematiką Euženą Katalaną (Eugène Catalan).

Katalano kūnai yra iškilieji briaunainiai. Jie yra tranzityvūs sienų atžvilgiu, bet netranzityvūs briaunų atžvilgiu. Taip yra todėl, kad šių kūnų dualai, Archimedo kūnai, yra tranzityvūs briaunų atžvilgiu, bet netranzityvūs sienų atžvilgiu. Reikia pastebėti, kad skirtingai negu Platono kūnai ir Archimedo kūnai, Katalano kūnų sienos nėra taisyklingieji daugiakampiai. Kita vertus, Katalano kūnų viršūnių planai yra taisyklingieji daugiakampiai ir jie turi pastovius dvisienius kampus. Kadangi jų sienos yra tranzityvios, Katalano kūnai yra izoedrai.

Be to, du Katalano kūnai yra dar tranzityvūs ir briaunų atžvilgiu: rombinis dodekaedras ir rombinis triakontaedras. Šiuodvi figūros yra dviejų kvazitaisykligų Archimedo kūnų dualai.

Lygiai, kaip prizmės ir antiprizmės bendruoju atveju nėra priskiriamos prie Archimedo kūnų, taip bipiramidės ir trapecoedrai nepriskiriami prie Katalano kūnų, nors abiejų klasių figūros yra tranzityvios sienų atžvilgiu.

Dviem Katalano kūnams būdingas chirališkumas: penkiakampiam ikositetraedrui ir penkiakampiam heksakontaedrui, kurie yra atitinkamai dualūs su nusklembtu kubu ir nusklembtu dodekaedru. Kiekvienas šių dualų iš tiesų yra enantiomorfų pora. Bet neskaičiuojant šių enantiomorfų ir bipiramidžių bei trapecoedrų iš viso turime 13 Katalano kūnų.

„Triakis“ (ir kitos panašios Katalano kūnų pavadinimo dalys) yra hibridinis darinys iš graikų τρι, tri – „trys“ ir lotynų acis „ketera“, „smailė“; taigi „triakis“ tetraedras yra tetraedras, kurio kiekvienoje sienoje iškilusios trys briaunos („keteros“). Atitinkamai „tetrakis“ reiškia sieną, kurioje iškilusios keturios (tetra), „pentakis“ – penkios briaunos, sudarančios lygiašonius trikampius, o „disdyakis“ – briaunos sudaro įvairiakraščius trikampius.