Kinematika

Slenkamuoju vadiname kūno judėjimą, kai visi jo taškai, jam slenkant,brėžia vienodas trajektorijas. Šio judėjimo nagrinėjimui, pakanka nagrinėtikažkurio vieno, pasirinkto, taško judėjimą.

Sąvokos

Materialusis taškas

Kūnas, kurio matmenų esamomis sąlygomis galime nepaisyti.

Atskaitos kūnas

Kūnas, kurio atžvilgiu nagrinėjamas kito kūno judėjimas.

Atskaitos sistema

Sistema, kurios atžvilgiu nagrinėjamas kūno judėjimas. Susideda iš atskaitos kūno, su juo susietos koordinačių sistemos ir prietaiso laikui matuoti.

Trajektorija

Linija, kuria juda kūnas. Trajektorijos gali būti tiesios ir kreivos.

Poslinkis (poslinkio vektorius)

Kryptinė tiesės atkarpa jungianti kūno pradinę padėtį su galine ${\displaystyle [{\vec {s}}]=1m}$ .

Greitis

Fizikinis dydis apibūdinantis kūno padėties kitimą ${\displaystyle [{\vec {v}}]=1{\frac {m}{s}}}$ .

Pagreitis

Fizikinis dydis apibūdinantis kūno greičio kitimą ${\displaystyle [{\vec {a}}]=1{\frac {m}{s^{2}}}}$ ;

Tolyginis tiesiaeigis judėjimas

Tolyginis tiesiaeigis judėjimas – judėjimas, kai kūnoposlinkiai per vienodus laiko tarpus yra vienodi. Tokiojudėjimo trajektorija yra tiesė.

Kūno greitis vykstant tolyginiam tiesiaeigiam judėjimui yra konstanta:

${\displaystyle {\vec {v}}\equiv const}$

Jį galima apskaičiuoti pagal formulę:

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta t}}}$ , kur

${\displaystyle \Delta {\vec {r}}}$ - kūno radiuso vektoriaus pokytis - poslinkis (kartais žymimas ${\displaystyle \Delta {\vec {x}}}$ arba ${\displaystyle \Delta {\vec {s}}}$ )

${\displaystyle \Delta t}$ - laiko pokytis

Netolyginis judėjimas

Netolyginis judėjimas – judėjimas, kai kūno poslinkiai pervienodus laiko tarpus nėra vienodi.Netolyginio judėjimo pavyzdžiai: automobilio judėjimas, traukinio judėjimas.

Nagrinėjant netolyginį judėjimą išskiriami du skirtingi greičio tipai:

Momentinis greitis – greitis, kuriuo konkrečiu metu juda nagrinėjamaskūnas. Momentinį greitį rodo automobilio spidometras.

Vidutinis greitis – greitis, kuriuo vidutiniškai judėjo kūnasnagrinėjamą kelią.

${\displaystyle v_{\mathrm {vid} }={\frac {l}{t}}}$ , kur

• ${\displaystyle v_{\mathrm {vid} }}$  – vidutinis kūno greitis,
• ${\displaystyle l}$  – visas kūno nueitas kelias,
• ${\displaystyle t}$  – visas kūno judėjimo laikas.

Kai laiko tarpas ${\displaystyle \Delta t}$ tampa elementariuoju, kūno judėjimo pokytis tampa nykstamai mažas ir vidutinis greitis ${\displaystyle v_{vid}}$ išreiškia greitį šiuo laiko momentu - momentinį greitį:

${\displaystyle {\vec {v}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {r}}(t)}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {r}}(t)}{dt}}}$

• ${\displaystyle \Delta {\vec {r}}}$  – poslinkio pokytis,
• ${\displaystyle \Delta t}$  – laiko pokytis.

Pastaba: Atkreipkite dėmesį, kad poslinkio pokyčio ir greičio kryptys sutampa.

Tolygiai kintamas judėjimas

Tolygiai kintamas judėjimas – judėjimas, kai kūno greitisper vienodus laiko tarpus pakinta vienodai. Dydis, apibūdinantisgreičio pokytį vadinamas, pagreičiu.

Pagreitį galima apskaičiuoti pagal formulę:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}}$

Kai laikas tampa elementariouju, gauname

${\displaystyle {\vec {a}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}(t)}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {v}}(t)}{dt}}}$ , kur

• ${\displaystyle {\vec {a}}}$  – pagreitis,
• ${\displaystyle \Delta {\vec {v}}}$  – greičio pokytis,
• ${\displaystyle \Delta t}$  – laikas, per kurį tas pokytis įvyko.

Tolygiai kintamo judėjimo atveju pagreitis yra konstanta(${\displaystyle {\vec {a}}\equiv const}$ ).

Pagrindinė kinematikos lygtis

Tolygiai kintamo judėjimo atvėju, t. y. kai ${\displaystyle {\vec {a}}\equiv const}$ , gauname

${\displaystyle {\vec {v}}=\int _{0}^{t}{\vec {a}}(t)dt={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t}$

Tada

${\displaystyle {\vec {r}}=\int _{0}^{t}({\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t)dt={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}}$

Padarius ${\displaystyle {\vec {r}}}$ projekciją į x ašį gauname pagrindinę kinematikos lygtį:

${\displaystyle x(t)=x_{0}+vt+{\frac {at^{2}}{2}}}$

čia

• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ - pradinis greitis (integravimo konstanta)
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ - pradinė kūno padėtis (integravimo konstanta)
• ${\displaystyle x_{0}}$ - ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ projekcija į Ox ašį, pradinė x koordinatė

Projekcijos į Oy ir Oz ašis gaunamos analogiškai

Sprendžiant kinematikos uždavinius dažnai susiduriama su atvejais, kai ${\displaystyle a=g}$ , bet svarbus žinoti, kad pagreitis ${\displaystyle a}$ gali įgauti betkokį dydį ir matematinę formą.

Sukamuoju vadiname kūno judėjimą, kai visų jo taškų trajektorijosyra apskritimai, kurių centrai yra vienoje sukimosi ašyje.

Judėjimas apskritimu

Kūno judėjimas apskritimu yra kreivaeigio judėjimo atvejis. Apskritimutolygiai judančio kūno greičio kryptis nuolat kinta, taigi kūnas judantistolygiai apskritimu juda su nekintančiu pagreičiu. Šis pagreitis vadinamasįcentriniu. Jo modulį galima apskaičiuoti pagal formulę:

${\displaystyle a_{ic}={\frac {v^{2}}{R}}}$ , kur

• ${\displaystyle a_{ic}}$  – įcentrinio pagreičio modulis,
• ${\displaystyle v}$  – kūno linijinis greitis,
• ${\displaystyle R}$  – apskritimo, kuriuo juda kūnas, spindulio ilgis.

Įrodymas

Įsivaizduokime, kad taškas juda apskritimu prieš laikodržio rodyklę. Tokio kūno pozicijos vektorius ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ bus

${\displaystyle {\vec {r}}(t)=(R\cdot \cos(\omega t),R\cdot \sin(\omega t))}$ čia ${\displaystyle \omega }$ - kampinis greitis.

Greitį galima gauti radus pirmos eilės išvestinę pagal laiką${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}(t)}{dt}}={\Bigl (}{\frac {d}{dt}}[R\cdot cos(\omega t)];{\frac {d}{dt}}[R\cdot sin(\omega t)]{\Bigr )}=\omega (-R\cdot sin(\omega t);R\cdot cos(\omega t))}$ Tuomet pagreitis bus antros eilės pozicijos vektoriaus išvestinė arba pirmos eilės greičio vektoriaus išvestinė:${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\vec {v}}(t)}{dt}}=\omega ({\frac {d}{dt}}[-R\cdot sin(\omega t)];{\frac {d}{dt}}[R\cdot cos(\omega t)])=-\omega ^{2}(R\cdot cos(\omega t);R\cdot sin(\omega t))=-\omega ^{2}{\vec {r}}(t)}$ Tada pagreičio modulis${\displaystyle a=|{\vec {a}}(t)|=\omega ^{2}R}$ Linijinio greičio ir kampinio greičio formulės:${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}$ ir ${\displaystyle v={\frac {s}{t}}={\frac {2\pi R}{T}}=\omega R}$ Jas apjungus, gauname${\displaystyle a={\frac {\omega ^{2}R^{2}}{R}}={\frac {v^{2}}{R}}}$

Iš ${\displaystyle {\vec {v}}(t)}$ ir ${\displaystyle {\vec {a}}(t)}$ formulių, galima pastebėti, kad Įcentrinio pagreičio vektorius nukreiptas į apskritimo centrą, o apskritimu judančio kūno greičio vektorius nukreiptas apskritimo liestinės kryptimi.

Nagrinėjant kūno judėjimą apskritimu įvedamas naujas dydis – spindulio posūkio kampas φ. Jis matuojamas radianais (${\displaystyle [\phi ]=1rad}$ ). Kūno sukimosigreičiui apibūdinti įvedama kampinio greičio savoka.

Svyruojamuoju vadiname kūno judėjimą, kai kūnas pakaitomis juda tai į vieną, tai į kitą pusę. Šiam judėjimo tipui būdingas kartojimasis laike. Judėjimo pavyzdžiai: laikrodžio švytuoklės judėjimas, muzikinio instrumento stygos judėjimas, matematinės svyruoklėsjudėjimas.

Norint nustatyti vieno kūno padėtį kito kūno atžvilgiu, su pastaruoju kūnu nekintamai sujungiama kuri nors koordinačių sistema, pavyzdžiui, stačiakampė arba cilindrinė. Taško padėtis erdvėje nusakoma arba taško padėties vektoriumi, arba trimis stačiakampės sistemos koordinatėmis x, y, z, arba trimis bet kurios koordinačių sistemos koordinatėmis. Jei visų nagrinėjimo kūno taškų koordinatės per laiką nekinta, sakoma, kad kūnas tos koordinačių sistemos atžvilgiu nejuda; jei kurių nors kūno taškų koordinatės kinta, vadinasi, kūnas parinktos koordinačių sistemos atžvilgiu juda.