Trigonometrična funkcija

Sinus (sin) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo.

Kosinus (cos) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.

Tangens (tg ali tan) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu priležno kateto.

Kotangens (ctg ali cot) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in kotu nasprotno kateto.

Sekans (sec) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu priležno kateto. Velja: ${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$ .

Kosekans (csc) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu nasprotno kateto. Velja: ${\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}$ .

Z enotskim krogom (OA = 1) lahko funkcije opredelimo kot:

• sin α = BC - ordinata točke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko krožnico
• cos α = OB - abscisa točke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko krožnico
• tg α = AD - ordinata točke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko krožnico pri x = 1
• ctg α = EF - abscisa točke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko krožnico pri y = 1

• sec α = OD
• csc α = OF

Glavni članek: krožna funkcija.

Vsaki trigonometrični funkciji pripada inverzna funkcija. Inverze trigonometričnih funkcij imenujemo krožne ali ciklometrične funkcije.

Ker trigonometrične funkcije niso bijektivne, so krožne funkcije le delno inverzi (inverzi le na določenem območju). V spodnji tabeli so navedeni ustrezni intervali (glavne vrednosti).

Trigonometrične funkcije lahko za majhne vrednosti argumenta razvijemo v Taylorjevo vrsto (opomba: argument x mora biti v radianih):

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\pm \ldots }$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\pm \ldots }$

${\displaystyle \operatorname {tg} x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\ldots +{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}+\ldots }$

Pri tem B_n označujejo Bernoullijeva števila.

Trigonometrične funkcije lahko razširimo tako, da dovolimo, da je argument funkcije kompleksen. Pri tem si lahko pomagamo z Eulerjevo enačbo:

${\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z\!\,.}$

Odtod dobimo

${\displaystyle \sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\!\,,}$

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\!\,.}$

${\displaystyle (\sin(x))^{2}+(\cos(x))^{2}=1}$

${\displaystyle 1+(\operatorname {tg} (x))^{2}={\frac {1}{(\cos(x))^{2}}}}$

${\displaystyle 1+(\operatorname {ctg} (x))^{2}={\frac {1}{(\sin(x))^{2}}}}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha }$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\operatorname {ctg} \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\operatorname {tg} \alpha }$

${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }$

${\displaystyle \sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha }$

${\displaystyle \cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha }$

${\displaystyle \cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {tg} (\pi -\alpha )=-\operatorname {tg} \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ctg} (\pi -\alpha )=-\operatorname {ctg} \alpha }$

${\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha }$

${\displaystyle \cos 2\alpha =(\cos \alpha )^{2}-(\sin \alpha )^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-(\operatorname {tg} \alpha )^{2}}}}$

${\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4(\sin \alpha )^{3}}$

${\displaystyle \cos 3\alpha =4(\cos \alpha )^{3}-3\cos \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}}$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }$

• sinusni izrek
• kosinusni izrek
• faktorizacija (preoblikovanje vsote kotnih funkcij v produkt)
• razčlenjevanje (preoblikovanje produkta kotnih funkcij v vsoto)
• krožna funkcija
• hiperbolična funkcija