Trigonometrija (grč. trigonon [trougao] + metron [mjera] - "mjerenje trougla") jest dio matematike koji proučava odnose među segmentima pravi (dužinama) i uglovima trougla u ravni ili na površini sfere . Pomoću trigonometrijskih funklcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugao nagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.
Definicija Trigonometrijske funkcije su: sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), sekans (sec) i kosekans (csc). [1]
Odnosno:
sin α = a c {\displaystyle \sin \alpha ={{\mbox{a}} \over {\mbox{c}}}} Sinus ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne katete i hipotenuze pravouglog trougla.
csc α = c a {\displaystyle \csc \alpha ={{\mbox{c}} \over {\mbox{a}}}}
Kosekans ugla je recipročna vrijednost od sinus ugla.
cos α = b c {\displaystyle \cos \alpha ={{\mbox{b}} \over {\mbox{c}}}}
Kosinus ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže katete i hipotenuze pravouglog trougla.
sec α = c b {\displaystyle \sec \alpha ={{\mbox{c}} \over {\mbox{b}}}}
Sekans ugla je recipročna vrijednost od kosinus ugla.
tan α = tg A = a b {\displaystyle \tan \alpha ={{\mbox{tg}}A}={{\mbox{a}} \over {\mbox{b}}}}
Tangens ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne i bliže katete pravouglog trougla.
cot α = ctg A = b a {\displaystyle \cot \alpha ={{\mbox{ctg}}A}={{\mbox{b}} \over {\mbox{a}}}}
Kotangens ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže i suprotne katete pravouglog trougla. Kotangens ugla je recipročna vrijednost od tangens ugla.
Inverzne trigonometrijske funkcije su: arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arcuskotangens (arcctg), arcussekans (arcsec) i arkuskosekans (arccsc).
Trigonometrijska kružnica Trigonometrijska kružnica je kružnica sa centrom u centrom u koordinantnom početku O ( 0 , 0 ) {\displaystyle O(0,0)} , tj. x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
Definicija 1 Trigonometrijske realne funkcije ugla φ {\displaystyle \varphi } definišu se jednakostima
cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 , {\displaystyle \cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi =1,\,} sinus i kosinus su realni brojevi. tg ϕ = sin ϕ cos ϕ , ctg ϕ = cos ϕ sin ϕ , {\displaystyle \operatorname {tg} \phi ={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }},\;\operatorname {ctg} \phi ={\frac {\cos \phi }{\sin \phi }},} tangens i kotangens sec ϕ = 1 cos ϕ , csc ϕ = 1 sin ϕ , {\displaystyle \sec \phi ={\frac {1}{\cos \phi }},\;\csc \phi ={\frac {1}{\sin \phi }},} sekans i kosenkans vercos ϕ = 1 − sin ϕ , versin = 1 − cos ϕ , {\displaystyle \operatorname {vercos} \phi =1-\sin \phi ,\;\operatorname {versin} =1-\cos \phi ,} kosinus versus i sinus versusFunkcije sekans, kosenkans, kosinus versus i sinus versus rijetko se susreću
Neka je trigonimetrijska kružnica predstavljena u Dekartovom pravouglom koordinantnom sistenu i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Krečući se po kružnici tačka D prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao φ {\displaystyle \varphi } može rasti do 360 o {\displaystyle 360^{o}} i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvijek računaju kao kosinus i sinus ugla φ {\displaystyle \varphi } . To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu. To se vidi iz tabele [2]
Trigonometrijske funkcije po kvadrantima Kvadrant 1. (0°-90°) 2. (90°-180°) 3. (180°-270°) 4. (270°-360°) sinus + + - - kosinus + - - + tangens + - + -
Svođenje na prvi kvadrant Lahko je preko trigonometrijske kružnice ili adicionih formula provjeriti tačnost formula za svođenje vrijednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta: [3]
cos ( π − ϕ ) = − cos ϕ , sin ( π − ϕ ) = sin ϕ , {\displaystyle \cos(\pi -\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(\pi -\phi )=\sin \phi ,} cos ( π + ϕ ) = − cos ϕ , sin ( π + ϕ ) = − sin ϕ , {\displaystyle \cos(\pi +\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(\pi +\phi )=-\sin \phi ,} cos ( − ϕ ) = cos ϕ , sin ( − ϕ ) = − sin ϕ . {\displaystyle \cos(-\phi )=\cos \phi ,\;\sin(-\phi )=-\sin \phi .} Funkcije kosinus i sinus imaju period 2 π {\displaystyle 2\pi } , a tangens π {\displaystyle \pi } :
cos ( 2 π + ϕ ) = cos ϕ , sin ( 2 π + ϕ ) = sin ϕ , tg ( π + ϕ ) = tg ϕ . {\displaystyle \cos(2\pi +\phi )=\cos \phi ,\;\sin(2\pi +\phi )=\sin \phi ,\;\operatorname {tg} (\pi +\phi )=\operatorname {tg} \phi .} Period sinusne i kosinusne funkcije nalazimo iz formule [4]
T = 2 π ω {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}} Period funkcije sin 2 α {\displaystyle \sin {2\alpha }} je
T = 2 π 2 {\displaystyle T={\frac {2\pi }{2}}} , odnosno π {\displaystyle \pi } .Funkcije uglova većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant,na način vidljiv u sljedećoj tabeli
β {\displaystyle \beta \,} π 2 + α {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha } π + α {\displaystyle \pi +\alpha \,} 3 π 2 + α {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha } T π 2 − α {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha } π − α {\displaystyle \pi -\alpha \,} 3 π 2 − α {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha } 2 π − α {\displaystyle 2\,\pi -\alpha } sin β {\displaystyle \sin \beta \,} cos α {\displaystyle \cos \alpha \,} − sin α {\displaystyle -\sin \alpha \,} − cos α {\displaystyle -\cos \alpha \,} cos α {\displaystyle \cos \alpha \,} sin α {\displaystyle \sin \alpha \,} − cos α {\displaystyle -\cos \alpha \,} − sin α {\displaystyle -\sin \alpha \,} cos β {\displaystyle \cos \beta \,} − sin α {\displaystyle -\sin \alpha \,} − cos α {\displaystyle -\cos \alpha \,} sin α {\displaystyle \sin \alpha \,} sin α {\displaystyle \sin \alpha \,} − cos α {\displaystyle -\cos \alpha \,} − sin α {\displaystyle -\sin \alpha \,} cos α {\displaystyle \cos \alpha \,} tg β {\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta } − ctg α {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha } tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } − ctg α {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha } ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } − tg α {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha } ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } ctg β {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta } − tg α {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha } ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } − tg α {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha } tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } − ctg α {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha } tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
U opšte slučaju to se može zapisati na sljedeći način
f ( n π + α ) = ± f ( α ) {\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha )} f ( n π − α ) = ± f ( α ) {\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha )} f ( ( 2 n + 1 ) π 2 + α ) = ± g ( α ) {\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha )} f ( ( 2 n + 1 ) π 2 − α ) = ± g ( α ) {\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha )} f — proizvoljna trigonometrijska funkcija, g — odgovarajuća joj funkcija (kosinus za sinusa, sinus za kosinus i analogno za ostale funkcije), a n — cio broj. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija Za neke od uglova iz prvog kvadranta funkcije selakše izračunavaju: [5]
Najčešće vrijednosti trigonometrijskih funkcija ϕ {\displaystyle \phi \,} 0° 30° 45° 60° 90° sin ϕ {\displaystyle \sin \phi \,} 0 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 1 cos ϕ {\displaystyle \cos \phi \,} 1 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 0 tg ϕ {\displaystyle \operatorname {tg} \phi } 0 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} ± ∞ {\displaystyle \pm \infty }
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova koje se nešto dužim putem izračunavaju dati su u sljedećoj tabeli:
α {\displaystyle \alpha \,} π 12 = 15 ∘ {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}=15^{\circ }} π 10 = 18 ∘ {\displaystyle {\frac {\pi }{10}}=18^{\circ }} π 8 = 22.5 ∘ {\displaystyle {\frac {\pi }{8}}=22.5^{\circ }} π 5 = 36 ∘ {\displaystyle {\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }} 3 π 10 = 54 ∘ {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{10}}=54^{\circ }} 3 π 8 = 67.5 ∘ {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{8}}=67.5^{\circ }} 2 π 5 = 72 ∘ {\displaystyle {\frac {2\,\pi }{5}}=72^{\circ }} sin α {\displaystyle \sin \alpha \,} 3 − 1 2 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}} 5 − 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} 2 − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} 5 − 5 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}} 5 + 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} 2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} 5 + 5 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}} cos α {\displaystyle \cos \alpha \,} 3 + 1 2 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}} 5 + 5 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}} 2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} 5 + 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} 5 − 5 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}} 2 − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} 5 − 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} tg α {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} 1 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}} 2 − 1 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}} 5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}} 1 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}} 2 + 1 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}} 5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}} ctg α {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} 5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}} 2 + 1 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}} 1 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}} 5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}} 2 − 1 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}} 1 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
Redovi Trigonometrijske funkcije se mogu predstavljati (beskonačnim) redovima.
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + . . . = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + . . . == ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...==\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}} Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija .majući u vidu jednakosti
tg x = sin x cos x , {\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},} ctg x = cos x sin x {\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}}} , sec x = 1 cos x {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}} cosec x = 1 sin x , {\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},} u Tejlorov red se mogu razložiti sledeće funkcije:
tg x = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 x 7 + 62 2835 x 9 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) | B 2 n | ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ( − π 2 < x < π 2 ) , {\displaystyle {\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}} ctg x = 1 x − x 3 − x 3 45 − 2 x 5 945 − x 7 4725 − ⋯ = 1 x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n | B 2 n | ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ( − π < x < π ) , {\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}} sec x = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + 277 8064 x 8 + ⋯ = 1 + ∑ n = 1 ∞ E n ( 2 n ) ! x 2 n , ( − π 2 < x < π 2 ) , {\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}} csc x = 1 x + 1 6 x + 7 360 x 3 + 31 15120 x 5 + 127 604800 x 7 + ⋯ = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 ( − π < x < π ) , {\displaystyle {\csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}} Parnost Kosinus i sekans su parne funkcije, dok su preostale četiri neparne funkcije:
sin ( − α ) = − sin α , {\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,} cos ( − α ) = cos α , {\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,} t g ( − α ) = − t g α , {\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,} c t g ( − α ) = − c t g α , {\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,} sec ( − α ) = sec α , {\displaystyle \sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,} c o s e c ( − α ) = − c o s e c α . {\displaystyle \mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.} Granična vrijednost lim ϕ → 0 sin ϕ = 0 , lim ϕ → 0 cos ϕ = 1. {\displaystyle \lim _{\phi \to 0}\sin \phi =0,\;\lim _{\phi \to 0}\cos \phi =1.} lim x → + 0 ctg x = + ∞ , lim x → − 0 ctg x = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to +0}\operatorname {ctg} x=+\infty ,\;\lim _{x\to -0}\operatorname {ctg} x=-\infty .} З lim x → 0 sin x x = 1. {\displaystyle \lim _{x\to \ 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.} Izvod Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrijednost
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 Δ f ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x . {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}
( sin x ) ′ = cos x , {\displaystyle (\sin x)'=\cos x,\,} ( cos x ) ′ = − sin x , {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\,} ( tg x ) ′ = sec 2 x . {\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\sec ^{2}x.\,} ( ctg x ) ′ = − csc 2 x . {\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-\csc ^{2}x.\,} Dokaz Δ sin x = sin ( x + Δ x ) − sin x = 2 cos ( x + Δ x 2 ) sin Δ x 2 , {\displaystyle \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\sin {\frac {\Delta x}{2}},} pa je Δ sin x Δ x = cos ( x + Δ x 2 ) Δ x 2 → cos x , {\displaystyle {\frac {\Delta \sin x}{\Delta x}}={\frac {\cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}\rightarrow \cos x,} kada Δ x → 0 {\displaystyle \Delta x\rightarrow 0} Zbog cos x = sin ( π 2 − x ) , {\displaystyle \cos x=\sin({\frac {\pi }{2}}-x),} биће ( cos x ) ′ = cos ( π 2 − x ) ⋅ ( π 2 − x ) ′ = − cos ( π 2 − x ) = − sin x . {\displaystyle (\cos x)'=\cos({\frac {\pi }{2}}-x)\cdot ({\frac {\pi }{2}}-x)'=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x.} Izvod količnika ( tg x ) ′ = ( sin x cos x ) ′ = {\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'=} = sin ′ x cos x − cos ′ x sin x cos 2 x = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x = sec 2 x . {\displaystyle ={\frac {\sin 'x\cos x-\cos 'x\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.} Izvod količnika ( ctg x ) ′ = ( cos x sin x ) ′ = {\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=\left({\frac {\cos x}{\sin x}}\right)'=} = cos ′ x sin x − sin ′ x cos x sin 2 x = − sin 2 x − cos 2 x sin 2 x = − 1 sin 2 x = − csc 2 x . {\displaystyle ={\frac {\cos 'x\sin x-\sin 'x\cos x}{\sin ^{2}x}}={\frac {-\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x.} Integrali trigonometrijskih funkcija Integrali nekih trigonometrijskih funkcija prikazani su ovdje:
f ( x ) {\displaystyle \ \ \ \ f(x)} f ′ ( x ) {\displaystyle \ \ \ \ f'(x)} ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\,dx} sin x {\displaystyle \,\ \sin x} cos x {\displaystyle \,\ \cos x} − cos x + C {\displaystyle \,\ -\cos x+C} cos x {\displaystyle \,\ \cos x} − sin x {\displaystyle \,\ -\sin x} sin x + C {\displaystyle \,\ \sin x+C} tan x {\displaystyle \,\ \tan x} sec 2 x = 1 + tan 2 x {\displaystyle \,\ \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x} − ln | cos x | + C {\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C} cot x {\displaystyle \,\ \cot x} − csc 2 x = − ( 1 + cot 2 x ) {\displaystyle \,\ -\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)} ln | sin x | + C {\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C} sec x {\displaystyle \,\ \sec x} sec x tan x {\displaystyle \,\ \sec x\tan x} ln | sec x + tan x | + C {\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C} csc x {\displaystyle \,\ \csc x} − csc x cot x {\displaystyle \,\ -\csc x\cot x} − ln | csc x + cot x | + C {\displaystyle \ -\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C}
Trigonometrijske funkcije kao rješenja diferencijalnih jednačina Inverzne trigonometrijske funkcije Inverzne trigonometrijske funkcije su
a r c s i n x {\displaystyle arcsinx} arkus sinus a r c c o s x {\displaystyle arccosx} arkus kosinus a r c t g x {\displaystyle arctgx} arkus tangens a r c c t g x {\displaystyle arcctgx} arkus kotangensOne su inverzne trigonometrijskim funkcijama sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. Prefiks arkus potiče od latinske riječi arcus - luk, ugao. Nazivaju se još i ciklometrijskim funkcijama.
za − π 2 ≤ y ≤ π 2 , y = arcsin x ako x = sin y ; za 0 ≤ y ≤ π , y = arccos x ako x = cos y ; za − π 2 < y < π 2 , y = arctan x ako x = tan y ; za − π 2 ≤ y ≤ π 2 , y ≠ 0 , y = arccsc x ako x = csc y ; za 0 ≤ y ≤ π , y ≠ π 2 , y = arcsec x ako x = sec y ; za 0 < y < π , y = arccot x ako x = cot y . {\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},&y=\arcsin x&{\mbox{ako}}&x=\sin y\,;\\\\{\mbox{za}}&0\leq y\leq \pi ,&y=\arccos x&{\mbox{ako}}&x=\cos y\,;\\\\{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},&y=\arctan x&{\mbox{ako}}&x=\tan y\,;\\\\{\mbox{za}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0,&y=\operatorname {arccsc} x&{\mbox{ako}}&x=\csc y\,;\\\\{\mbox{za}}&0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}},&y=\operatorname {arcsec} x&{\mbox{ako}}&x=\sec y\,;\\\\{\mbox{za}}&0<y<\pi ,&y=\operatorname {arccot} x&{\mbox{ako}}&x=\cot y\,.\end{matrix}}} inus versus je trigonometrijska funkcija
y = versin x = 1 − cos x {\displaystyle y=\operatorname {versin} x=1-\cos x}
Funkcija se naziva i versinus. Ovi nazivi se rijetko upotrebljavaju. Graf versinusa je kosinusoida translirana za jedan gore.
Svugdje je definisana.
Nule su u tackama ( 2 k π , 0 ) {\displaystyle \left(2k\pi ,0\right)} , a na ostalim mjestima je pozitivna, osnovni period je 2 π {\displaystyle 2\pi } , minimumi su u nulama, a maksimumi ( ( 2 k + 1 ) π , 2 ) {\displaystyle ((2k+1)\pi ,2)}
Versine funkcije Funkcija sinus versus ugla alfa je
versin ( α ) = 1 − c o s α {\displaystyle {\textrm {versin}}(\alpha )=1-cos\alpha } .Pojam sinusa versusa uveden je u XVII vijeku i danas se skoro uopšte ne upotrebljava. Ruski matematičar P. L. Cebisev je smatrao da će sinus versus igrati važnu ulogu u matematici.
(Latinski: sinus - ispupčenost, nadutost, versus - (prije) okrenut, sinvers - (prije) okrenuti sinus.)
versin ( θ ) = 2 sin 2 ( θ 2 ) = 1 − cos ( θ ) {\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta )=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,} vercosin ( θ ) = 2 cos 2 ( θ 2 ) = 1 + cos ( θ ) {\displaystyle {\textrm {vercosin}}(\theta )=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,} coversin ( θ ) = versin ( π 2 − θ ) = 1 − sin ( θ ) {\displaystyle {\textrm {coversin}}(\theta )={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,} covercosin ( θ ) = vercosin ( π 2 − θ ) = 1 + sin ( θ ) {\displaystyle {\textrm {covercosin}}(\theta )={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin(\theta )\,} haversin ( θ ) = versin ( θ ) 2 = 1 − cos ( θ ) 2 {\displaystyle {\textrm {haversin}}(\theta )={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,} havercosin ( θ ) = vercosin ( θ ) 2 = 1 + cos ( θ ) 2 {\displaystyle {\textrm {havercosin}}(\theta )={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\cos(\theta )}{2}}\,} hacoversin ( θ ) = coversin ( θ ) 2 = 1 − sin ( θ ) 2 {\displaystyle {\textrm {hacoversin}}(\theta )={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta )}{2}}={\frac {1-\sin(\theta )}{2}}\,} hacovercosin ( θ ) = covercosin ( θ ) 2 = 1 + sin ( θ ) 2 {\displaystyle {\textrm {hacovercosin}}(\theta )={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta )}{2}}={\frac {1+\sin(\theta )}{2}}\,}
d d x v e r s i n ( x ) = sin x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}} ∫ v e r s i n ( x ) d x = x − sin x + C {\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C} d d x v e r c o s i n ( x ) = − sin x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}} ∫ v e r c o s i n ( x ) d x = x + sin x + C {\displaystyle \int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C} d d x c o v e r s i n ( x ) = − cos x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}} ∫ c o v e r s i n ( x ) d x = x + cos x + C {\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C} d d x c o v e r c o s i n ( x ) = cos x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {covercosin} (x)=\cos {x}} ∫ c o v e r c o s i n ( x ) d x = x − cos x + C {\displaystyle \int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C} d d x h a v e r s i n ( x ) = sin x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}} ∫ h a v e r s i n ( x ) d x = x − sin x 2 + C {\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C} d d x h a v e r c o s i n ( x ) = − sin x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}} ∫ h a v e r c o s i n ( x ) d x = x + sin x 2 + C {\displaystyle \int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C} d d x h a c o v e r s i n ( x ) = − cos x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}} ∫ h a c o v e r s i n ( x ) d x = x + cos x 2 + C {\displaystyle \int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C} d d x h a c o v e r c o s i n ( x ) = cos x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}} ∫ h a c o v e r c o s i n ( x ) d x = x − cos x 2 + C {\displaystyle \int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C}
Primjena u fizici Primjena trigonometrije i trigonometrijskih funkcija u fizici je velika. Koristi se u analizi prostiranja talasa, opisivanju harmonijskih oscilacija kao periodičnog kretanja, predstavljanja naizmjenične struje itd.
Također pogledajte Reference Vanjski linkovi