Означення Геометричне визначення Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника. Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі. Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник . Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи :
cos α = A C A B = b c , cos β = B C A B = a c . {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {AC}{AB}}={\frac {b}{c}},~~~\cos \beta ={\frac {BC}{AB}}={\frac {a}{c}}~.} Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:
sin α = B C A B = a c , sin β = A C A B = b c . {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {BC}{AB}}={\frac {a}{c}},~~~\sin \beta ={\frac {AC}{AB}}={\frac {b}{c}}~.} Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:
tg α = B C A C = a b , tg β = A C B C = b a . {\displaystyle {\mbox{tg}}~\alpha ={\frac {BC}{AC}}={\frac {a}{b}},~~~{\mbox{tg}}~\beta ={\frac {AC}{BC}}={\frac {b}{a}}~.} Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:
ctg α = A C B C = b a , ctg β = B C A C = a b . {\displaystyle {\mbox{ctg}}~\alpha ={\frac {AC}{BC}}={\frac {b}{a}},~~~{\mbox{ctg}}~\beta ={\frac {BC}{AC}}={\frac {a}{b}}~.} Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом.
Один період функцій sin x {\displaystyle \sin x} та cos x {\displaystyle \cos x} sin x {\displaystyle \sin \,x} та cos x {\displaystyle \cos \,x} — це періодичні функції із періодом 2 π , {\displaystyle \ 2\pi ,} tg x {\displaystyle \operatorname {tg} \,x} та ctg x {\displaystyle \operatorname {ctg} \,x} мають період π . {\displaystyle \ \pi .}
Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу з інтервалу [ 0 , π 2 ] {\displaystyle [0,{\pi \over 2}]}
sin x = cos ( π 2 − x ) {\displaystyle \sin x=\cos \left({\pi \over 2}-x\right)} cos x = sin ( π 2 − x ) {\displaystyle \cos x=\sin \left({\pi \over 2}-x\right)} tg x = ctg ( π 2 − x ) {\displaystyle \operatorname {tg} x=\operatorname {ctg} \left({\pi \over 2}-x\right)} ctg x = tg ( π 2 − x ) {\displaystyle \operatorname {ctg} x=\operatorname {tg} \left({\pi \over 2}-x\right)} Основні співвідношення Теореми додавання та формули для кратних кутів Формули для функцій суми кутів З основного співвідношення
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β {\displaystyle \sin {\left(\alpha +\beta \right)}=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta } отримуємо
sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β , {\displaystyle \sin {\left(\alpha \pm \beta \right)}=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ,} cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β , {\displaystyle \cos {\left(\alpha \pm \beta \right)}=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,} tg ( α ± β ) = tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β , ctg ( α ± β ) = ctg α ctg β ∓ 1 ctg β ± ctg α {\displaystyle \operatorname {tg} {\left(\alpha \pm \beta \right)}={{\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta } \over {1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }},~~~\operatorname {ctg} {\left(\alpha \pm \beta \right)}={{\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1} \over {\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}}
Формули для функцій подвійних кутів sin 2 α = 2 sin α cos α {\displaystyle \sin {2\alpha }=2\sin \alpha \cos \alpha } cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α {\displaystyle \cos {2\alpha }=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha } tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α , ctg 2 α = ctg 2 α − 1 2 ctg α = 1 2 ( ctg α − tg α ) {\displaystyle \operatorname {tg} {2\alpha }={{2\operatorname {tg} \alpha } \over {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}~,~~~\operatorname {ctg} {2\alpha }={{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1} \over {2\operatorname {ctg} \alpha }}={1 \over 2}{\left(\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha \right)}}
Формули для функцій потрійних кутів sin 3 α = 3 sin α − 4 sin 3 α , cos 3 α = 4 cos 3 α − 3 cos α {\displaystyle \sin {3\alpha }=3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ~,~~~\cos {3\alpha }=4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }
Формули для функцій половинних кутів sin α 2 = 1 − cos α 2 , cos α 2 = 1 + cos α 2 {\displaystyle \sin {\alpha \over 2}={\sqrt {{1-\cos \alpha } \over 2}}~,~~~\cos {\alpha \over 2}={\sqrt {{1+\cos \alpha } \over 2}}} tg α 2 = sin α 1 + cos α = 1 − cos α sin α , ctg α 2 = sin α 1 − cos α = 1 + cos α sin α {\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\sin \alpha \over {1+\cos \alpha }}={{1-\cos \alpha } \over \sin \alpha }~,~~~\operatorname {ctg} {\alpha \over 2}={\sin \alpha \over {1-\cos \alpha }}={{1+\cos \alpha } \over \sin \alpha }}
Формули для суми функцій кута a sin A + b cos A = r sin ( A + B ) = r cos ( π 2 − A − B ) = a 2 + b 2 sin ( A + arctg b a ) , r = a 2 + b 2 , t g B = b a {\displaystyle a\sin A+b\cos A=r\sin {\left(A+B\right)}=r\cos \left({\pi \over 2}-A-B\right)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin {\left(A+\operatorname {arctg} {b \over a}\right)},~{r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},~{tgB={b \over a}}}
sin A ± sin B = 2 sin A ± B 2 cos A ∓ B 2 {\displaystyle \sin A\pm \sin B=2\sin {{A\pm B} \over 2}\cos {{A\mp B} \over 2}} cos A + cos B = 2 cos A + B 2 cos A − B 2 {\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos {{A+B} \over 2}\cos {{A-B} \over 2}} cos A − cos B = − 2 sin A + B 2 sin A − B 2 {\displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin {{A+B} \over 2}\sin {{A-B} \over 2}} tg A ± tg B = sin A ± B cos A cos B , ctg A ± ctg B = sin B ± A sin A sin B {\displaystyle \operatorname {tg} A\pm \operatorname {tg} B={\sin {A\pm B} \over {\cos A\cos B}}~,~~\operatorname {ctg} A\pm \operatorname {ctg} B={\sin {B\pm A} \over {\sin A\sin B}}}
Формула для суми будь-якої кількості синусів кутів із їх зсувом і отримання однієї функції кута:
A sin ( x + α ) + B sin ( x + β ) + C sin ( x + γ ) + . . . = Y sin x + Z cos x = Y 2 + Z 2 sin ( x + arctg Z Y ) , Y = A cos ( α ) + B cos ( β ) + C cos ( γ ) + . . . , Z = A sin ( α ) + B sin ( β ) + C sin ( γ ) + . . . {\displaystyle A\sin(x+\alpha )+B\sin(x+\beta )+C\sin(x+\gamma )+...=Y\sin x+Z\cos x={\sqrt {Y^{2}+Z^{2}}}\sin(x+\operatorname {arctg} {Z \over Y}),~{Y=A\cos(\alpha )+B\cos(\beta )+C\cos(\gamma )+...},~{Z=A\sin(\alpha )+B\sin(\beta )+C\sin(\gamma )+...}}
Загальні формули для функцій кратних кутів Якщо n є цілим додатним числом, то
sin n A = ( n 1 ) cos n − 1 A sin A − ( n 3 ) cos n − 3 A sin 3 A + ( n 5 ) cos n − 5 A sin 5 A ∓ ⋯ {\displaystyle \sin {nA}={n \choose 1}\cos ^{n-1}A\sin A-{n \choose 3}\cos ^{n-3}A\sin ^{3}A+{n \choose 5}\cos ^{n-5}A\sin ^{5}A\mp \cdots } cos n A = cos n A − ( n 2 ) cos n − 2 A sin 2 A + ( n 4 ) cos n − 4 A sin 4 A ∓ ⋯ {\displaystyle \cos {nA}=\cos ^{n}A-{n \choose 2}\cos ^{n-2}A\sin ^{2}A+{n \choose 4}\cos ^{n-4}A\sin ^{4}A\mp \cdots }
Загальні формули для степенів функцій Розклади в ряд Тейлора Існують такі розклади в ряд Тейлора тригонометричних функцій:
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}} tg x = ∑ n = 0 ∞ U 2 n + 1 x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 + 62 x 9 2835 + ⋯ , при | x | < π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+{\frac {62x^{9}}{2835}}+\cdots ,\qquad {\text{при }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}} де
U n {\displaystyle U_{n}} — n -те перетворення Бустрофедона, B n {\displaystyle B_{n}} — числа Бернуллі , та E n {\displaystyle E_{n}} — числа Ейлера . cosec x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! = 1 x + x 6 + 7 x 3 360 + 31 x 5 15120 + ⋯ , при 0 < | x | < π {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cosec} x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ,\qquad {\text{при }}0<|x|<\pi \end{aligned}}}
sec x = ∑ n = 0 ∞ U 2 n x 2 n ( 2 n ) ! = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n x 2 n ( 2 n ) ! = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + 61 x 6 720 + ⋯ , при | x | < π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots ,\qquad {\text{при }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}} ctg x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! = 1 x − x 3 − x 3 45 − 2 x 5 945 − ⋯ , при 0 < | x | < π {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ctg} x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots ,\qquad {\text{при }}0<|x|<\pi \end{aligned}}}
Зв'язок з експонентою та комплексними числами Використовуючи вищенаведені розклади в ряди Тейлора можна показати, що функції sin {\displaystyle \sin } та cos {\displaystyle \cos } є уявною та дійсною частинами експоненти чисто уявного числа:
e i θ = cos θ + i sin θ . {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .\,} Це співвідношення називається формулою Ейлера .
Можна визначити тригонометричні функції комплексної змінної z :
sin z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! z 2 n + 1 = e i z − e − i z 2 i = − i sh ( i z ) , {\displaystyle \sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\,=\,{e^{iz}-e^{-iz} \over 2i}=-i\operatorname {sh} \left(iz\right),} cos z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! z 2 n = e i z + e − i z 2 = ch ( i z ) {\displaystyle \cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\,=\,{e^{iz}+e^{-iz} \over 2}=\operatorname {ch} \left(iz\right)} де i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} , а sh x {\displaystyle \operatorname {sh} x} та ch x {\displaystyle \operatorname {ch} x} — відповідно гіперболічні синус та косинус. Для дійсного x {\displaystyle x} мають місце співвідношення
cos x = Re ( e i x ) , sin x = Im ( e i x ) {\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} (e^{ix})~,~~~~\sin x=\operatorname {Im} (e^{ix})} Комплексний синус Комплексний косинус Комплексний тангенс
Диференціювання та інтегрування f ( x ) {\displaystyle \ \ \ \ f(x)} d d x f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)} ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\,dx} sin x {\displaystyle \,\ \sin x} cos x {\displaystyle \,\ \cos x} − cos x + C {\displaystyle \,\ -\cos x+C} cos x {\displaystyle \,\ \cos x} − sin x {\displaystyle \,\ -\sin x} sin x + C {\displaystyle \,\ \sin x+C} tg x {\displaystyle \,\ \operatorname {tg} x} sec 2 x {\displaystyle \,\ \sec ^{2}x} − ln | cos x | + C {\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C} ctg x {\displaystyle \,\ \operatorname {ctg} x} − cosec 2 x {\displaystyle \,\ -\operatorname {cosec} ^{2}x} ln | sin x | + C {\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C} sec x {\displaystyle \,\ \sec x} sec x tg x {\displaystyle \,\ \sec {x}\operatorname {tg} {x}} ln | sec x + tg x | + C {\displaystyle \ln \left|\sec x+\operatorname {tg} x\right|+C} cosec x {\displaystyle \,\ \operatorname {cosec} x} − cosec x ctg x {\displaystyle \,\ -\operatorname {cosec} {x}\operatorname {ctg} {x}} − ln | cosec x + ctg x | + C {\displaystyle -\ln \left|\operatorname {cosec} x+\operatorname {ctg} x\right|+C}
Зв'язок з диференціальним рівнянням Властивості та застосування Теорема синусів Теорема синусів стверджує, що для довільного трикутника зі сторонами a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , і c {\displaystyle c} та кутами, що протилежні тим сторонам A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} і C {\displaystyle C} :
sin A a = sin B b = sin C c = 2 Δ a b c , {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},} де Δ {\displaystyle \Delta } — це площа трикутника, або, еквівалентно,
a sin A = b sin B = c sin C = 2 R , {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,} де R {\displaystyle R} — це радіус кола, що описує трикутник .
Фігура Ліссажу , фігура утворена на основі тригонометричної функції.Це можна довести розділивши трикутник на два прямокутних трикутники, і використовуючи визначення синуса. Теорема синусів корисна для розрахунку довжин невідомих сторін трикутника, при відомих двох кутах і довжині однієї з його сторін. Ця ситуація є типовою для задачі триангуляції , техніки визначення невідомих відстаней шляхом вимірювання двох кутів із двох точок на доступній відомій відстані.
Теорема косинусів Теорема косинусів є узагальненням теореми Піфагора :
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C , {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,} або еквівалентно,
cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b . {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.} В цій формулі кут C {\displaystyle C} є протилежним до сторони c {\displaystyle c} . Цю теорему можна довести розділивши трикутник на два прямокутних трикутники та застосувавши теорему Піфагора.
Теорему косинусів можна застосувати для визначення сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін і кут між ними. Також її можна застосувати для визначення косинуса кута (і відповідно значення самого кута) якщо відомі довжини всіх сторін трикутника.
Теорема тангенсів Всі наступні вирази формулюють теорему тангенсів[1]
tg A − B 2 tg A + B 2 = a − b a + b ; tg A − C 2 tg A + C 2 = a − c a + c ; tg B − C 2 tg B + C 2 = b − c b + c {\displaystyle {\frac {\operatorname {tg} {\dfrac {A-B}{2}}}{\operatorname {tg} {\dfrac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}\,;\qquad {\frac {\operatorname {tg} {\dfrac {A-C}{2}}}{\operatorname {tg} {\dfrac {A+C}{2}}}}={\frac {a-c}{a+c}}\,;\qquad {\frac {\operatorname {tg} {\dfrac {B-C}{2}}}{\operatorname {tg} {\dfrac {B+C}{2}}}}={\frac {b-c}{b+c}}} Пояснення цих формул на словах було б громіздким, але закономірності сум і різниць для довжин сторін і відповідних протилежних кутів видно із теореми.
Теорема котангенсів Якщо
ζ = 1 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}\ } (радіус вписаного кола в трикутник)і
s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}\ } (напівпериметр трикутника),тоді всі наступні формули описують теорему котангенсів[1]
ctg A 2 = s − a ζ ; ctg B 2 = s − b ζ ; ctg C 2 = s − c ζ {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}\,;\qquad \operatorname {ctg} {\frac {B}{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}\,;\qquad \operatorname {ctg} {\frac {C}{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}} Звідси випливає, що
ctg A 2 s − a = ctg B 2 s − b = ctg C 2 s − c . {\displaystyle {\frac {\operatorname {ctg} {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\operatorname {ctg} {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\operatorname {ctg} {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}.} На словах теорема полягає в тому, що котангенс половинного кута дорівнює відношенню напівпериметра від якого віднято сторону протилежну заданому куту, до радіуса вписаного кола.
Періодичні функції Анімація адитивного синтезу[en] меандру із збільшенням кількості гармонік Синусоїдальні базисні функції (знизу) можуть сформувати пилоподібну хвилю (зверху), якщо їх додати між собою. Всі базові функції матимуть вузли, що збігаються з вузлами пилоподібної хвилі, і всі крім основної ( k = 1 {\displaystyle k=1} ) матимуть додаткові вузли. Коливання, які відбуваються біля краю зубця при великих значеннях k називаються явищем Гіббса[en] Тригонометричні функції також мають важливе застосування у фізиці. Функції синуса і косинуса, наприклад, використовують для описання гармонічних коливань , які моделюють багато природних явищ, такі як рух маси закріпленої на пружині, і для малих кутів, рух маятника для маси що висить на нитці. Функції синуса і косинуса є одновимірними проєкціями рівномірного кругового руху .
Тригонометричні функції також довели свою користь при вивченні загальних періодичних функцій . Характерна хвильова структура періодичних функцій корисна для моделювання явищ, таких як звукові або світлові хвилі .[2]
В загальних умовах, періодичну функцію f ( x ) {\displaystyle f(x)} можна виразити у вигляді суми синусних або косинусних хвиль за допомогою Ряду Фур'є .[3] Позначивши синусні або косинусні базисні функції як φ k {\displaystyle \varphi _{k}} , розкладання періодичної функції f ( x ) {\displaystyle f(x)} буде мати наступну форму:
f ( t ) = ∑ k = 1 ∞ c k φ k ( t ) . {\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).} Наприклад, квадратну хвилю (меандр) можна записати у вигляді ряду Фур'є
f square ( t ) = 4 π ∑ k = 1 ∞ sin ( ( 2 k − 1 ) t ) 2 k − 1 . {\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.} В анімації квадратної хвилі праворуч можна побачити, що лише декілька термів вже досить аби створити добру апроксимацію квадратної форми хвилі. Суперпозицію декількох термів в розкладанні пилоподібної хвилі можна побачити знизу під тим малюнком.
Див. також Примітки Джерела Посилання