Трыганаметрычныя функцыі

Геаметрычнае азначэнне

Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка

Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай OAB — трохвугольнік з вуглом α. Тады:

• Сінусам вугла ${\displaystyle \alpha }$ называецца дзель ${\displaystyle {\frac {AB}{OB}}}$ (адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).
• Косінусам вугла ${\displaystyle \alpha }$ называецца дзель ${\displaystyle {\frac {OA}{OB}}}$ (адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).
• Тангенсам вугла ${\displaystyle \alpha }$ называецца дзель ${\displaystyle {\frac {AB}{OA}}}$ (адносіна процілеглага катэта к прылегламу).
• Катангенсам вугла ${\displaystyle \alpha }$ называецца дзель ${\displaystyle {\frac {OA}{AB}}}$ (адносіна прылеглага катэта да процілеглага).
• Секансам вугла ${\displaystyle \alpha }$ называецца дзель ${\displaystyle {\frac {OB}{OA}}}$ (адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).
• Касекансам вугла ${\displaystyle \alpha }$ называецца дзель ${\displaystyle {\frac {OB}{AB}}}$ (адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).

Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце O, напрамкам восі абсцыс уздоўж OA і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.

Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў, Тэарэма косінусаў).

Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці

Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса R з цэнтрам у пачатку каардынат O. Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня OB. Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта B абазначым ${\displaystyle x_{B}}$ , ардынату — ${\displaystyle y_{B}}$ .

• Сінусам называецца дзель ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.}$
• Косінусам называецца дзель ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.}$
• Тангенс вызначаецца як ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.}$
• Катангенс вызначаецца як ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.}$
• Секанс вызначаецца як ${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.}$
• Касеканс вызначаецца як ${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.}$

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці R дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце ${\displaystyle y_{B}}$ , а косінус — абсцысе ${\displaystyle x_{B}}$ . На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для адзінкавай акружнасці.

Калі ${\displaystyle \alpha }$ — рэчаісны лік, то сінусам ${\displaystyle \alpha }$ ў матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная ${\displaystyle \alpha }$ , гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.

Як рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}$

з пачатковымі ўмовамі

${\displaystyle \cos(0)=\sin '(0)=1.}$

Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:

${\displaystyle \left(\cos x\right)''=-\cos x,}$

${\displaystyle \left(\sin x\right)''=-\sin x.}$

Як рашэнні функцыянальных ураўненняў

Функцыі косінус і сінус можна вызначыць як непарыўныя рашэнні (${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ адпаведна) сістэмы функцыянальных ураўненняў:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y),\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y).\end{array}}\right.}$

Праз рады

Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц, можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}$

Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі

${\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin x}{\cos x}},\quad \operatorname {ctg} x={\frac {\cos x}{\sin x}},\quad \sec x={\frac {1}{\cos x}},\quad \operatorname {cosec} x={\frac {1}{\sin x}},}$

можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:

${\displaystyle \operatorname {tg} x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\dots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1},\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}$

${\displaystyle \sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{n}|}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\dots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1},\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}$

дзе

${\displaystyle B_{n}}$ — лікі Бернулі,

${\displaystyle E_{n}}$ — лікі Эйлера.

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.

${\displaystyle \alpha \,\!}$	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
${\displaystyle \sin \alpha \,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {-1}\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$
${\displaystyle \cos \alpha \,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {-1}\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$
${\displaystyle \sec \alpha \,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}$	${\displaystyle {2}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {-1}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$
${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha \,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {2}\,\!}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {-1}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$

Найпрасцейшыя тоеснасці

Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу α, то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора, маем:

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.\,}$

Гэта роўнасць называецца асноўнай трыганаметрычнай тоеснасцю.

Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:

${\displaystyle 1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }},}$

${\displaystyle 1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}.}$

Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha =1.}$

Непарыўнасць

Сінус і косінус — непарыўныя функцыі. Тангенс і секанс маюць пункты разрыву ${\displaystyle \pm 90^{\circ },\;\pm 270^{\circ },\;\pm 450^{\circ },\;\dots ;}$ катангенс і касеканс — ${\displaystyle 0^{\circ },\;\pm 180^{\circ },\;\pm 360^{\circ },\;\dots .}$

Цотнасць

Косінус і секанс — цотныя. Астатнія чатыры функцыі — няцотныя, гэта значыць:

${\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha ,}$

${\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha ,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} (-\alpha )=-\operatorname {tg} \alpha ,}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} (-\alpha )=-\operatorname {ctg} \alpha ,}$

${\displaystyle \sec(-\alpha )=\sec \alpha ,}$

${\displaystyle \operatorname {cosec} (-\alpha )=-\operatorname {cosec} \alpha .}$

Перыядычнасць

Функцыі ${\displaystyle y=\sin x,}$ ${\displaystyle y=\cos x,}$ ${\displaystyle y=\sec x,}$ ${\displaystyle y=\operatorname {cosec} x}$ — перыядычныя з перыядам ${\displaystyle 2\pi }$ , функцыі ${\displaystyle y=\operatorname {tg} x}$ і ${\displaystyle y=\operatorname {ctg} x}$ — з перыядам ${\displaystyle \pi }$ .

Формулы прывядзення

Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:

${\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),\,}$

${\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),\,}$

${\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),\,}$

${\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).\,}$

Тут ${\displaystyle f}$ — любая трыганаметрычная функцыя, ${\displaystyle g}$ — адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса), n — цэлы лік. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал α востры, напрыклад:

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha ,}$

Некаторыя формулы прывядзення:

${\displaystyle \beta \,}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle \pi +\alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle \pi -\alpha \,}$	${\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha }$	${\displaystyle 2\,\pi -\alpha }$
${\displaystyle \sin \beta \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$
${\displaystyle \cos \beta \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle \sin \alpha \,}$	${\displaystyle -\cos \alpha \,}$	${\displaystyle -\sin \alpha \,}$	${\displaystyle \cos \alpha \,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }$

Формулы складання

Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:

${\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \,\cos \beta \pm \cos \alpha \,\sin \beta ,}$

${\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \,\cos \beta \mp \sin \alpha \,\sin \beta ,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \,\alpha \pm \operatorname {tg} \,\beta }{1\mp \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta }},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \,\beta \pm \operatorname {ctg} \,\alpha }}.}$

Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:

${\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,}$

${\displaystyle \cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .}$

Формулы для кратных вуглоў

Формулы двайнога вугла:

${\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},}$

${\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.}$

Формулы трайнога вугла:

${\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,}$

${\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.}$

Іншыя формулы для кратных вуглоў:

${\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),}$

${\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},}$

${\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,}$

${\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},}$

${\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)}$

Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі.

З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:

${\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,}$

${\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,}$

${\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},}$

дзе ${\displaystyle [n]}$ — цэлая частка ліку ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ — біномны каэфіцыент.

Формулы палавіннага вугла:

${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,}$

${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}},\quad 0<\alpha \leqslant \pi .}$

Здабыткі

Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},}$

${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}},}$

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}}.}$

Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$

${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.}$

Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.

Ступені

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2}},}$	${\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }},}$
${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}},}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }},}$
${\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{4}},}$	${\displaystyle \operatorname {tg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }},}$
${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{4}},}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }},}$
${\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{8}},}$	${\displaystyle \operatorname {tg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}},}$
${\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{8}},}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}}.}$

Сумы

${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}$

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$

${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}$

${\displaystyle 1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2}.}$

Для функцый ад аргумента ${\displaystyle x}$ існуе прадстаўленне:

${\displaystyle A\sin \ x+B\cos \ x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(x+\phi ),}$

дзе вугал ${\displaystyle \phi }$ вызначаецца з суадносін:

${\displaystyle \sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Аднапараметрычнае прадстаўленне

Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.

${\displaystyle \sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$

${\displaystyle \cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}$

${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}$

Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x,}$

${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,}$

${\displaystyle (\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},}$

${\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}},}$

${\displaystyle (\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}},}$

${\displaystyle (\operatorname {cosec} x)'=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.}$

Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:

${\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C,}$

${\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C,}$

${\displaystyle \int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C,}$

${\displaystyle \int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C,}$

${\displaystyle \int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|+C,}$

${\displaystyle \int \operatorname {cosec} x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\right|+C.}$

Азначэнне

Формула Эйлера:

${\displaystyle e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta }$

дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:

${\displaystyle \sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\,={\frac {\operatorname {sh} iz}{i}};}$

${\displaystyle \cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\,=\operatorname {ch} iz;}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \,z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}};}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \,z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}};}$

${\displaystyle \sec z={\frac {1}{\cos z}}={\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}};}$

${\displaystyle \operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},\,}$

дзе ${\displaystyle i^{2}=-1.}$

Адпаведна, для рэчаіснага x,

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),}$

${\displaystyle \sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}).}$

Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі:

${\displaystyle \sin(x+iy)=\sin x\,\operatorname {ch} y+i\cos x\,\operatorname {sh} y,}$

${\displaystyle \cos(x+iy)=\cos x\,\operatorname {ch} y-i\sin x\,\operatorname {sh} y.}$

Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:

• камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
• усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.

Камплексныя графікі

На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю.

Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці

${\displaystyle \sin z\,}$	${\displaystyle \cos z\,}$	${\displaystyle \operatorname {tg} z\,}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} z\,}$	${\displaystyle \sec z\,}$	${\displaystyle \operatorname {cosec} z\,}$

Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.

Сучасныя кароткія абазначэнні sin і cos уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера.

Тэрміны «тангенс» (ад лац.: tangens — датычны) і «секанс» (лац.: secans — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).

Сам тэрмін трыганаметрычныя функцыі ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.

У Вікікрыніцах ёсць тэксты па тэме

• Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
• Гіпербалічныя функцыі
• Эліптычныя функцыі
• Інтэгральны сінус
• Інтэгральны косінус
• Рашэнне трохвугольнікаў
• Сінус-верзус
• Сферычная трыганаметрыя
• Функцыя Гудэрмана
• Чатырохзначныя матэматычныя табліцы (Табліцы Брадзіса)

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
• Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
• Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.

• Weisstein, Eric W.. Трыганаметрычныя функцыі (нявызн.). MathWorld.

• Анлайн калькулятар: вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый
• Інтэрактыўная карта значэнняў трыганаметрычных функцый