Funksionet dysheme dhe tavan

Operatori mod

Për një numër të plotë x dhe një numër të plotë pozitiv y, operacioni <i>modulo</i> ose ndryshe <i>i mbetjes</i> , i shënuar me x mod y, jep vlerën e mbetjes kur x pjesëtohet me y . Ky përkufizim mund të zgjerohet në x reale dhe y, y ≠ 0, me anë të formulës

${\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

Numri i shifrave

Numri i shifrave, në sistemin me bazë b, të një numri të plotë pozitiv k është:

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

Numri i stringave pa karaktere të përsëritura

Numri i stringave të mundshme me gjatësi arbitrare që nuk përdor asnjë karakter dy herë jepet nga ^[2] 

${\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor }$

ku:

• n > 0 është numri i gërmave në alfabet (e.g., 26 në Anglisht)
• the faktoriali zbritës ${\displaystyle (n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$ tregon numrin e stringave me gjatësi k që nuk përdorin asnjë karakter dy herë.
• n! tregon faktorialin e n
• e = 2.718… është numri i Neperit

Për n = 26, numri është 1096259850353149530222034277.

Faktorët e faktorialëve

Le të jetë n një numër i plotë pozitiv dhe p një numër i thjeshtë pozitiv. Eksponenti i fuqisë më të lartë të p që pjesëton n ! është dhënë nga një version i formulës së Lezhandrit ^[3]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

Konstanta e Euler-it (γ)

Ekzistojnë formula për konstanten e Eulerit γ = 0,57721 56649 ... që përfshijnë funksionet dysheme dhe tavan, p.sh. ^[4]

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

Funksioni zeta i Riemannit (ζ)

Funksioni i pjesës thyesore shfaqet gjithashtu në paraqitjet integrale të funksionit zeta të Riemann-it .

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

In 1947 van der Pol e përdori këtë paraqitje për të ndërtuar një kompjuter analog që gjente rrënjët e funksionit zeta.