A valós számok halmazán értelmezett (alsó) egészrész függvény (jelben ⌊x ⌋ vagy [x ]) egy valós számnak az adott számnál még nem nagyobb legnagyobb egész számot felelteti meg. Hasonlóan, a felső egészrész függvény (jelben ⌈x ⌉) az adott valós számnak az adott számnál még nem kisebb legkisebb egész számot felelteti meg.[1]
A [x ] jelölést Gauss vezette be az alsó egészrészre;[2] a ⌊x ⌋ és a ⌈x ⌉ jelek Kenneth E. Iversontól származnak.[3] [4] A német nyelvben ma is használják a Gauß-Klammer ('Gauss-zárójel') nevet az alsó egészrészre. Az angol nyelvben az alsó egészrész függvény egyik neve az entier function , amiben az entier szó franciául egészet jelent.
Definíciók Alsó egészrész Egy x valós számra x alsó egészrésze (vagy egész része ) az az egész szám, mely a legnagyobb az x -nél kisebb vagy egyenlő egészek közül:
⌊ x ⌋ = max { n ∈ Z ∣ n ≤ x } , {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\},} Így például ⌊ 5 ⌋ = 5 , ⌊ − 3 , 5 ⌋ = − 4 {\displaystyle \lfloor 5\rfloor =5,\lfloor -3{,}5\rfloor =-4} .
Felső egészrész Egy x valós számra x felső egészrésze az az egész szám, mely a legkisebb az x -nél nagyobb vagy egyenlő egészek közül:
⌈ x ⌉ = min { n ∈ Z ∣ n ≥ x } . {\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.} Például: ⌈ 3 ⌉ = 3 , ⌈ − 2 , 6 ⌉ = − 2 {\displaystyle \lceil 3\rceil =3,\lceil -2{,}6\rceil =-2} .
Törtrész Egy x valós szám törtrésze egészrészétől való távolsága, azaz { x } = x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor } . Nyilván mindig teljesül 0 ≤ { x } < 1 {\displaystyle 0\leq \{x\}<1} .
Példa:
Érték Alsó egészrész ⌊ ⌋ {\displaystyle \lfloor \;\rfloor } Felső egészrész ⌈ ⌉ {\displaystyle \lceil \;\rceil } Törtrész { } {\displaystyle \{\;\}} 12/5 = 2,4 2 3 2/5 = 0,4 2.7 2 3 0,7 −2.7 −3 −2 0,3 −2 −2 −2 0
Tulajdonságok Ekvivalens definíciók Mivel minden egység hosszú, félig nyílt intervallumban egy egész van, ezért egyértelműen vannak olyan n , 'm egészek, amikre:
x − 1 < m ≤ x ≤ n < x + 1. {\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.\;} Ezért
⌊ x ⌋ = m {\displaystyle \lfloor x\rfloor =m\;} és ⌈ x ⌉ = n {\displaystyle \;\lceil x\rceil =n\;} az alsó és a felső egészrész ekvivalens definíciója.
Számolás egészrészekkel A következő formulák segítenek az egészrészt tartalmazó számításokban:
⌊ x ⌋ = n akkor és csak akkor n ≤ x < n + 1 , ⌈ x ⌉ = n akkor és csak akkor n − 1 < x ≤ n , ⌊ x ⌋ = n akkor és csak akkor x − 1 < n ≤ x , ⌈ x ⌉ = n akkor és csak akkor x ≤ n < x + 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n&\leq x<n+1,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&x-1&<n\leq x,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&x&\leq n<x+1.\end{aligned}}} Ezek a képletek a rendezéssel való kapcsolatot mutatják:
x < n akkor és csak akkor ⌊ x ⌋ < n , n < x akkor és csak akkor n < ⌈ x ⌉ , x ≤ n akkor és csak akkor ⌈ x ⌉ ≤ n , n ≤ x akkor és csak akkor n ≤ ⌊ x ⌋ . {\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}} Egész szám hozzáadásának hatása:
⌊ x + n ⌋ = ⌊ x ⌋ + n , ⌈ x + n ⌉ = ⌈ x ⌉ + n , { x + n } = { x } . {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}} Ha n nem egész, akkor a fenti számolások nem igazak:
⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ ≤ ⌊ x + y ⌋ ≤ ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ + 1 , ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ − 1 ≤ ⌈ x + y ⌉ ≤ ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ . {\displaystyle {\begin{aligned}&\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \;\lfloor x+y\rfloor \;&\leq \;\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\&\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \;\lceil x+y\rceil \;&\leq \;\lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}} A függvények kapcsolata A definíciók alapján nyilván
⌊ x ⌋ ≤ ⌈ x ⌉ , {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,} és egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x egész, i.e. ⌈ x ⌉ − ⌊ x ⌋ = { 0 ha x ∈ Z 1 ha x ∉ Z {\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}} Valóban, ha n egész:
⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n . {\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.} Az argumentum előjelét megváltoztatva az alsó és felső egészrész függvény megcserélődik, és előjelet vált:
⌊ x ⌋ + ⌈ − x ⌉ = 0 , {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0,} azaz ⌊ x ⌋ + ⌊ − x ⌋ = { 0 ha x ∈ Z − 1 ha x ∉ Z , {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}} ⌈ x ⌉ + ⌈ − x ⌉ = { 0 ha x ∈ Z 1 ha x ∉ Z . {\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}} A törtrész argumentumának ellentettjét véve a törtrész a komplementerére változik:
{ x } + { − x } = { 0 ha x ∈ Z 1 ha x ∉ Z . {\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}} A felső, az alsó egészrész és a törtrész idempotens:
⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋ , ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉ = ⌈ x ⌉ , { { x } } = { x } . {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\\\end{aligned}}} A beágyazott alsó, és felső egészrészek eredménye megegyezik a legbelső eredményével:
⌊ ⌈ x ⌉ ⌋ = ⌈ x ⌉ , ⌈ ⌊ x ⌋ ⌉ = ⌊ x ⌋ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor .\\\end{aligned}}} Rögzített y -ra x mod y idempotens:
( x mod y ) mod y = x mod y . {\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\,{\bmod {\,}}y=x\,{\bmod {\,}}y.\;} Tehát a definíciók szerint
{ x } = x mod 1. {\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1.\;} Osztások Ha n ≠ 0,
0 ≤ { m n } ≤ 1 − 1 | n | . {\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.} Ha n pozitív[5]
⌊ x + m n ⌋ = ⌊ ⌊ x ⌋ + m n ⌋ , {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,} ⌈ x + m n ⌉ = ⌈ ⌈ x ⌉ + m n ⌉ . {\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .} Ha m pozitív[6]
n = ⌈ n m ⌉ + ⌈ n − 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ n − m + 1 m ⌉ , {\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,} n = ⌊ n m ⌋ + ⌊ n + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ n + m − 1 m ⌋ . {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .} m = 2-re következik:
n = ⌊ n 2 ⌋ + ⌈ n 2 ⌉ . {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .} Általában,[7] for pozitív m -re:
⌈ m x ⌉ = ⌈ x ⌉ + ⌈ x − 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ x − m − 1 m ⌉ , {\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,} ⌊ m x ⌋ = ⌊ x ⌋ + ⌊ x + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ x + m − 1 m ⌋ . {\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .} Ezekkel az összefüggésekkel át lehet térni az egyik egészrészről a másikra (m pozitív)[8]
⌈ n m ⌉ = ⌊ n + m − 1 m ⌋ = ⌊ n − 1 m ⌋ + 1 , {\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,} ⌊ n m ⌋ = ⌈ n − m + 1 m ⌉ = ⌈ n + 1 m ⌉ − 1 , {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,} Ha m és n is pozitív, és relatív prímek , akkor
∑ i = 1 n − 1 ⌊ i m n ⌋ = 1 2 ( m − 1 ) ( n − 1 ) . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {im}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).} Mivel a jobb oldal szimmetrikus m -ben és n -ben, következik, hogy
⌊ m n ⌋ + ⌊ 2 m n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 1 ) m n ⌋ = ⌊ n m ⌋ + ⌊ 2 n m ⌋ + ⋯ + ⌊ ( m − 1 ) n m ⌋ . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .} Általánosabban, ha m és n pozitív,
⌊ x n ⌋ + ⌊ m + x n ⌋ + ⌊ 2 m + x n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 1 ) m + x n ⌋ = ⌊ x m ⌋ + ⌊ n + x m ⌋ + ⌊ 2 n + x m ⌋ + ⋯ + ⌊ ( m − 1 ) n + x m ⌋ . {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}} [9] Pozitív m ,n -re, és tetszőleges valós x -re:
⌊ ⌊ x / m ⌋ n ⌋ = ⌊ x m n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor } ⌈ ⌈ x / m ⌉ n ⌉ = ⌈ x m n ⌉ {\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil } Jellemzés Az itt tárgyalt függvények nem folytonosak; az egészrészek és a törtrész szakadási helyei éppen az egész számok. Az x mod y szakadási helyei rögzített y -ra y többszörösei. Nem párosak, és nem páratlanok. Az alsó és a felső egészrész szakaszonként konstans , a törtrész szakaszonként lineáris . Az alsó egészrész jobbról, a felső egészrész balról folytonos. A szakadási helyeken mindkét oldali határérték létezik. A törtrész periodikus, legkisebb periódusa 1.
Mivel ezek a függvények nem folytonosak, nem fejthetők Taylor-sorba . Ezen kívül az egészrészeknek Fourier-sorokkal sem állíthatók elő, mivel nem periodikusak.
Az x mod y Fourier-sora rögzített y -ra:[10]
x mod y = y 2 − y π ∑ k = 1 ∞ sin ( 2 π k x y ) k x nem osztható y -nal . {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y={\frac {y}{2}}-{\frac {y}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi kx}{y}}\right)}{k}}\qquad {\mbox{ }}x{\mbox{ nem osztható }}y{\mbox{ -nal}}.} Speciálisan, {x } = x mod 1 Fourier-sora:
{ x } = 1 2 − 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ( 2 π k x ) k ha x nem egész . {\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}\qquad {\mbox{ha }}x{\mbox{ nem egész}}.} A szakadási helyeken a sor értéke a jobb és a bal határérték számtani közepét adja. A folytonossági pontokban a sor a függvényértékhez tart.
Az {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} kifejezés felhasználásával
⌊ x ⌋ = x − 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ( 2 π k x ) k ha x nem egész . {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}\qquad {\mbox{ha }}x{\mbox{ nem egész}}.} Alkalmazások mod operátor A mod operátor így definiálható:
x mod y = x − y ⌊ x y ⌋ , {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor ,} ahol y ≠ 0.
x mod y csak 0 és y közötti értékeket vesz fel; i.e.
ha y pozitív,
0 ≤ x mod y < y , {\displaystyle 0\leq x\,{\bmod {\,}}y<y,} és ha y negatív,
0 ≥ x mod y > y . {\displaystyle 0\geq x\,{\bmod {\,}}y>y.} Ha x egész, és y pozitív, akkor
( x mod y ) ≡ x ( mod y ) . {\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\equiv x{\pmod {y}}.} Rögzített y -ra x mod y grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Innen a név: fűrészfog-függvény.
Kvadratikus reciprocitás Gauss harmadik bizonyítása a kvadratikus reciprocitásra két lépésből áll.[11] [12]
Legyen p és q két különböző páratlan prím, és legyen
m = p − 1 2 , n = q − 1 2 . {\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},\;\;n={\frac {q-1}{2}}.} Először a Gauss-lemmával megmutatjuk, hogy a Legendre-szimbólumokra
( q p ) = ( − 1 ) ⌊ q p ⌋ + ⌊ 2 q p ⌋ + ⋯ + ⌊ m q p ⌋ {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }} és
( p q ) = ( − 1 ) ⌊ p q ⌋ + ⌊ 2 p q ⌋ + ⋯ + ⌊ n p q ⌋ . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.} A második lépés geometriai érvelést használ annak belátására, hogy
⌊ q p ⌋ + ⌊ 2 q p ⌋ + ⋯ + ⌊ m q p ⌋ + ⌊ p q ⌋ + ⌊ 2 p q ⌋ + ⋯ + ⌊ n p q ⌋ = m n . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.} Összetéve
( p q ) ( q p ) = ( − 1 ) m n = ( − 1 ) p − 1 2 q − 1 2 . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.} Ezek a képletek az alsó egészrészt használják a kis számok kvasdratikus jellemzésére a p páratlan prím modulusokra:[13]
( 2 p ) = ( − 1 ) ⌊ p + 1 4 ⌋ , {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },} ( 3 p ) = ( − 1 ) ⌊ p + 1 6 ⌋ . {\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.} Kerekítés A pozitív számok egészekre kerekítése az ⌊ x + 0 , 5 ⌋ . {\displaystyle \lfloor x+0{,}5\rfloor .} függvénnyel, a negatív számoké a ⌈ x − 0 , 5 ⌉ . {\displaystyle \lceil x-0{,}5\rceil .} függvénnyel írható le.
Tizedesjegyek levágása A tizedesjegyek levágása is definiálható az egészrészekkel:nem negatív egészekre ⌊ x ⌋ . {\displaystyle \lfloor x\rfloor .} , és nem pozitív egészekre ⌈ x − 1 ⌉ + 1 {\displaystyle \lceil x-1\rceil +1} .
A szignumfüggvény felhasználásával: sgn ( x ) ⌊ | x | ⌋ {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)\lfloor |x|\rfloor }
Jegyek száma Ha k pozitív egész, akkor jegyeinek száma a b alapú számrendszerben:
⌊ log b k ⌋ + 1. {\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1.} Faktoriálisok prímtényezős felbontása Legyen n pozitív egész. Ekkor a p prím kitevője n! prímtényezős felbontásában[14]
⌊ n p ⌋ + ⌊ n p 2 ⌋ + ⌊ n p 3 ⌋ + … {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots } Ez az összeg véges, mert minden prímre van egy hatvány , ami nagyobb, mint n! .
Beatty-sorozatok A Beatty-sorozatok megmutatják, hogy az irracionális számok két részre particionálják a természetes számokat az egészrész felhasználásával.[15]
Az Euler-konstans Több képletben is együtt szerepel a γ = 0,57721 56649... Euler-konstans és valamelyik egészrész:
γ = ∫ 1 ∞ ( 1 ⌊ x ⌋ − 1 x ) d x , {\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,} γ = lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n ( ⌈ n k ⌉ − n k ) , {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),} és
γ = ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ⌊ log 2 k ⌋ k = 1 2 − 1 3 + 2 ( 1 4 − 1 5 + 1 6 − 1 7 ) + 3 ( 1 8 − ⋯ − 1 15 ) + … {\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots } Riemann-féle zéta függvény A törtrész megjelenik a Riemann-féle zéta-függvény integrálos felírásaiban.
Parciális integrálással megmutatható,[16] hogy ha φ(x) folytonosan differenciálható az [a, b] zárt intervallumon, akkor
∑ a < n ≤ b φ ( n ) = ∫ a b φ ( x ) d x + ∫ a b ( { x } − 1 2 ) φ ′ ( x ) d x + ( { a } − 1 2 ) φ ( a ) − ( { b } − 1 2 ) φ ( b ) . {\displaystyle {\sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}} Ha most φ(n ) = n −s , ahol s valós része nagyobb, mint 1, a és b egész, és b tart a végtelenbe, akkor adódik:
ζ ( s ) = s ∫ 1 ∞ 1 2 − { x } x s + 1 d x + 1 s − 1 + 1 2 . {\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\;dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.} Ez a képlet minden olyan s -re jó, aminek valós része nagyobb, mint -1, és nem egyenlő eggyel. {x } Fourier-sorának felhasználásával és ezzel az egyenlettel a zéta-függvény kiterjeszthető az egész komplex síkra, az 1 kivételével, ahol is pólusa van.[17]
A kritikus sávban levő s = σ + i t -re
ζ ( s ) = s ∫ − ∞ ∞ e − σ ω ( ⌊ e ω ⌋ − e ω ) e − i t ω d ω . {\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .} 1947-ben van der Pol ezt a felírást használta a zéta-függvény gyökeinek keresésére készített egy analóg számítógépet.[18]
Prímszámok n akkor és csak akkor prím, ha[19]
∑ m = 1 ∞ ( ⌊ n m ⌋ − ⌊ n − 1 m ⌋ ) = 2. {\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.} Legyen r > 1 egész, p n az n -edik prím, és
α = ∑ m = 1 ∞ p m r − m 2 . {\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.} Ekkor[20]
p n = ⌊ r n 2 α ⌋ − r 2 n − 1 ⌊ r ( n − 1 ) 2 α ⌋ . {\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .} Van egy θ = 1,3064... szám (a Mill-konstans), hogy
⌊ θ 3 ⌋ , ⌊ θ 9 ⌋ , ⌊ θ 27 ⌋ , … {\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots } mind prímek.[21]
Van egy ω = 1,9287800... szám is, hogy
⌊ 2 ω ⌋ , ⌊ 2 2 ω ⌋ , ⌊ 2 2 2 ω ⌋ , … {\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots } mind prímek.[21]
Jelölje π(x ) az x -nél nem nagyobb prímek számát. Ekkor nyílegyenesen következik a Wilson-tételből , hogy:[22]
π ( n ) = ∑ j = 2 n ⌊ ( j − 1 ) ! + 1 j − ⌊ ( j − 1 ) ! j ⌋ ⌋ . {\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .} Tehát, ha n ≥ 2,[23]
π ( n ) = ∑ j = 2 n ⌊ 1 ∑ k = 2 j ⌊ ⌊ j k ⌋ k j ⌋ ⌋ . {\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .} Az ebben a szakaszban felsorolt formuláknak nincs gyakorlati alkalmazásuk.
Ramanujan problémái Srínivásza Rámánudzsan vetette fel ezeket a kérdéseket a Journal of the Indian Mathematical Societynek :[24]
Ha n pozitív egész, akkor:
(I) ⌊ n 3 ⌋ + ⌊ n + 2 6 ⌋ + ⌊ n + 4 6 ⌋ = ⌊ n 2 ⌋ + ⌊ n + 3 6 ⌋ , {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}
(II) ⌊ 1 2 + n + 1 2 ⌋ = ⌊ 1 2 + n + 1 4 ⌋ , {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}
(III) ⌊ n + n + 1 ⌋ = ⌊ 4 n + 2 ⌋ . {\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}
Ezeket az állításokat sikerült belátni.
Megoldatlan kérdések A Waring-probléma tanulmányozása közben felvetődött a kérdés:
Van-e k , k ≥ 6 egész, hogy[25]
3 k − 2 k ⌊ ( 3 2 ) k ⌋ > 2 k − ⌊ ( 3 2 ) k ⌋ − 2 ? {\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2\;\;?} Mahler[26] belátta, hogy csak véges számú megoldás létezhet, de nincs ismert konkrét megoldás.
Jegyzetek Források További információk Floor function (angol nyelven). Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2022. március 11.)Štefan Porubský: Integer rounding functions (angol nyelven). Cseh Tudományos Akadémia, 2007. április 1. (Hozzáférés: 2022. március 11.) Eric W. Weisstein: Floor function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.) Eric W. Weisstein: Ceiling function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.)