สัญกรณ์ เกาส์ ได้แนะนำสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยม [x ] สำหรับแทนฟังก์ชันพื้น ในการพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเขาเมื่อ ค.ศ. 1808 [3] สิ่งนี้เป็นบรรทัดฐานในคณิตศาสตร์เรื่อยมา [4] จนกระทั่งอิเวอร์สัน (Kenneth E. Iverson) ได้แนะนำให้ใช้ชื่อ "floor" และ "ceiling" พร้อมกับทั้งแนะนำสัญกรณ์ ⌊x ⌋ และ ⌈x ⌉ สำหรับฟังก์ชันทั้งสองตามลำดับ เพื่อเขียนโปรแกรมภาษาเอพีแอลเมื่อ ค.ศ. 1962 [5] [6] ปัจจุบันสัญกรณ์ทั้งสองแบบก็ยังมีการใช้กันอยู่ในคณิตศาสตร์ สำหรับบทความนี้จะอธิบายด้วยสัญกรณ์ของอิเวอร์สัน
ฟังก์ชันพื้นอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มมากสุด (greatest integer function) หรือ อองเทียร์ (entier หมายถึงจำนวนเต็มในภาษาฝรั่งเศส ) และสำหรับฟังก์ชันพื้นของจำนวนที่ไม่เป็นลบ x อาจเรียกว่าเป็น ภาคจำนวนเต็ม (integral part) ของ x ในภาษาโปรแกรม อื่นที่นอกเหนือจากภาษาเอพีแอล มักจะใช้สัญกรณ์ว่า ENTIER (x )
(ภาษาอัลกอล), floor (x )
, หรือไม่ก็ int (x )
(ภาษาซี /ซีพลัสพลัส ) [7] ในทางคณิตศาสตร์ สัญกรณ์สำหรับฟังก์ชันนี้สามารถเขียนเป็นวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองก็ได้ [ [ x ] ] {\displaystyle [\![x]\!]} [8]
ส่วนฟังก์ชันเพดานอาจเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันจำนวนเต็มน้อยสุด (least integer function) ในภาษาโปรแกรมอื่นมักจะใช้แทนด้วย ceil (x )
หรือ ceiling (x )
ในทางคณิตศาสตร์ มีสัญกรณ์อีกแบบหนึ่งคือวงเล็บเหลี่ยมตัวหนาหรือซ้อนสองที่หันออก ] ] x [ [ {\displaystyle ]\!]x[\![} หรือใช้เพียงแค่วงเล็บเหลี่ยมธรรมดาหันออกก็ได้ ]x [ [9]
ตัวอย่าง ค่า x ฟังก์ชันพื้น ⌊x ⌋ ฟังก์ชันเพดาน ⌈x ⌉ ภาคเศษส่วน {x } 2.7 2 3 0.7 −2.7 −3 −2 0.3 −2 −2 −2 0 12/5 = 2.4 2 3 2/5 = 0.4
สำหรับนิยามของภาคเศษส่วน ดูในหัวข้อถัดไป
นิยามและสมบัติ ในสูตรคณิตศาสตร์ต่อไปนี้ สมมติให้ x , y เป็นจำนวนจริง k , m , n เป็นจำนวนเต็ม และ Z {\displaystyle \mathbb {Z} } คือเซต ของจำนวนเต็ม (อันประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ และศูนย์)
ฟังก์ชันพื้นและเพดานสามารถนิยามได้ด้วยเซตดังนี้
⌊ x ⌋ = max { n ∈ Z ∣ n ≤ x } {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}} ⌈ x ⌉ = min { n ∈ Z ∣ n ≥ x } {\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}} เนื่องจากช่วงครึ่งเปิดความยาวหนึ่งหน่วย จะมีจำนวนเต็มเพียงหนึ่งตัวในช่วงนั้น ดังนั้นสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ จะมีจำนวนเต็ม m และ n ที่ทำให้
x − 1 < m ≤ x ≤ n < x + 1 {\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1\,\!} เราจะได้ ⌊ x ⌋ = m {\displaystyle \lfloor x\rfloor =m} และ ⌈ x ⌉ = n {\displaystyle \lceil x\rceil =n} ซึ่งก็ถือว่าเป็นนิยามอย่างหนึ่งเช่นกัน
นอกจากนี้ก็ยังมี { x } = x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor } และ x mod y = x − y ⌊ x y ⌋ {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor }
การเทียบเท่า สูตรเหล่านี้สามารถใช้ถอดฟังก์ชันพื้นและฟังก์ชันเพดานออกจากนิพจน์ [10]
⌊ x ⌋ = n ⟺ n ≤ x < n + 1 ⌈ x ⌉ = n ⟺ n − 1 < x ≤ n ⌊ x ⌋ = n ⟺ x − 1 < n ≤ x ⌈ x ⌉ = n ⟺ x ≤ n < x + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\iff &n&\leq x<n+1\\\lceil x\rceil =n&\iff &n-1&<x\leq n\\\lfloor x\rfloor =n&\iff &x-1&<n\leq x\\\lceil x\rceil =n&\iff &x&\leq n<x+1\\\end{aligned}}} และสำหรับอสมการ
x < n ⟺ ⌊ x ⌋ < n n < x ⟺ n < ⌈ x ⌉ x ≤ n ⟺ ⌈ x ⌉ ≤ n n ≤ x ⟺ n ≤ ⌊ x ⌋ {\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\iff &\lfloor x\rfloor &<n\\n<x&\iff &n&<\lceil x\rceil \\x\leq n&\iff &\lceil x\rceil &\leq n\\n\leq x&\iff &n&\leq \lfloor x\rfloor \\\end{aligned}}} สูตรเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงผลจากการบวกด้วยจำนวนเต็ม n ภายในฟังก์ชัน
⌊ x + n ⌋ = ⌊ x ⌋ + n ⌈ x + n ⌉ = ⌈ x ⌉ + n { x + n } = { x } {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n\\\{x+n\}&=\{x\}\\\end{aligned}}} อย่างไรก็ตาม สูตรด้านบนอาจไม่เป็นจริงเสมอไปถ้า n ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่จะได้ผลดังนี้แทน
⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ ≤ ⌊ x + y ⌋ ≤ ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ + 1 ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ − 1 ≤ ⌈ x + y ⌉ ≤ ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ {\displaystyle {\begin{aligned}&\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \;\lfloor x+y\rfloor \;&\leq \;\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1\\&\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \;\lceil x+y\rceil \;&\leq \;\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \\\end{aligned}}} ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชัน จากนิยามเราสามารถสรุปได้ว่า
⌊ x ⌋ ≤ ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil } กรณีที่มีค่าเท่ากันคือเมื่อ x เป็นจำนวนเต็ม ⌈ x ⌉ − ⌊ x ⌋ = { 0 if x ∈ Z 1 if x ∉ Z {\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}} สำหรับจำนวนเต็ม n ประโยคนี้จะเป็นจริง
⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n {\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n} สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันพื้นและเพดาน
⌊ x ⌋ + ⌈ − x ⌉ = 0 {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0} ⌊ x ⌋ + ⌊ − x ⌋ = { 0 if x ∈ Z − 1 if x ∉ Z {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}} ⌈ x ⌉ + ⌈ − x ⌉ = { 0 if x ∈ Z 1 if x ∉ Z {\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}} สลับเครื่องหมายในอาร์กิวเมนต์ของภาคเศษส่วน
{ x } + { − x } = { 0 if x ∈ Z 1 if x ∉ Z {\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\notin \mathbb {Z} \\\end{cases}}} ฟังก์ชันพื้น ฟังก์ชันเพดาน และภาคเศษส่วน เป็นฟังก์ชันนิจพล
⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋ ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉ = ⌈ x ⌉ { { x } } = { x } {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor \\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil \\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}\\\end{aligned}}} ใช้ฟังก์ชันพื้นและเพดานซ้อนกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือฟังก์ชันที่อยู่ในสุด
⌊ ⌈ x ⌉ ⌋ = ⌈ x ⌉ ⌈ ⌊ x ⌋ ⌉ = ⌊ x ⌋ {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil \\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \\\end{aligned}}} กำหนดให้ y มีค่าคงตัว x mod y จะเป็นนิจพล
( x mod y ) mod y = x mod y {\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\,{\bmod {\,}}y=x\,{\bmod {\,}}y} และจากนิยาม
{ x } = x mod 1 {\displaystyle \{x\}=x\,{\bmod {\,}}1} ผลหาร ถ้า n ≠ 0 แล้ว
0 ≤ { m n } ≤ 1 − 1 | n | {\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}} ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก [11]
⌊ x + m n ⌋ = ⌊ ⌊ x ⌋ + m n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor } ⌈ x + m n ⌉ = ⌈ ⌈ x ⌉ + m n ⌉ {\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil } ถ้า m เป็นจำนวนเต็มบวก [12]
n = ⌈ n m ⌉ + ⌈ n − 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ n − m + 1 m ⌉ {\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil } n = ⌊ n m ⌋ + ⌊ n + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ n + m − 1 m ⌋ {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor } ซึ่งเมื่อ m = 2 จะทำให้เกิดสมบัตินี้
n = ⌊ n 2 ⌋ + ⌈ n 2 ⌉ {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil } กรณีทั่วไปสำหรับจำนวนเต็มบวก m [13]
⌈ m x ⌉ = ⌈ x ⌉ + ⌈ x − 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ x − m − 1 m ⌉ {\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil } ⌊ m x ⌋ = ⌊ x ⌋ + ⌊ x + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ x + m − 1 m ⌋ {\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor } สูตรต่อไปนี้สามารถเปลี่ยนระหว่างฟังก์ชันพื้นกับฟังก์ชันเพดาน เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มบวก [14]
⌈ n m ⌉ = ⌊ n + m − 1 m ⌋ = ⌊ n − 1 m ⌋ + 1 {\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1} ⌊ n m ⌋ = ⌈ n − m + 1 m ⌉ = ⌈ n + 1 m ⌉ − 1 {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1} ถ้า m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จะได้
∑ i = 1 n − 1 ⌊ i m n ⌋ = 1 2 ( m − 1 ) ( n − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {im}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1)} เนื่องจากสูตรข้างต้น m และ n มีความสมมาตรต่อกัน จึงสามารถกระจายฝั่งซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับได้ดังนี้
⌊ m n ⌋ + ⌊ 2 m n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 1 ) m n ⌋ = ⌊ n m ⌋ + ⌊ 2 n m ⌋ + ⋯ + ⌊ ( m − 1 ) n m ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor } และสำหรับกรณีทั่วไป เมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
⌊ x n ⌋ + ⌊ m + x n ⌋ + ⌊ 2 m + x n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 1 ) m + x n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor } = ⌊ x m ⌋ + ⌊ n + x m ⌋ + ⌊ 2 n + x m ⌋ + ⋯ + ⌊ ( m − 1 ) n + x m ⌋ {\displaystyle =\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor } สิ่งนี้เรียกว่า กฎการแลกเปลี่ยน [15]
ผลหารซ้อน สำหรับจำนวนเต็มบวก m และ n และจำนวนจริง x
⌊ ⌊ x / m ⌋ n ⌋ = ⌊ x m n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor } ⌈ ⌈ x / m ⌉ n ⌉ = ⌈ x m n ⌉ {\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil } ความต่อเนื่อง ฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นช่วง ซึ่ง ⌊x ⌋ กับ ⌈x ⌉ เป็นฟังก์ชันคงตัว ในแต่ละช่วง และไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม {x } ก็ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็มเช่นกัน แต่ไม่ได้เป็นฟังก์ชันคงตัว ส่วน x mod y เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่พหุคูณ ของ y ถ้าให้ y มีค่าคงตัว
⌊x ⌋ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน (upper semi-continuous function) และ ⌈x ⌉ กับ {x } เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semi-continuous function) ส่วน x mod y จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเมื่อ y เป็นจำนวนบวก และเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเมื่อ y เป็นจำนวนลบ
การกระจายอนุกรม เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่ต่อเนื่อง จึงไม่มีฟังก์ชันใดที่เขียนแทนด้วยการกระจายอนุกรมกำลังได้ และเนื่องจากฟังก์ชันพื้นและเพดานไม่เป็นคาบ (periodic) สองฟังก์ชันนี้จึงไม่มีการกระจายอนุกรมฟูรีเย
สำหรับ x mod y โดยที่ y มีค่าคงตัว มีการกระจายฟูรีเยดังนี้ [16]
x mod y = y 2 − y π ∑ k = 1 ∞ sin ( 2 π k x y ) k {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y={\frac {y}{2}}-{\frac {y}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi kx}{y}}\right)}{k}}} ด้วยสมบัติที่ว่า {x } = x mod 1 ดังนั้นจะได้
{ x } = 1 2 − 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ( 2 π k x ) k {\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}} ในจุดที่เกิดความไม่ต่อเนื่อง อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งที่เป็นค่าเฉลี่ย ของลิมิต ทางซ้ายและทางขวา สำหรับ x mod y ซึ่ง y มีค่าคงตัว อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้า y / 2 ที่ตำแหน่งพหุคูณของ y ส่วนในจุดอื่น ๆ ที่มีความต่อเนื่อง อนุกรมจะลู่เข้าค่าจริง
จากสูตรที่ว่า {x } = x − ⌊x ⌋ จึงสรุปได้ว่า
⌊ x ⌋ = x − 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ( 2 π k x ) k {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}} การประยุกต์ใช้ ภาคเศษส่วน ภาคเศษส่วน (fractional part) เป็นฟังก์ชันฟันเลื่อย เขียนแทนด้วย {x } สำหรับทุกจำนวนจริง x ซึ่งนิยามโดยสูตรนี้ [17]
{ x } = x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor } ภาคเศษส่วนของ x จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 นั่นคือ
0 ≤ { x } < 1 {\displaystyle 0\leq \{x\}<1} ถ้า x เป็นจำนวนบวก ฟังก์ชันพื้นของ x สามารถสรุปได้อย่างง่ายว่า เป็นค่า x ที่ตัดตัวเลขหลังจุดทศนิยม ออกไป ดังนั้นภาคเศษส่วนของ x ก็คือค่า x ที่ตัดตัวเลขหน้าจุดทศนิยมออกไป
มอดุโล การดำเนินการมอดุโล (modulo) เขียนแทนด้วย x mod y สำหรับจำนวนจริง x และ y โดยที่ y ≠ 0 นิยามโดยสูตรนี้
x mod y = x − y ⌊ x y ⌋ {\displaystyle x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor } ผลลัพธ์ของ x mod y จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง y นั่นคือ
y > 0 ⇒ 0 ≤ x mod y < y {\displaystyle y>0\Rightarrow 0\leq x\,{\bmod {\,}}y<y} y < 0 ⇒ 0 ≥ x mod y > y {\displaystyle y<0\Rightarrow 0\geq x\,{\bmod {\,}}y>y} ถ้า x เป็นจำนวนเต็มและ y เป็นจำนวนเต็มบวก
( x mod y ) ≡ x ( mod y ) {\displaystyle (x\,{\bmod {\,}}y)\equiv x{\pmod {y}}} ฟังก์ชัน x mod y โดยที่ y เป็นค่าคงตัว จะเป็นฟังก์ชันฟันเลื่อยเช่นกัน
การแลกเปลี่ยนกำลังสอง การพิสูจน์การแลกเปลี่ยนกำลังสอง (quadratic reciprocity) ของเกาส์ครั้งที่สาม ซึ่งปรับปรุงแก้ไขโดยไอเซนสไตน์ (Ferdinand Eisenstein) มีสองขั้นตอนพื้นฐานดังนี้ [18] [19]
กำหนดให้ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ ที่เป็นจำนวนคี่ คนละตัวกัน และกำหนดให้
m = p − 1 2 , n = q − 1 2 {\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},\;\;n={\frac {q-1}{2}}} ขั้นตอนแรก สัญลักษณ์เลอช็องดร์ถูกนำมาเขียนอธิบายด้วยบทตั้งของเกาส์
( q p ) = ( − 1 ) ⌊ q p ⌋ + ⌊ 2 q p ⌋ + ⋯ + ⌊ m q p ⌋ {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }} ( p q ) = ( − 1 ) ⌊ p q ⌋ + ⌊ 2 p q ⌋ + ⋯ + ⌊ n p q ⌋ {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }} ขั้นตอนที่สองคือใช้การให้เหตุผลทางเรขาคณิตเพื่อที่จะแสดงว่า
⌊ q p ⌋ + ⌊ 2 q p ⌋ + ⋯ + ⌊ m q p ⌋ + ⌊ p q ⌋ + ⌊ 2 p q ⌋ + ⋯ + ⌊ n p q ⌋ = m n {\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn} จากนั้นจึงเอาสูตรทั้งสองมารวมกัน ทำให้เกิดการแลกเปลี่ยนกำลังสอง
( p q ) ( q p ) = ( − 1 ) m n = ( − 1 ) p − 1 2 q − 1 2 {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}} สูตรต่อไปนี้เป็นการใช้ฟังก์ชันพื้นเพื่อแสดงลักษณะกำลังสองของจำนวนขนาดเล็ก มอดุโลกับจำนวนเฉพาะ p [20]
( 2 p ) = ( − 1 ) ⌊ p + 1 4 ⌋ {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor }} ( 3 p ) = ( − 1 ) ⌊ p + 1 6 ⌋ {\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }} การปัดเศษ การปัดเศษจำนวนบวก x ไปยังจำนวนเต็มที่อยู่ใกล้ที่สุด จะใช้วิธีการปัดเศษโดยครึ่งหนึ่งให้ปัดขึ้นโดยปกติ สามารถเขียนได้เป็น ⌊ x + 0.5 ⌋ {\displaystyle \lfloor x+0.5\rfloor }
จำนวนหลัก จำนวนหลักของจำนวนเต็มบวก k ในฐาน b คำนวณได้จาก ⌊ log b k ⌋ + 1 {\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1}
ตัวประกอบของแฟกทอเรียล กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกและ p เป็นจำนวนเฉพาะ (ซึ่งเป็นบวกเช่นกัน) กำลังสูงสุดของ p ที่สามารถหาร n ! (แฟกทอเรียล ของ n ) ได้ลงตัว คำนวณได้จากสูตรนี้ [21]
⌊ n p ⌋ + ⌊ n p 2 ⌋ + ⌊ n p 3 ⌋ + … {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots } ผลรวมของอนุกรมนี้จำกัด เนื่องจากฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เมื่อ p k > n
ลำดับบีตตี ลำดับบีตตี (Beatty sequence) ได้แสดงไว้ว่าจำนวนอตรรกยะ ที่เป็นบวกทุกจำนวน เมื่อผ่านฟังก์ชันพื้นแล้วจะเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนธรรมชาติ ซึ่งเป็นสมาชิกของลำดับสองลำดับคู่กัน [22]
ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี สูตรที่ใช้แสดงค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี γ = 0.57721 56649 … ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นและเพดาน ตัวอย่างเช่น [23]
γ = ∫ 1 ∞ ( 1 ⌊ x ⌋ − 1 x ) d x {\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx} γ = lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n ( ⌈ n k ⌉ − n k ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)} γ = ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ⌊ log 2 k ⌋ k = 1 2 − 1 3 + 2 ( 1 4 − 1 5 + 1 6 − 1 7 ) + 3 ( 1 8 − ⋯ − 1 15 ) + … {\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots } ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ฟังก์ชันภาคเศษส่วนปรากฏในการแจกแจงปริพันธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างตรงไปตรงมาด้วยการหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน [24] โดยสมมติว่า φ (x ) คือฟังก์ชันใด ๆ ที่มีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในช่วงปิด [a , b ]
∑ a < n ≤ b ϕ ( n ) = ∫ a b ϕ ( x ) d x + ∫ a b ( { x } − 1 2 ) ϕ ′ ( x ) d x + ( { a } − 1 2 ) ϕ ( a ) − ( { b } − 1 2 ) ϕ ( b ) {\displaystyle {\sum _{a<n\leq b}\phi (n)=\int _{a}^{b}\phi (x)dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi '(x)dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\phi (b)}} กำหนดให้ φ (n ) = n −s สำหรับส่วนจริง ของ s ที่มากกว่า 1 และกำหนดให้ a , b เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง b มีค่าเข้าใกล้อนันต์ จะได้
ζ ( s ) = s ∫ 1 ∞ 1 2 − { x } x s + 1 d x + 1 s − 1 + 1 2 {\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\;dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}} สูตรนี้สามารถใช้ได้กับทุกค่าของ s ที่มีส่วนจริงมากกว่า −1 (ยกเว้นเมื่อ s = 1 เพราะจุดนั้นเป็นโพล) และเมื่อรวมเข้ากับการกระจายฟูรีเยของ {x } จะทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันซีตาได้กับทั้งระนาบเชิงซ้อน และใช้สำหรับพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชัน [25]
สำหรับ s = σ + i t ภายในแถบวิกฤต (critical strip) เช่น 0 < σ < 1 Balthasar van der Pol ได้ใช้สูตรนี้เพื่อสร้างคอมพิวเตอร์แอนะล็อกสำหรับคำนวณรากของฟังก์ชันซีตาเมื่อ ค.ศ. 1974 [26]
ζ ( s ) = s ∫ − ∞ ∞ e − σ ω ( ⌊ e ω ⌋ − e ω ) e − i t ω d ω {\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega } สูตรเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ n จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ [27]
∑ m = 1 ∞ ( ⌊ n m ⌋ − ⌊ n − 1 m ⌋ ) = 2 {\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2} กำหนดให้ r > 1 เป็นจำนวนเต็ม, p n คือจำนวนเฉพาะตัวที่ n และ α ซึ่งนิยามโดย
α = ∑ m = 1 ∞ p m r − m 2 {\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}} เราจะได้ว่า [28]
p n = ⌊ r n 2 α ⌋ − r 2 n − 1 ⌊ r ( n − 1 ) 2 α ⌋ {\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor } มีจำนวน θ = 1.3064… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ ⌊ θ 3 ⌋ , ⌊ θ 9 ⌋ , ⌊ θ 27 ⌋ , … {\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots } เป็นจำนวนเฉพาะ [29]
และมีจำนวน ω = 1.9287800… ซึ่งมีสมบัติว่า จำนวนทั้งหมดในลำดับ ⌊ 2 ω ⌋ , ⌊ 2 2 ω ⌋ , ⌊ 2 2 2 ω ⌋ , … {\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots } เป็นจำนวนเฉพาะ [30]
π (x ) เป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ คือนับว่ามีจำนวนเฉพาะอยู่เท่าไรที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ x ซึ่งเป็นการลดทอนมาจากทฤษฎีบทของวิลสัน ที่ว่า [31]
π ( n ) = ∑ j = 2 n ⌊ ( j − 1 ) ! + 1 j − ⌊ ( j − 1 ) ! j ⌋ ⌋ {\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor } และถ้าหาก n ≥ 2 จะได้ [32]
π ( n ) = ∑ j = 2 n ⌊ 1 ∑ k = 2 j ⌊ ⌊ j k ⌋ k j ⌋ ⌋ {\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor } แต่สูตรในส่วนนี้ที่กล่าวมาทั้งหมด ไม่มีการนำไปใช้จริงในทางปฏิบัติ
ข้อปัญหาที่แก้ได้ รามานุจัน ได้ส่งข้อปัญหาที่เกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นเหล่านี้ลงใน Journal of the Indian Mathematical Society [33]
ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า
⌊ n 3 ⌋ + ⌊ n + 2 6 ⌋ + ⌊ n + 4 6 ⌋ = ⌊ n 2 ⌋ + ⌊ n + 3 6 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor } ⌊ 1 2 + n + 1 2 ⌋ = ⌊ 1 2 + n + 1 4 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor } ⌊ n + n + 1 ⌋ = ⌊ 4 n + 2 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor } ข้อปัญหาที่แก้ไม่ได้ จากการศึกษาข้อปัญหาของวาริง ได้นำไปสู่ปัญหาที่ยังไม่สามารถแก้ได้จนปัจจุบัน นั่นคือ
จริงหรือไม่ที่จำนวนเต็มบวก k ใด ๆ โดยที่ k ≥ 6 ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง [34]
3 k − 2 k ⌊ ( 3 2 ) k ⌋ > 2 k − ⌊ ( 3 2 ) k ⌋ − 2 {\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2} เคิร์ต มาห์เลอร์ เคยพิสูจน์และสรุปว่า มีเพียงจำนวนจำกัดจำนวนหนึ่งเท่านั้นสำหรับ k ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น นอกเหนือจากนั้นยังไม่สามารถสรุปได้ [35]
การใช้งานในคอมพิวเตอร์ กราฟของการแปลงเป็นจำนวนเต็ม (int) ภาษาโปรแกรม ภาษาซี ภาษาซีพลัสพลัส และภาษาอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง (เช่นภาษาซีชาร์ป ภาษาจาวา ) มีฟังก์ชันมาตรฐาน floor ()
สำหรับฟังก์ชันพื้น [36] และ ceil ()
สำหรับฟังก์ชันเพดาน [37]
นอกจากนี้ยังมีอีกวิธีการหนึ่งคือการแปลงจำนวนจุดลอยตัว (floating point) ไปเป็นจำนวนเต็มโดยการกำกับชนิดข้อมูล (int) value
ซึ่งจะทำให้ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยม ถูกตัดออกไปทั้งหมด ไม่ว่าจำนวนนั้นจะเป็นบวกหรือลบ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถูกปัดเศษไปยังค่าศูนย์ [38]
เชิงอรรถ อ้างอิง J.W.S. Cassels (1957). An introduction to Diophantine approximation . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press. Crandall, Richard; Pomeramce, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective , New York: Springer, ISBN 0-387-04777-9 Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics , Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5 Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition) , Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0198531715 Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences , SIAM. ISBN 0898714206 , p. 25 ISO /IEC. ISO/IEC 9899::1999 (E) : Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language , Wiley Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein , Berlin: Springer, ISBN 3-540-66967-4 Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0821820766 Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records , New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5 Michael Sullivan. Precalculus , 8th edition, p. 86 Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (2nd ed.), Oxford: Oxford U. P., ISBN 0-19-853369-1 ดูเพิ่ม