取整函数

对于高斯符號，有如下性质。

• 按定义：

  ${\displaystyle [x]\leq x<[x]+1}$ 当且仅当x为整数时取等号。

• 设x和n为正实数，则：

  ${\displaystyle \left[{\frac {n}{x}}\right]\geq {\frac {n}{x}}-{\frac {x-1}{x}}}$

• 当n为正整数时，有：

  ${\displaystyle \left\lbrack {\frac {x}{n}}\right\rbrack ={\frac {x-x{\bmod {n}}}{n}},}$ 其中${\displaystyle x{\bmod {n}}}$ 表示${\displaystyle x}$ 除以${\displaystyle n}$ 的餘數。

• 对任意的整数k和任意实数x，

  ${\displaystyle [{k+x}]=k+[x].}$

• 一般的數值修約規則可以表述为将x映射到floor(x + 0.5)；
• 高斯符號不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，高斯符號导数为零。
• 设x为一个实数，n为整数，则由定义，n ≤ x当且仅当n ≤ floor(x)。
• 當x是正數時，有：

  ${\displaystyle \left\lbrack 2x\right\rbrack -2\left\lbrack x\right\rbrack \leqslant 1}$

• 用高斯符號可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值，見§ 質數公式。
• 对于非整数的x，高斯符號有如下的傅里叶级数展开：

  ${\displaystyle [x]=x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}$

• 根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过高斯符號制造出一个整数集的分划。
• 最后，对于每个正整数k，其在 p 进制下的表示有 ${\displaystyle [\log _{p}(k)]+1}$ 个数位。

函數間之關係

由上下取整函數的定義，可見

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$

等號當且僅當${\displaystyle x}$ 為整數，即

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

實際上，上取整與下取整函數作用於整數${\displaystyle n}$ ，效果等同恆等函數：

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

自變量加負號，相當於將上取整與下取整互換，外面再加負號，即：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0,\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil ,\\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor .\end{aligned}}}$

且：

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\-1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

至於小數部分${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }$ ，自變量取相反數會使小數部分變成關於1的「補數」：

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

上取整、下取整、小數部分皆為冪等函數，即函數疊代兩次的結果等於自身：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

而多個上取整與下取整依次疊代的效果，相當於最內層一個：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor ,\end{aligned}}}$

因為外層取整函數實際衹作用在整數上，不帶來變化。

商

若${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ 為正整數，且${\displaystyle n\neq 0}$ ，則

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

若${\displaystyle n}$ 為正整數，則^[3]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

若${\displaystyle m}$ 為正數，則^[4]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

代${\displaystyle m=2}$ ，上式推出：

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .}$

更一般地，對正整數${\displaystyle m}$ ，有埃爾米特恆等式（英语：Hermite's identity）：^[5]

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

對於正整數${\displaystyle m}$ ，以下兩式可將上下取整函數互相轉化：^[6]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1.}$

對任意正整數${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ ，有：^[7]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

作為特例，當${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ 互質時，上式簡化為

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).}$

此等式可以幾何方式證明。又由於右式關於${\displaystyle m}$ 、${\displaystyle n}$ 對稱，可得

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

更一般地，對正整數${\displaystyle m,n}$ ，有

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

上式算是一種「互反律」（reciprocity law）^[7]，與§ 二次互反律有關。

二次互反律

高斯給出二次互反律的第三個證明，經艾森斯坦修改後，有以下兩個主要步驟。^[8][9]

設${\displaystyle p}$ 、${\displaystyle q}$ 為互異奇質數，又設

${\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},}$ ${\displaystyle n={\frac {q-1}{2}}.}$

首先，利用高斯引理，證明勒让德符号可表示為和式：

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },}$

同樣

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.}$

其後，採用幾何論證，證明

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

總結上述兩步，得

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

此即二次互反律。一些小整數模奇質數${\displaystyle p}$ 的二次特徵標，可以高斯符號表示，如：^[10]

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.}$

質數公式

下取整函數出現於若干刻畫質數的公式之中。舉例，因為${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor }$ 在${\displaystyle m}$ 整除${\displaystyle n}$ 時等於${\displaystyle 1}$ ，否則為${\displaystyle 0}$ ，所以正整數${\displaystyle n}$ 為質數当且仅当^[11]

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}$

除表示質數的條件外，還可以寫出公式使其取值為質數。例如，記第${\displaystyle n}$ 個質數為${\displaystyle p_{n}}$ ，任選一個整數${\displaystyle r>1}$ ，然後定義實數${\displaystyle \alpha }$ 為

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

則衹用取整、冪、四則運算可以寫出質數公式：^[12]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

類似還有米尔斯常数${\displaystyle \theta =1.3064\ldots }$ ，使

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

皆為質數。^[13]

若不疊代三次方函數，改為疊代以${\displaystyle 2}$ 為㡳的指數函數，亦有${\displaystyle \omega =1.9287800\ldots }$ 使

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

皆為質數。^[13]

以質數計算函數${\displaystyle \pi (x)}$ 表示小於或等於${\displaystyle x}$ 的質數個數。由威尔逊定理，可知^[14]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .}$

又或者，當${\displaystyle n\geq 2}$ 時：^[15]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}$

本小節的公式未有任何實際用途。^[16][17]

• 对于所有实数x，有：

  ${\displaystyle \left\lbrack {\frac {x}{2}}\right\rbrack ={\frac {1}{4}}((-1)^{[x]}-1+2[x])}$

  ${\displaystyle \left\lbrack {\frac {x}{3}}\right\rbrack ={\frac {-2}{\sqrt {3}}}\sin({\frac {2\pi }{3}}[x]+{\frac {\pi }{3}})+1}$

• 设x为一个实数，n为整数，则

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}E(x+{\frac {k}{n}})=E(nx)}$

${\displaystyle E({\frac {1}{n}}E(nx))=E(x)}$

• 对于两个相反数的高斯符號，有：

如果x为整数，则${\displaystyle E(x)+E(-x)=0}$

否则${\displaystyle E(x)+E(-x)=-1}$

• Crandall, Richard; Pomerance, Carl. Prime Numbers: A Computational Perspective. New York: Springer. 2001 [2022-02-06]. ISBN 0-387-94777-9. （原始内容存档于2022-04-09）. 
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics. Reading Ma.: Addison-Wesley. 1994. ISBN 0-201-55802-5. 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition). Oxford: Oxford University Press. 1980. ISBN 978-0-19-853171-5. 
• Lemmermeyer, Franz. Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3-540-66957-4. 
• Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer. 1996. ISBN 0-387-94457-5. 

截尾函数