Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil
Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan [1]. Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil[2].
Sebaliknya, suatu fungsi dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan [1]. Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar[2].
Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai
dan .[1]
Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (Inggris: integer part), di mana bilangan real yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan atau terkadang dinotasikan sebagai [3] dan dirumuskan sebagai[3][4]
.
Untuk memahami lebih lanjut, tinjau yang bernilai , maka . Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, .
Sejarah
Sifat dan identitas
Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:[5]
- untuk suatu bilangan real.
- dan jika dan hanya jika adalah bilangan bulat.
- jika adalah bilangan real dan bila bilangan bulat.
- Untuk suatu bilangan bulat, .
Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain
Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:[6][7][8]
- untuk adalah bilangan bulat.
Kalkulus
Turunan
Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila adalah bilangan bulat. Bila bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana[9], yakni bernilai 0.
Integral
Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai
- .[10]
Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,
- .[11]
Representasi deret
Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:
- Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan
asalkan bilangan real dan bukan bilangan bulat.[12]
Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.
- Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan
asalkan bilangan real dan bukan bilangan bulat.[13]