அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்)

• எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் ஒரு மையம் c உடன் அடுக்குத் தொடராக எளிதாக எழுத முடியும்.

${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை மையம் ${\displaystyle c=0}$ எனக் கொண்டு பின்வரும் அடுக்குத் தொடராக எழுதலாம்:

${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,}$

அல்லது மையத்தை ${\displaystyle c=1}$ எனக்கொண்டால்:

${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}}$ ${\displaystyle +0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,}$

• பெருக்குத் தொடரின் வடிவம்:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$ , இவ் வாய்ப்பாடு ${\displaystyle |x|<1}$ எனும் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.

• அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

சைன் சார்பின் தொடர்:

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$ இத் தொடர் x இன் அமைத்து மெய்மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்.

அடுக்குத் தொடரில் எதிர் எண்கள் மாறியின் அடுக்குகளாக இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக பின்வருவது அடுக்குத் தொடராகாது:

${\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$

இதேபோல ${\displaystyle x^{1/2}}$ போன்ற பின்ன அடுக்குகளும் இருக்காது. மேலும் கெழுக்கள் மாறி ${\displaystyle x}$ ஐச் சார்ந்தவையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக கீழே தரப்படுவது அடுக்குத் தொடர் அல்ல:

${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}$

f , g ஆகிய இரு சார்புகள் c எனும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டு அடுக்குத் தொடர்களாக எழுதப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை உறுப்புவாரிக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாகச் செய்யலாம்.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}$ எனில்:

${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}$

${\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}$

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}$

அடுக்குத் தொடராக எழுதப்படும் சார்பின் வகைக்கெழு மற்றும் தொகையீடு

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}$

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}$

• Solomentsev, E.D. (2001), "Power series", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104

• Weisstein, Eric W., "Formal Power Series", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Power Series", MathWorld.
• Complex Power Series Module by John H. Mathews
• Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.