เพนดูลัมผกผัน

ในที่นี้เราจะหาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันโดยใช้กลศาสตร์แบบลากรางจ์ (Lagrange's equations) และตั้งสมุมติฐานเพื่อความง่ายต่อความเข้าใจและยังคงไม่สูญเสียความเป็นรูปแบบทั่วไปว่าระบบเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ 2 มิติ แกน ${\displaystyle x-y}$ ได้เท่านั้น โดยตัวแปรต่างๆเราจะอ้างอิงตัวแปรเดียวกับที่ปรากฏในภาพ กล่าวคือ ${\displaystyle \theta (t)}$ คือ มุมที่แท่งเพนดูลัมทำกับแนวตั้งฉากกับพื้นโลก และให้แท่งเพนดูลัมมีความยาว ${\displaystyle l}$ ให้แรงจากภายนอกเป็น ${\displaystyle F}$ กระทำในทิศ ${\displaystyle x}$ ดังภาพ และแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำในแนวแกน ${\displaystyle y}$ และกำหนดให้ ${\displaystyle x(t)}$ เป็นระยะของรถในแกน ${\displaystyle x}$ ที่แปรผันตามเวลา และสมการลากรางจ์ (Lagrangian) ของระบบเป็นดังต่อไปนี้^[4] ${\displaystyle L=T-V}$ โดย ${\displaystyle T}$ คือพลังงานจลน์ของระบบ และ ${\displaystyle V}$ คือพลังงานศักย์ของระบบ

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }$
โดย ${\displaystyle v_{1}}$ เป็นความเร็วของของตัวรถ ${\displaystyle v_{2}}$ เป็นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล ${\displaystyle m}$ ของมวลบนแท่งเพนดูลัม.
ทั้งนี้ ${\displaystyle v_{1}}$ และ ${\displaystyle v_{2}}$ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle \theta }$ ดังต่อไปนี้

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}}$

${\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {d}{dt}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}}$

ทำการลดรูป ${\displaystyle v_{2}}$ ได้ผลเป็น

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}}$

แทนสมการข้างต้นลงในสมการลากรางจ์ ได้ว่า:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta }$

และสมการการเคลื่อนที่:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \partial x}=F}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

แทนที่ ${\displaystyle L}$ ในสมการข้างต้นจะได้สมการที่อธิบายการเลือนที่ของเพนดูลัมแบบผกผันดังนี้

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

จะเห็นได้ว่าสมการที่ได้เป็นสมการไม่เชิงเส้นซึ่งยากที่จะนำไปออกแบบตัวควบคุม ในทางปฏิบัติผู้ออกแบบจะนิยมแปรงสมการไม่เชิงเส้นให้เป็นสมการเชิงเส้นก่อน โดยสมมุติว่าแท่งเพนดุลัมแกว่งอยู่ในช่วงมุมเล็ก ๆ ซึ่งประมาณเป็น ${\displaystyle 0}$ ได้ (${\displaystyle \theta \approx 0}$ ) ทั้งนี้เพื่อความง่ายต่อการออกแบบตัวควบคุม และง่ายต่อการอธิบายพฤติกรรมของระบบ

• ทฤษฎีระบบควบคุม
• Segway
• เพนดูลัมผกผันแบบฟูรุตะ (Furuta pendulum)

• สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีระบบควบคุม มีตัวอย่างเป็นเพนดูลัมแบบผกผัน ของ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน เก็บถาวร 2007-05-22 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
• Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0
• Norman S. Nise, Control Systems Engineering (Edition6), John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0470547561, 9780470547564
• เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)
• วิบูลย์ แสงวีระพันธุ์ศิริ, ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "การควบคุมระบบพลศาสตร์ (Control of Dynamic Systems)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2548 (ISBN 974-13-3393-5)