集合論 (粵拼 :Zaap6 hap6 leon6 ;英國話 :set theory),又叫集論 ,係一門研究集合 嘅數學 理論 。佢喺 1870 年代由德國 數學家康托爾 (Georg Cantor)同戴德金 (Richard Dedekind)諗出嚟,而今時今日佢成日都畀數學家 攞嚟做數學基礎 (foundations of mathematics)⸺即係用嚟了解數學係乜嘅學說⸺所以係一個好重要嘅理論。世界各地嘅大學嘅數學系基本上一定會教呢個理論,而且佢亦都有好多數學家研究[1] 。
一個典型嘅温氏圖(Venn diagram);佢顯示咗兩個集合(set)之間嘅交集。 集合 (set;以下簡稱做「集」)呢個概念喺數學入面出現得好密。一個「集」簡單啲講就係指「一柞嘢」⸺而呢柞嘢通常係有某啲啦掕所以先畀人擺埋一齊,例如係下面呢個集咁:
{ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , … } {\displaystyle \{1,3,5,7,9,\ldots \}}
呢個集嘅定義 (definition)可以係「所有單數 嘅集」(the set of all odd numbers)⸺一個集可以包含任何嘢:數字、物件、或者抽象概念呀咁;一個集嘅元素 (element)可以係根據某個定義湊埋一齊嘅(好似係頭先嗰個例子咁),但係亦都可以係夾硬擺埋一齊、冇乜規律嘅。透過研究唔同集嘅數學特質,數學家發現佢哋可以精確又唔循環 (circular)咁定義數字同加減乘除呢啲基本嘅數學概念[2] ⸺呢點對於下下都講究系統性嘅數學嚟講好緊要。
定義 集(set)係一嚿包括一堆符合條件嘅元素嘅嘢。可以將佢諗成環保分類係既黃、藍、啡嘅桶。
元素(elements)係集入面嘅嘢,多數會叫佢做一個集入面嘅一粒嘢。用返上面既比喻,元素就係放入桶入面嘅垃圾。
黃桶入面裝嘅係鋁製品嘅,入面嘅垃圾一定係鋁製。同一道理,一個集入面嘅元素一定符合嘅條件。
常見嘅集 自然數 : N := { 1 , 2 , 3 , 4 , … } {\displaystyle \mathbb {N} :=\{1,2,3,4,\ldots \}} ,有啲數學家會將零包括埋入自然數呢個集入面。整數 : Z := { … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , … } = { 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , … } {\displaystyle \mathbb {Z} :=\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots \}} 。由整數出嚟,可以有一個叫正整數嘅集。 Z + := { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , … } {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}:=\{0,1,2,3,4,\ldots \}} 。有理數 : Q := { a b | a , b ∈ Z ∧ b ≠ 0 } {\displaystyle \mathbb {Q} :=\{{\frac {a}{b}}|a,b\in \mathbb {Z} \land b\neq 0\}} 實數 : R := Q ∪ { {\displaystyle \mathbb {R} :=\mathbb {Q} \cup \{} 所有無理數 } {\displaystyle \}} 複數 : C := { a + b i | a , b ∈ R , i = − 1 } {\displaystyle \mathbb {C} :=\{a+bi|a,b\in \mathbb {R} ,i={\sqrt {-1}}\}} 空集 一個入面無元素嘅集係叫空集 (empty set)。
空集可以想像成為一個入面無嘢嘅紙袋,咁呢個袋就係一個空袋。對應就係空集。
空集集 空集集 (set of empty set)就係一個集,入面裝住一個空嘅集,即係 { ∅ } {\displaystyle \{\varnothing \}} 。咁空集就係呢個集嘅元素, ∅ ∈ { ∅ } {\displaystyle \varnothing \in \{\varnothing \}} 。注意:唔可以寫成 ∅ ∈ ∅ {\displaystyle \varnothing \in \varnothing } 。
可以幻想成,一個袋入面裝住一個袋,而入面個袋係無袋任何嘢。
相等集 如果有兩個集 X {\displaystyle X} 同 Y {\displaystyle Y} ,佢哋係相等(equal) ,即係話兩個集都有相同嘅元素。即係話,呢兩個袋入面裝住嘅嘢係一樣。
一般會以 X = Y {\displaystyle X=Y} 表示相等, X ≠ Y {\displaystyle X\neq Y} 表示唔相等。
例子 { 5 , 6 , 7 } = { 7 , 5 , 6 } {\displaystyle \{5,6,7\}=\{7,5,6\}} { 1 , 2 , 3 } ≠ { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2,3\}\neq \{1,2\}} { ∅ } ≠ ∅ {\displaystyle \{\varnothing \}\neq \varnothing } { { 2 } , 4 } ≠ { 2 , 4 } {\displaystyle \{\{2\},4\}\neq \{2,4\}} R ≠ N {\displaystyle \mathbb {R} \neq \mathbb {N} } 2 N = { 0 , ± 2 , ± 4 , ⋯ } {\displaystyle 2\mathbb {N} =\{0,\pm 2,\pm 4,\cdots \}} 有限集 如果集 X {\displaystyle X} 入面嘅元素係有限數量嘅話,咁 X {\displaystyle X} 就係叫有限集 (finite set)。而 X {\displaystyle X} 入面嘅元素數量就叫基數 (cardinality)。
基數一般會以 | X | {\displaystyle |X|} 嚟表示 X {\displaystyle X} 嘅基數。
例子 { ∅ , 1 , 2 } {\displaystyle \{\varnothing ,1,2\}} 嘅基數係 3 {\displaystyle 3} 。 { ∅ , 1 , { 4 , 2 } } {\displaystyle \{\varnothing ,1,\{4,2\}\}} 嘅基數都係 3 {\displaystyle 3} 。定義集 做數學基礎 睇埋 攷