Эквівалентнасць масы і энергіі

Гістарычна прынцып эквівалентнасці масы і энергіі быў упершыню сфармулёван у сваёй канчатковай форме пры пабудове спецыяльнае тэорыі адноснасці Альбертам Эйнштэйнам. Ён паказаў, што для свабодна рушачай часціцы, а таксама свабоднага цела і ўвогуле любой замкнёнай сістэмы часціц, справядлівы наступныя суадносіны^[12]:

${\displaystyle \ E^{2}-{\vec {p}}^{\,2}c^{2}=m^{2}c^{4},\qquad {\vec {p}}={\frac {E{\vec {v}}}{c^{2}}},}$

дзе ${\displaystyle E}$ , ${\displaystyle {\vec {p}}}$ , ${\displaystyle {\vec {v}}}$ , ${\displaystyle m}$ — энергія, імпульс, хуткасць і інварыянтная маса сістэмы ці часціцы, адпаведна, ${\displaystyle c}$ — хуткасць святла ў вакууме. З гэтых выразаў відаць, што ў рэлятывісцкай механіцы, нават калі хуткасць і імпульс цела (масіўнага аб'екта) становяцца нулявымі, яго энергія застаецца ненулявою^[13], застаючыся роўнаю некаторай велічыні, якая вызначаецца масай цела:

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}.}$

Гэта велічыня называецца энергіяй спакою,^[14] і гэты выраз устанаўлівае эквівалентнасць масы цела гэтай энергіі. На аснове гэтага факта Эйнштэйн зрабіў вывад, што маса цела з'яўляецца адною з форм энергіі^[3], і што тым самым законы захавання масы і энергіі аб'яднаны ў адзін закон захавання^[15].

Энергія і імпульс цела з'яўляюцца кампанентамі 4-вектара энергіі-імпульсу (чатырохімпульсу)^[16] (энергія — часавай, імпульс — прасторавымі) і адпаведным чынам пераўтвараюцца пры пераходзе з аднае сістэмы адліку ў другую, а маса цела з'яўляецца лорэнц-інварыянтам, астаючыся пры пераходзе ў іншыя сістэмы адліку нязменнай, і мае сэнс модуля вектара чатырохімпульсу.

Варта таксама адзначыць, што няглядзячы на тое, што энергія і імпульс часціц адытыўныя^[17], г. зн. для сістэмы часціц маем:

${\displaystyle \ E=\sum _{i}E_{i}\,,\qquad {\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\,,}$

маса часціц адытыўнаю не з'яўляецца,^[12] г. зн. маса сістэмы часціц, у агульным выпадку, не роўная суме мас часціц, з якіх яна складаецца.

Такім чынам, энергія (неінварыянтная, адытыўная, часавая кампанента чатырохімпульсу) і маса (інварыянтны, неадытыўны модуль чатырохімпульсу) — гэта дзве розныя фізічныя велічыні.^[7]

Эквівалентнасць інварыянтнай масы і энергіі спакою азначае, што ў сістэме адліку, у якой свабоднае цела знаходзіцца ў спакоі (уласнай), яго энергія (з дакладнасцю да множніка ${\displaystyle \!c^{2}}$ ) роўная яго інварыянтнай масе.^[7][18]

Чатырохімпульс ровен здабытку інварыянтнай масы на 4-хуткасць цела.

${\displaystyle p^{\mu }=m\,U^{\mu }\!,}$

У спецыяльнай тэорыі адноснасці гэтыя суадносіны з'яўляюцца адпаведнікам класічнага азначэння імпульсу праз масу і хуткасць.

Пасля таго, як Эйнштэйн прапанаваў прынцып эквівалентнасці масы і энергіі, стала відавочна, што паняцце масы можа вытлумачвацца дваяка. З аднаго боку, гэта інварыянтная маса, якая — іменна дзякуючы інварыянтасці — супадае з той масай, што фігуруе ў класічнай фізіцы, з другога — можна ўвесці так званую рэлятывісцкую масу, эквівалентную поўнай (уключаючы кінетычную) энергіі фізічнага аб'екта^[4]:

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {E}{c^{2}}},}$ .

дзе ${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }}$ — рэлятывісцкая маса, ${\displaystyle E}$ — поўная энергія аб'екта.

Для масіўнага аб'екта (цела) гэтыя дзве масы звязаны між сабою суадносінамі:

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$

дзе ${\displaystyle m}$ — інварыянтная («класічная») маса, ${\displaystyle v}$ — хуткасць цела.

Энергія і рэлятывісцкая маса — гэта адна і тая ж фізічная велічыня (неінварыянтная, адытыўная, часавая кампанента чатырохімпульсу).^[7]

Эквівалентнасць рэлятывісцкай масы і энергіі азначае, што ва ўсіх сістэмах адліку энергія фізічнага аб'екта (з дакладнасцю да множніка ${\displaystyle \!c^{2}}$ ) роўная яго рэлятывісцкай масе.^[7][19]

Уведзеная такім чынам рэлятывісцкая маса з'яўляецца каэфіцыентам прапарцыянальнасці паміж трохмерным («класічным») імпульсам і хуткасцю цела^[4]:

${\displaystyle {\vec {p}}=m_{\mathrm {rel} }{\vec {v}}.}$

Аналагічныя суадносіны выконваюцца ў класічнай фізіцы для інварыянтнай масы, што таксама прыводзіцца як аргумент на карысць увядзення паняцця рэлятывісцкай масы. Гэта ў далейшым прывяло к тэзісу, што маса цела залежыць ад хуткасці яго руху.^[20]

У працэсе стварэння тэорыі адноснасці абмяркоўваліся паняцці падоўжнай і папярочнай масы масіўнай часціцы (цела). Няхай сіла, што дзейнічае на цела, роўная скорасці змянення рэлятывісцкага імпульсу. Тады сувязь сілы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ і паскарэння ${\displaystyle {\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt}$ істотна змяняецца ў параўнанні з класічнаю механікаю:

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {m{\vec {a}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m{\vec {v}}\cdot ({\vec {v}}{\vec {a}})/c^{2}}{(1-v^{2}/c^{2})^{3/2}}}.}$

Калі хуткасць перпендыкулярная сіле, то

${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}},}$

а калі паралельная, то

${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma ^{3}{\vec {a}},}$

дзе ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ — рэлятывісцкі множнік. Таму ${\displaystyle m\gamma =m_{\mathrm {rel} }}$ называюць папярочнаю масаю, а ${\displaystyle m\gamma ^{3}}$ — падоўжнаю.

Сцвярджэнне, што маса залежыць ад хуткасці, увайшло ў многія вучэбныя курсы і дзякуючы сваёй парадаксальнасці стала шырока вядомым сярод неспецыялістаў. Аднак у сучаснай фізіцы пазбягаюць выкарыстоўваць тэрмін «рэлятывісцкая маса», ужываючы замест яго паняцце энергіі, а пад тэрмінам «маса» разумеюць інварыянтную масу (спакою). Сярод іншага, выдзяляюцца наступныя недахопы ўвядзення тэрміна «рэлятывісцкая маса»^[8]:

• неінварыянтнасць рэлятывісцкай масы адносна пераўтварэнняў Лорэнца;
• сінанімічнасць паняццяў энергія і рэлятывісцкая маса, у выніку чаго новы тэрмін аказваецца лішнім;
• наяўнасць розных па велічыні падоўжнай і папярочнай рэлятывісцкіх мас і немагчымасць лаканічнага запісу аналага другога закону Ньютана ў відзе

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}};}$

• метадалагічныя складанасці выкладання спецыяльнай тэорыі адноснасці, наяўнасць спецыяльных правіл, калі і як трэба карыстацца паняццем «рэлятывісцкая маса», каб пазбягаць памылак;
• блытаніна ў тэрмінах «маса», «маса спакою» і «рэлятывісцкая маса»: частка крыніц проста масай называе адно, частка — другое.

Нягледзячы на названыя недахопы, паняцце рэлятывісцкай масы ўжываецца і ў вучэбнай,^[21] і ў навуковай літаратуры. Варта, праўда, адзначыць, што ў навуковых артыкулах паняцце рэлятывісцкай масы выкарыстоўваецца пераважна толькі пры якасных разважаннях як сінонім павелічэння інертнасці часціцы, рушачай з калясветлавою хуткасцю.

У класічнай фізіцы гравітацыйнае ўзаемадзеянне апісваецца законам сусветнага прыцягнення Ньютана, і яго велічыня вызначаецца гравітацыйнай масай цела^[22], якая з высокай ступенню дакладнасці роўная па велічыні інертнай масе, пра якую ішла гаворка вышэй, што дазваляе казаць проста пра масу цела^[23].

У рэлятывісцкай фізіцы гравітацыя падпарадкоўваецца законам агульнай тэорыі адноснасці, у аснове якой ляжыць прынцып эквівалентнасці, які заключаецца ў тым, што нельга адрозніць з'явы, якія адбываюцца лакальна ў гравітацыйным полі, ад аналагічных з'яў у неінерцыяльнай сістэме адліку, рушачай з паскарэннем, роўным паскарэнню свабоднага падзення ў гравітацыйным полі. Можна паказаць, што гэты прынцып эквівалентны сцвярджэнню аб роўнасці інертнай і гравітацыйнай мас^[24].

У агульнай тэорыі адноснасці энергія іграе тую ж ролю, што і гравітацыйная маса ў класічнай тэорыі. Сапраўды, велічыня гравітацыйнага ўзаемадзеяння ў гэтай тэорыі вызначаецца так званым тэнзарам энергіі-імпульсу, які абагульняе паняцце энергіі^[25].

У найпрасцейшым выпадку кропкавай часціцы ў цэнтральна-сіметрычным гравітацыйным полі аб'екта, маса якога намнога большая за масу часціцы, сіла, што дзейнічае на часціцу, вызначаецца выразам^[8]:

${\displaystyle {\vec {F}}=-GM{\frac {E}{c^{2}}}{\frac {(1+\beta ^{2}){\vec {r}}-({\vec {r}}{\vec {\beta }}){\vec {\beta }}}{r^{3}}},}$

дзе G — гравітацыйная пастаянная, M — маса цяжкага аб'екта, E — поўная энергія часціцы, ${\displaystyle \beta =v/c,}$ v — хуткасць часціцы, ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радыус-вектар, праведзены з цэнтра цяжкага аб'екта ў пункт знаходжання часціцы. З гэтага выразу відаць галоўная асаблівасць гравітацыйнага ўзаемадзеяння ў рэлятывісцкім выпадку ў параўнанні з класічнай фізікай: яно залежыць не толькі ад масы часціцы, але і ад велічыні і напрамку яе хуткасці. Апошняя акалічнасць, сярод іншага, не дазваляе ўвесці адназначным чынам нейкую эфектыўную гравітацыйную рэлятывісцкую масу, якая зводзіла б закон прыцягнення да класічнага выгляду^[8].

Важным гранічным выпадкам з'яўляецца выпадак часціцы з масаю, роўнаю нулю. Прыкладам такой часціцы з'яўляецца фатон — часціца-пераносчык электрамагнітнага ўзаемадзеяння^[26]. З прыведзеных вышэй формул вынікае, што для такой часціцы справядлівы наступныя суадносіны:

${\displaystyle E=pc,\qquad v=c.}$

Такім чынам, часціца з нулявою масаю незалежна ад сваёй энергіі заўсёды рухаецца з хуткасцю святла. Для бязмасавых часціц увядзенне паняцця «рэлятывісцкай масы» асабліва недарэчнае, бо, напрыклад, пры наяўнасці сілы ў падоўжным напрамку хуткасць часціцы пастаянная, і паскарэнне, у выніку, роўнае нулю, што патрабуе бесканечнай па велічыні эфектыўнай масы цела. У той жа час, наяўнасць папярочнай сілы прыводзіць да змянення напрамку хуткасці, і, такім чынам, «папярочная маса» фатона мае канечную велічыню.

Гэтак жа бяссэнсава для фатона ўводзіць эфектыўную гравітацыйную масу. У выпадку цэнтральна-сіметрычнага поля, разгледжанага вышэй, для фатона, падаючага вертыкальна ўніз, яна будзе роўная ${\displaystyle E/c^{2}}$ , а для фатона, што ляціць перпендыкулярна напрамку на гравітацыйны цэнтр, — ${\displaystyle 2E/c^{2}}$ ^[8].

Атрыманая А. Эйнштэйнам эквівалентнасць масы цела назапашанай у целе энергіі стала адным з галоўных практычна важных вынікаў спецыяльнай тэорыі адноснасці. Суадносіны ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ паказалі, што ў рэчыве ўтрымліваюцца велізарныя (дзякуючы квадрату хуткасці святла) запасы энергіі, якія можна выкарыстоўваць у энергетыцы і ваенных тэхналогіях^[28].

Колькасныя суадносіны паміж масай і энергіяй

У міжнароднай сістэме адзінак СІ адносіна энергіі і масы E / m выражаецца ў джоўлях на кілаграм, і яна лікава роўная квадрату значэння хуткасці святла c ў метрах у секунду:

E / m = c² = (299 792 458 м/с)² = 89 875 517 873 681 764 Дж/кг (≈9,0×10¹⁶ джоўляў на кілаграм).

Такім чынам, 1 грам масы эквівалентны наступным значэнням энергіі:

• 89,9 тэраджоўляў (89,9 ТДж)
• 25,0 мільёнаў кілават-гадзін (25 ГВт·г),
• 21,5 мільярдаў кілакалорый (≈21 Ткал),
• 21,5 кілатон у тратылавым эквіваленце (≈21 кт).

У ядзернай фізіцы часта прымяняецца значэнне адносіны энергіі і масы, выражанае ў мегаэлектронвольтах на атамную адзінку масы — ≈931,494 МэВ/а.а.м.

Прыклады ўзаемаператварэння энергіі спакою і кінетычнай энергіі

Энергія спакою можа пераходзіць у кінетычную энергію часціц у выніку ядзерных і хімічных рэакцый, калі ў іх маса рэчыва, што ўступіла ў рэакцыю, большая за масу рэчыва, атрыманага ў выніку. Прыкладамі такіх рэакцый з'яўляюцца^[8]:

• Анігіляцыя пары часціца-антычасціца з утварэннем двух фатонаў. Напрыклад, пры анігіляцыі электрона і пазітрона ўтвараецца два гама-кванты, і энергія спакою пары поўнасцю пераходзіць у энергію фатонаў:

${\displaystyle e^{-}+e^{+}\rightarrow 2\gamma .}$

• Тэрмаядзерная рэакцыя сінтэзу атама гелію з пратонаў і электронаў, у якой рознасць мас гелію і пратонаў пераўтвараецца ў кінетычную энергію гелію і энергію электронных нейтрына

${\displaystyle 2e^{-}+4p^{+}\rightarrow {}_{2}^{4}\mathrm {He} +2\nu _{e}+E_{\mathrm {kin} }.}$

• Рэакцыя дзялення ядра ўрану-235 пры сутыкненні з павольным нейтронам. Пры гэтым ядро дзеліцца на два асколкі з меншаю сумарнаю масаю з выпусканнем двух ці трох нейтронаў і выдзяленнем энергіі парадку 200 МэВ, што складае прыкладна 1 працэнт ад масы атама ўрану. Прыклад такой рэакцыі:

${\displaystyle {}_{92}^{235}\mathrm {U} +{}_{0}^{1}n\rightarrow {}_{36}^{93}\mathrm {Kr} +{}_{56}^{140}\mathrm {Ba} +3~{}_{0}^{1}n.}$

• Рэакцыя гарэння метану:

${\displaystyle \mathrm {CH} _{4}+2\mathrm {O} _{2}\rightarrow \mathrm {CO} _{2}+2\mathrm {H} _{2}\mathrm {O} .}$

У гэтай рэакцыі выдзяляецца прыкладна 35,6 МДж цеплавой энергіі на кубічны метр метану, што складае прыкладна 10⁻¹⁰ ад яго энергіі спакою. Такім чынам, у хімічных рэакцыях пераўтварэнне энергіі спакою ў кінетычную энергію значна ніжэйшае, чым у ядзерных.

Важна адзначыць, што ў практычных прымяненнях ператварэнне энергіі спакою ў энергію выпраменьвання рэдка адбываецца са стопрацэнтнаю эфектыўнасцю. Тэарэтычна поўным ператварэннем было б сутыкненне матэрыі з антыматэрыяй, аднак у большасці выпадкаў замест выпраменьвання ўзнікаюць пабочныя прадукты і ў выніку гэтага толькі вельмі малая колькасць энергіі спакою ператвараецца ў энергію выпраменьвання.

Існуюць таксама адваротныя працэсы, якія павялічваюць энергію спакою, а значыць і масу. Напрыклад, пры награванні цела павялічваецца яго ўнутраная энергія, у выніку чаго ўзрастае маса цела. Іншы прыклад — сутыкненне часціц. У падобных рэакцыях могуць нараджацца новыя часціцы з масамі, істотна большымі, чым у зыходных. «Крыніцаю» масы такіх часціц з'яўляецца кінетычная энергія сутыкнення.

Уяўленне аб масе, якая залежыць ад хуткасці, і аб існаванні сувязі паміж масай і энергіяй пачало фарміравацца яшчэ да з'яўлення спецыяльнай тэорыі адноснасці. Сярод іншага, у спробах узгадніць ураўненні Максвела з ураўненнямі класічнай механікі некаторыя ідеі былі прапанаваны ў артыкулах М. А. Умава, Дж. Дж. Томсана, О. Хэвісайда, Дж. Сірла  (англ.) (бел., М. Абрахама, Х. Лорэнца і А. Пуанкарэ^[11]. Аднак толькі ў А. Эйнштэйна гэта залежнасць універсальная, не звязана з эфірам і не абмежавана электрадынамікай^[29].

Лічыцца, што ўпершыню спроба звязаць масу і энергію была зроблена ў працы Дж. Дж. Томсана, якая з'явілася ў 1881 годзе^[8]. Томсан у сваёй працы ўводзіць паняцце электрамагнітнай масы, называючы так уклад у інертную масу зараджанага цела, абумоўлены электрамагнітным полем гэтага цела^[30].

Ідэя наяўнасці інерцыі ў электрамагнітнага поля прысутнічае таксама і ў працы О. Хэвісайда, выдадзенай у 1889 годзе^[31]. Знойдзеныя ў 1949 годзе чарнавікі яго рукапісу паказваюць, што недзе ў гэты ж час, разглядаючы задачу аб паглынанні і выпраменьванні святла, ён атрымлівае суадносіны паміж масай і энергіяй цела ў выглядзе ${\displaystyle E=mc^{2}}$ ^[32][33].

У 1900 годзе А. Пуанкарэ апублікаваў працу, у якой прыйшоў к вываду, што святло як пераносчык энергіі павінна мець масу, вызначаную выразам ${\displaystyle E/v^{2},}$ дзе E — энергія святла, v — хуткасць пераносу энергіі^[34].

У працах М. Абрахама (1902 год) і Х. Лорэнца (1904 год) было ўпершыню ўстаноўлена, што, увогуле кажучы, для рушачага цела нельга ўвесці адзін каэфіцыент прапарцыянальнасці паміж яго паскарэннем і дзеючай на яго сілай. Імі былі ўведзены паняцці падоўжнай і папярочнай мас, прымененыя для апісання дынамікі часціцы, рушачай з калясветлавой хуткасцю, з дапамогаю другога закону Ньютана^[35][36]. Так, Лорэнц у сваёй працы пісаў^[37]:

Эксперыментальна залежнасць інертных уласцівасцей цел ад іх хуткасці была паказана ў пачатку XX стагоддзя ў працах В. Кауфмана (1902 год)^[38] и А. Бухерэра  (англ.) (бел. (1908 год)^[39].

У 1904—1905 гадах Ф. Хазэнорль  (англ.) (бел. у сваёй працы прыходзіць к вываду, што наяўнасць у поласці выпраменьвання праяўляецца ў тым ліку і так, нібы маса поласці павялічылася^[40][41].

У 1905 годзе з'яўляецца адразу цэлы шэраг асноватворных прац А. Эйнштэйна, у тым ліку і праца, прысвечаная аналізу залежнасці інертных уласцівасцей цела ад яго энергіі^[42]. Сярод іншага, пры разглядзе выпускання масіўным целам дзвюх «колькасцей святла» ў гэтай працы ўпершыню ўводзіцца паняцце энергіі нерухомага цела і робіцца наступны вывад^[43]:

У 1906 годзе Эйнштэйн упершыню гаворыць аб тым, што закон захавання масы з'яўляецца ўсяго толькі асобным выпадкам закону захавання энергіі^[44].

У больш поўнай меры прынцып эквівалентнасці масы і энергіі быў сфармулёван Эйнштэйнам у працы 1907 года^[45], у якой ён піша

Пад спрашчаючым дапушчэннем тут маецца на ўвазе выбар адвольнай пастаяннай у выразе для энергіі. У больш падрабязным артыкуле, які выйшаў у тым жа годзе^[3], Эйнштэйн заўважае, што энергія з'яўляецца таксама і мерай гравітацыйнага ўзаемадзеяння цел.

У 1911 годзе выходзіць праца Эйнштэйна, прысвечаная гравітацыйнаму ўздзеянню масіўных цел на святло^[46]. У гэтай працы Эйнштэйн прыпісаў фатону інертную і гравітацыйную масу, роўную ${\displaystyle E/c^{2}}$ , і вывеў для велічыні адхілення светлавога праменя ў полі прыцягнення Сонца значэнне 0,83 дугавой секунды, што ў два разы менш за правільнае значэнне, атрыманае ім жа пазней на аснове развітай агульнай тэорыі адноснасці^[47]. Цікава, што тое ж самае палавіннае значэнне атрымаў І. фон Зольднер  (англ.) (бел. яшчэ ў 1804 годзе, але яго праца засталася незаўважанаю^[48].

Эксперыментальна эквівалентнасць масы і энергіі была ўпершыню наглядна паказана ў 1933 годзе. У Парыжы Ірэн і Фрэдэрык Жаліё-Кюры зрабілі фотаздымак працэсу ператварэння кванта святла, пераносчыка энергіі, у дзве часціцы з ненулявою масаю. Прыблізна ў той жа час у Кембрыджы Джон Кокрафт і Эрнест Томас Сінтан Уолтан назіралі выдзяленне энергіі пры дзяленні атама на дзве часткі, сумарная маса якіх аказалася меншаю, чым маса зыходнага атама^[49].

З моманту адкрыцця формула ${\displaystyle E=mc^{2}}$ стала адною з самых вядомых фізічных формул і з'яўляецца сімвалам тэорыі адноснасці. Нягледзячы на тое, што гістарычна формула была ўпершыню прапанавана не Альбертам Эйнштэйнам, цяпер яна звязваецца выключна з яго іменем, напрыклад, іменна гэта формула была выкарыстана ў якасці назвы выпушчанай у 2005 годзе тэлевізійнай біяграфіі вядомага вучонага^[50]. Вядомасці формулы садзейнічала шырока выкарыстанае папулярызатарамі навукі контрінтуітыўнае заключэнне, што маса цела павялічваецца з павелічэннем яго хуткасці. Акрамя таго, з гэтай жа формулай звязваецца магутнасць ядзернай энергіі^[11]. Так, у 1946 годзе часопіс «Time» на вокладцы адлюстраваў Эйнштэйна на фоне грыба ядзернага выбуху з формулай ${\displaystyle E=mc^{2}}$ на ім^[51][52].

• 
  Бюст Эйнштэйна ў аўстралійскім Цэнтры навукі і тэхнікі Квестакон (англ.)
• 
  «Тэорыя адноснасці», адна з шасці скульптур у ансамблі Walk of Ideas  (ням.) (бел. у Берліне

• Энергія сувязі
• Дэфект масы
• Прынцып эквівалентнасці сіл гравітацыі і інерцыі
• Прынцып адноснасці Эйнштэйна

• Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. — М.: Прогресс, 1967. — 255 с.

• Okun L. B. Energy and mass in relativistic theory. — World Scientific, 2009. — 311 с.

• Кудрявцев П. С. Глава третья. Решение проблемы электродинамики движущихся сред // История физики. Т. III От открытия квант до квантовой механики. — М.: Просвещение, 1971. — С. 36—57. — 424 с. — 23 000 экз.

	Формула Эйнштэйна на Вікісховішчы

• Einstein Explains the Equivalence of Energy and Matter (англ.). Амерыканскі інстытут фізікі. — Аўдыёзапіс лекцыі Альберта Эйнштэйна, у якой ён тлумачыць прынцып эквівалентнасці масы і энергіі. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 19 жніўня 2010.
• The Antimatter Calculator (англ.)(недаступная спасылка). Edward Muller's Homepage. — Калькулятар антыматэрыі. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 31 студзеня 2011.
• Старонка рукапісу Эйнштэйна 1912 года з ураўненнем E=mc² (англ.)(недаступная спасылка). Symmetry Magazine. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 31 студзеня 2011.