Força centrípeta

La magnitud de la força centrípeta en un objecte de massa m que es mou a una velocitat tangencial v en una trajectòria amb un radi de curvatura r és:^[4]

${\displaystyle F=ma_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}}$

on ${\displaystyle a_{c}}$ és l'acceleració centrípeta.

La direcció de la força és cap al centre del cercle en què es mou l'objecte, o la circumferència osculadora (el cercle que millor encaixa amb la trajectòria local de l'objecte, si la trajectòria no és circular).^[5]La velocitat a la fórmula està elevada al quadrat, així que el doble de velocitat requereix quatre cops la força. La relació inversa amb el radi de curvatura mostra que la meitat de la distància radial necessita el doble de força. Aquesta força de vegades s'escriu en termes de la velocitat angular ω de l'objecte al voltant del cercle, relacionada amb la velocitat tangencial a través de la fórmula

${\displaystyle v=\omega r}$

pel qual

${\displaystyle F=mr\omega ^{2}\,.}$

Expressada amb el període orbital T per una volta al cercle,

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}\,}$

l'equació esdevé

${\displaystyle F=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}.}$ ^[6]

En acceleradors de partícules, les velocitats poden ser properes a la velocitat de la llum al buit, així que la mateixa massa en repòs exerceix ara una major inèrcia (massa relativística) i per tant necessita una força superior per aconseguir la mateixa acceleració centrípeta, pel que l'equació esdevé:

${\displaystyle F={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}}$

on

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

s'anomena factor de Lorentz.

De forma més intuïtiva:

${\displaystyle F=\gamma mv\omega }$

que indica com canvia el moment lineal relativista (${\displaystyle \gamma mv}$ )

• Acceleració centrípeta
• Força centrífuga