কেন্দ্রমুখী বল

${\displaystyle r}$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার পথে ${\displaystyle v}$ স্পর্শকীয় দ্রুতিতে চলমান ${\displaystyle m}$ ভরের একটি বস্তুর উপর প্রযুক্ত বলের মান:^[৬]

${\displaystyle F_{c}=ma_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}}$

${\displaystyle a_{c}={\frac {v}{t}}{\hat {r}}={\frac {r\omega }{t}}{\hat {r}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}}$

যেখানে ${\displaystyle a_{c}}$ কেন্দ্রমুখী ত্বরণ । যে বৃত্তে বস্তুটি চলমান সেই বৃত্ত বা দোলক বৃত্তের (যে বৃত্তটি চলমান বস্তুর পথের সবচেয়ে উপযুক্ত, যদি পথটি বৃত্তাকার না হয়) কেন্দ্রের দিকে এই বলের দিক।^[৭] সূত্রে গতি বর্গযুক্ত, সুতরাং দ্বিগুণ গতির জন্য চারগুণ বলের প্রয়োজন। ব্যাসার্ধের সাথে বিপরীত সম্পর্কটি থেকে দেখা যায় যে ব্যাসার্ধের অর্ধেক হলে দ্বিগুণ বলের প্রয়োজন। এই বলকে কখনও কখনও নিচের সূত্র দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্র বিষয়ে স্পর্শিনী বেগ এর সাথে সম্পর্কিত বস্তুর কৌণিক বেগ ω হিসেবেও লেখা হয়,

${\displaystyle v=\omega r}$

ফলে,

${\displaystyle F_{c}=mr\omega ^{2}\,.}$

বৃত্তের একক ঘুর্ণনের জন্য কক্ষপথের পর্যায়কাল T কে প্রকাশ করা হয়,

${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}\,}$

এখন সমীকরণটি দাড়ায়,^[৮]

${\displaystyle F_{c}=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}}$

কণার ত্বরণের ক্ষেত্রে বেগ খুব বেশি হতে পারে (শুণ্যস্থানে আলোর বেগের কাছাকাছি) তাই একই স্থির ভর এখন বেশি জড়তা (আপেক্ষিক ভর) সৃষ্টি করে যার ফলে একই কেন্দ্রমিখী ত্বরণের জন্য আরও বেশি বলের প্রয়োজন হয়, সুতরাং আপেক্ষিক সমীকরণটি দাড়ায়:^[৯]

${\displaystyle F_{c}={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}}$

যেখানে

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

${\displaystyle \gamma }$ লোরেন্টজ ফ্যাক্টর।

এভাবে কেন্দ্রমুখী বলকে লেখা যায়:

${\displaystyle F_{c}=\gamma mv\omega }$

যা আপেক্ষিক ভরবেগ পরিবর্তনের হার ${\displaystyle \gamma mv}$ ।

আনুভূমিকতলে দড়ির শেষের দিকে ঘুরতে থাকা কোনও বস্তুর ক্ষেত্রে, বস্তুর উপরে কেন্দ্রমুখী বল দড়ির টান দ্বারা যোগান-দেওয়া হয়। দড়ির উদাহরণ 'টান' বল জড়িত একটি উদাহরণ। কেন্দ্রমুখী বলকে 'ধাক্কা' বল হিসাবেও সরবরাহ করা যেতে পারে, যেমন: মৃত্যুকূপ মোটরসাইকেল বা কার খেলায় কূপের দেয়াল যে স্বাভাবিক প্রতিক্রিয়া দেখায় তাও কেন্দ্রমুখী বল।

কেন্দ্রমুখী বল সম্পর্কে নিউটনের ধারণার সাথে মিল রয়েছে যা বর্তমানে কেন্দ্রিক বল হিসাবে পরিচিত। কোনও কৃত্রিম উপগ্রহ যখন কোনও গ্রহের চারদিকে কক্ষপথে ঘুরতে থাকে তখন মহাকর্ষকে কেন্দ্রবিমুখী বল হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং উৎকেন্দ্রিক কক্ষপথের ক্ষেত্রেও, মহাকর্ষ বল উপকেন্দ্রের দিকে পরিচালিত হয় কিন্তু বক্রাতার তাৎক্ষণিক কেন্দ্রের দিকে নয়।^[১০]

কেন্দ্রবিমুখী বলের আরেকটি উদাহরণ হেলিক্সে উদ্ভূত হয় যা যখন চার্জযুক্ত কণা বাহ্যিক বলের অনুপস্থিতিতে সুষম চৌম্বক ক্ষেত্রে চলে। এই ক্ষেত্রে চুম্বক বলই কেন্দ্রমুখী বল যা হেলিক্স অক্ষের দিকে ক্রিয়া করে।

নীচে গতিবেগ এবং ত্বরণ সম্পর্কিত সূত্রের প্রতিপাদনসহ ক্রমবর্ধমান জটিলতার তিনটি উদাহরণ দেওয়া হলো।

সুষম বৃত্তীয় গতি

সুষম বৃত্তাকার গতি আবর্তনের হার স্থির থাকা বোঝায়। এ অবস্থা এখানে দুটি উপায়ে বর্ণনা করা রয়েছে।

ক্যালকুলাস প্রতিপাদন

দ্বিমাত্রিক ব্যবস্থায়, অবস্থান ভেক্টর ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ , যার বিস্তার (দৈর্ঘ্য) ${\displaystyle r}$ এবং ${\displaystyle \theta }$ কোণে ${\displaystyle x}$ অক্ষের উপরে নির্দেশিত, ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ও ${\displaystyle {\hat {y}}}$ একক ভেক্টর ব্যবহার করে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে নিম্নরুপে প্রকাশ করা যায়:^[১১]

${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\theta ){\hat {x}}+r\sin(\theta ){\hat {y}}.}$

সুষম বৃত্তাকার গতি ধরে রাখতে তিনটি জিনিস প্রয়োজন।

1. বস্তুটি কেবল একটি বৃত্তে চলে।
2. বৃত্তের ব্যাসার্ধ ${\displaystyle r}$ সময়ে অপরিবর্তিত থাকে।
3. বস্তুটি ${\displaystyle \omega }$ সমকৌণিক বেগে বৃত্তের চারপাশে ঘুরতে থাকে। অতএব ${\displaystyle \theta =\omega t}$ যেখানে ${\displaystyle t}$ সময় অতিবাহিত প্রকাশ করে,

সময়ের সাথে অবস্থানের ব্যবকলন করে বেগ ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ এবং ত্বরণ ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ বের করে পাই,

${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\omega t){\hat {x}}+r\sin(\omega t){\hat {y}}}$

${\displaystyle {\dot {\textbf {r}}}={\textbf {v}}=-r\omega \sin(\omega t){\hat {x}}+r\omega \cos(\omega t){\hat {y}}}$

${\displaystyle {\ddot {\textbf {r}}}={\textbf {a}}=-r\omega ^{2}\cos(\omega t){\hat {x}}-r\omega ^{2}\sin(\omega t){\hat {y}}}$

${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}(r\cos(\omega t){\hat {x}}+r\sin(\omega t){\hat {y}})}$

লক্ষ্য করুন, প্রথম বন্ধনী আবদ্ধ অংশটুকু কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ এর সমতুল্য। অতএব,

${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}{\textbf {r}}.}$

ঋণাত্মক চিহ্ন বুঝায় যে ত্বরণ বৃত্তের কেন্দ্রের দিকে অর্থাৎ ব্যাসার্ধের বিপরীত দিকে, সুতরাং একে "কেন্দ্রমুখী" অর্থাৎ "কেন্দ্র-সন্ধানকারী" বলে। যেরুপ বস্তু স্বাভাবিকভাবে জড়তার কারণে একটি সরল পথে চলতে বাধ্য, সেইরুপ এই কেন্দ্রমুখী ত্বরণ যা একটি কেন্দ্রমুখী বল দ্বারা সৃষ্ট তা বস্তুকে বৃত্তাকার পথে চলতে বাধ্য করে।

ভেক্টর ব্যবহার করে প্রতিপাদন

ডানদিকের চিত্রটি সুষম বৃত্তীয় গতির জন্য ভেক্টর সম্পর্কগুলি বর্ণনা করে। ঘূর্ণন কৌণিক বেগ ভেক্টর Ω দ্বারা প্রকাশ করা হয় যা কক্ষপথের তলের সাথে লম্ব (ডান-হস্ত নিয়ম ব্যবহার করে) এবং নিম্নে প্রদত্ত মান রয়েছে:

${\displaystyle |\mathbf {\Omega } |={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega \,}$

যেখানে ${\displaystyle t}$ সময়ে কৌণিক অবস্থান ${\displaystyle \theta }$ । এই উপচ্ছেদে, ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$ কে সময়ের সাপেক্ষে ধ্রুব ধরা হয়। বৃত্তাকার পথে dt সময়ে কণার অতিক্রান্ত দুরত্ব dℓ,

${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\mathrm {d} t\,}$

ভেক্টর ক্রস গুণানুসারে, এর পরিমাণ ${\displaystyle \mathbf {r} \mathrm {d} \theta }$ এবং যার দিক বৃত্তাকার পথের ঢালের দিকে।

অতএব,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+{\Delta }t)-\mathbf {r} (t)}{{\Delta }t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}\ .}$

অন্যভাবে,

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {\boldsymbol {\ell }} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\ .}$

সময়ের সাথে ব্যবকলন করে,

${\displaystyle \mathbf {a} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{d\mathrm {t} }}=\mathbf {\Omega } \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \left[\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .}$

ল্যাগ্রাঞ্জের সূত্রানুযায়ী:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)=\mathbf {b} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .}$

সকল সময়ে Ω • r(t) = 0 পর্যবেক্ষণের সাথে ল্যাগ্রাঞ্জের সূত্র প্রয়োগ করা,

${\displaystyle \mathbf {a} =-{|\mathbf {\Omega |} }^{2}\mathbf {r} (t)\ .}$

অর্থাৎ ত্বরণ সর্বদা ব্যসার্ধ r এর বিপরীত দিকে ক্রিয়া করে এবং এর বিস্তার:

${\displaystyle |\mathbf {a} |=|\mathbf {r} (t)|\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=r{\omega }^{2}\ }$

যেখানে উল্লম্ব রেখা | ... | ভেক্টরের মানকে বোঝায়, যা ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ এর ক্ষেত্রে কেবল পথের ব্যাসার্ধ r । এই ফলাফলটি পূর্ববর্তী বিভাগের সাথে একমত, যদিও প্রক্রিয়াটি ভিন্ন।

যখন অসম বৃত্তীয় গতি বিশ্লেষণে আবর্তন হার ধ্রুব ধরা হয়, তখন বিশ্লেষণটি এটির সাথে একমত হয়।

ভেক্টর পদ্ধতির একটি যোগ্যতা হলো এটি কোনও স্থানাংক ব্যবস্থা উপর নির্ভর করে না।

উদাহরণ: বাঁকানো মোড়

ডানদিকে চিত্রের উপরের অংশে একটি বল বাঁকানো পথে বৃত্তীয় গতিতে চলমান। বাঁকানো অংশ অনুভূমিকের সাথে θ কোণ বাঁকানো এবং রাস্তার পৃষ্ঠকে পিচ্ছিল অনুমান করা হয়। উদ্দেশ্য এই যে বাঁকানো অংশ কত কোণে থাকতে হবে যাতে বলটি রাস্তা থেকে ছিটকে না যায়।^[১২] পর্যবেক্ষণ থেকে বোঝা যায়, ব্যাঙ্কিং না থাকলে বলটি কেবল রাস্তা থেকে সরে যাবে আবার খুব খাড়া ব্যাঙ্কিং হলে বলটি বক্ররেখাটি দ্রুত ভ্রমণ করতে হবে নাহলে বলটি কেন্দ্রে চলে যাবে।

বাহ্যিক কোনও ত্বরণের ক্রিয়া ছাড়া উপরের চিত্রের নীচের অংশ গোলকের উপরের বলের দিক নির্দেশ করে। এখানে মুলত দুটি বল রয়েছে; একটি হল গোলকের ভরকেন্দ্র দিয়ে খাড়া নীচের দিকে মহাকর্ষের বল ${\displaystyle mg}$ , যেখানে ${\displaystyle m}$ বলের ভর এবং ${\displaystyle g}$ মহাকর্ষীয় ত্বরণ ; দ্বিতীয়টি রাস্তার পৃষ্ঠের সাথে ৯০° কোণে খাড়া উর্ধ্বগামী স্বাভাবিক বল ${\displaystyle ma_{n}}$ । বক্রগতি দ্বারা দাবি করা কেন্দ্রমুখী বলও উপরে দেখানো হয়েছে। এই কেন্দ্রমুখী বল গোলকে প্রয়োগকৃত তৃতীয় বল নয়, বরং সেটি নেট বল যাকে স্বাভাবিক বল এবং মাধ্যাকর্ষণ বলের ভেক্টর সংযোজনের দ্বারা প্রকাশ করা হয়। গোলকের উপর রাস্তা দ্বারা সৃষ্ঠ স্বাভাবিক বল এবং মহাকর্ষের কারণে সৃষ্ঠ উল্লম্ব বলের ভেক্টর সংযোজন দ্বারা প্রাপ্ত লব্ধি বা নেট বল বস্তুটিকে বৃত্তাকার পথে ঘুরাতে কেন্দ্রমুখী বলের সমান হতে হবে। যতক্ষণ এই নেট বল গতিতে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল সরবরাহ করবে, ততক্ষণ এই বাঁকানো গতি বজায় রাখা সম্ভব।

বলের উপর অনুভূমিক নেট ফোর্স রাস্তাকর্তৃক সৃষ্ঠ বলের অনুভূমিক উপাংশ যার পরিমান ${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {h} }|=m|\mathbf {a} _{\mathrm {n} }|\mathrm {sin} \ \theta }$ । রাস্তাকর্তৃক সৃষ্ঠ বলের উল্লম্ব উপাংশটি অবশ্যই মহাকর্ষ বলকে প্রতিহত করতে হবে: ${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {v} }|=m|\mathbf {a} _{\mathrm {n} }|\mathrm {cos} \ \theta =m|\mathbf {g} |}$ , যা থেকে পাওয়া যায়, ${\displaystyle |\mathbf {a} _{\mathrm {n} }|={\frac {|\mathbf {g} |}{\mathrm {cos} \ \theta }}}$ । উপরের সূত্রে প্রতিস্থাপন করে অনুভূমিক বল ${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {h} }|}$ দাড়ায়,

${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {h} }|=m|\mathbf {g} |{\frac {\mathrm {sin} \ \theta }{\mathrm {cos} \ \theta }}=m|\mathbf {g} |\mathrm {tan} \ \theta \ .}$

অন্যদিকে, ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$ গতিবেগে ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার পথে, গতিবিদ্যা থেকে বলা যায় যে, গোলকটিকে বৃত্তাকার পথে পর্যায়ক্রমিক ঘুরাতে হলে ব্যাসার্ধ বরাবর ভিতরের দিকে ${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {c} }|}$ পরিমান বল প্রয়োজন যা,

${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {c} }|=m|\mathbf {a} _{\mathrm {c} }|={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ .}$

ফলস্বরূপ, গোলকটি স্থিতিশীল পথে চলতে থাকে যখন রাস্তার কোণ নিম্নরুপ শর্ত মেনে চলে:

${\displaystyle m|\mathbf {g} |\mathrm {tan} \ \theta ={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ ,}$

বা,

${\displaystyle \mathrm {tan} \ \theta ={\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{|\mathbf {g} |r}}\ .}$

ব্যাঙ্কিং কোণ ${\displaystyle \theta }$ ৯০° হতে থাকলে, ট্যানজেন্ট ফাংশন অসীম হতে থাকে ফলে ${\displaystyle {\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{r}}}$ এর মানও বাড়তে থাকে। অর্থাৎ, এই সমীকরণ থেকে বলা যায় যে, বৃহত্তর গতির জন্য (বড় ${\displaystyle {|\mathbf {v} |}}$ ) রাস্তা অধিক খাড়াভাবে (θ জন্য একটি বড় মান) ব্যাঙ্কিং করা আবশ্যক এবং তীক্ষ্ণ বাঁকের জন্য (ছোট ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ) রাস্তা অত্যধিক খাড়াভাবে ব্যাঙ্কিং করা আবশ্যক, যা ফলাফলের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যখন ব্যাঙ্কিং কোণ θ উপরে শর্ত মেনে চলে না তখন রাস্তাকর্তৃক সৃষ্ঠ বলের অনুভূমিক উপাংশ সঠিক কেন্দ্রমুখী বল প্রদান করতে পারে না এবং পার্থক্য বুঝাতে রাস্তা পৃষ্ঠে একটি অতিরিক্ত ঘর্ষণজনিত বল হিসাব করা হয়। যদি ঘর্ষণ প্রয়োজনীয় বলের যোগান দিতে না পারে (যদি ঘর্ষণ সহগকে অতিক্রম করে), বলটি ভারসাম্যের জন্য আলাদা একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধে চলে যায়।^{[১৩][১৪]}

এই ধারণাগুলি এয়ার ফ্লাইটের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। এফএএ পাইলটের ম্যানুয়ালে বিস্তারিত দেখুন।^[১৫]

অসম বৃত্তীয় গতি

অসম বৃত্তীয় গতির সাধারণীকরণ হিসাবে ধরুন কৌণিক আবর্তনের হার স্থির নয়। ডানদিকে চিত্রে হিসাবে এখন ত্বরণের একটি স্পর্শকীয় উপাংশ রয়েছে। এই ক্ষেত্রেটি একটি পোলার স্থানাংক ব্যবস্থার উপর ভিত্তি করে একটি প্রতিপাদ কৌশল প্রদর্শনের জন্য ব্যবহৃত হয়।

সময়ের ফাংশন হিসাবে বিন্দু ভরের অবস্থান বর্ণনাকারী ${\displaystyle \mathbf {r} (\mathbf {t} )}$ কে একটি ভেক্টর হিসাবে চিহ্নিত করা যায়। যেহেতু আমরা বৃত্তাকার গতি ধরে নিচ্ছি, আসুন ${\displaystyle \mathbf {r} (\mathbf {t} )=\mathbf {R} .\mathbf {u} _{\mathbf {r} }}$ , যেখানে ${\displaystyle \mathbf {R} }$ একটি ধ্রুবক (বৃত্তের ব্যাসার্ধ) এবং ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {r} }}$ হল একক ভেক্টর যা কেন্দ্র থেকে বিন্দু ভরের দিকে নির্দেশ করে। ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {r} }}$ এর দিকটি θ দ্বারা বর্ণিত, x-অক্ষ থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে x-অক্ষ এবং একক ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ পরিমাপ করা হয়। পোলার স্থানাঙ্কের জন্য অন্যান্য একক ভেক্টর, ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {\theta } }}$ θ বৃদ্ধির দিকে এর দিক এবং ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {r} }}$ এর উপর লম্ব। এই পোলার একক ভেক্টরগুলি কার্টেসিয়ান একক ভেক্টর i এবং j দ্বারা যথাক্রমে x এবং y এর দিক নির্দেশে প্রকাশ করা যেতে পারে:^[১৬]

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {r} }=\cos \theta {\widehat {i}}+\sin \theta {\widehat {j}}}$

বেগের এই ফলাফলটি প্রত্যাশার সাথে মেলে যে বেগটি বৃত্তের দিকে স্পর্শকীয়ভাবে পরিচালিত হওয়া উচিত, এবং বেগের মান rω হওয়া উচিত। আবার ব্যবকলন করে,

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {r} }=\cos \theta {\widehat {i}}+\sin \theta {\widehat {j}}}$

ব্যবকলন বেগ খুঁজে পাওয়া যাযায়:

${\displaystyle \mathbf {v} =r{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\mathrm {r} }}{\mathrm {d} t}}=r{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathrm {cos} \ \theta \ \mathbf {i} +\mathrm {sin} \ \theta \ \mathbf {j} \right)}$

${\displaystyle =r{\frac {d\theta }{dt}}\left(-\mathrm {sin} \ \theta \ \mathbf {i} +\mathrm {cos} \ \theta \ \mathbf {j} \right)\,}$

${\displaystyle =r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }\,}$

${\displaystyle =\omega r\mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }\,}$

যেখানে ω হলো কৌণিক বেগ ${\displaystyle {d\theta \over dt}}$ ।

${\displaystyle {{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {r} }=-\omega \mathbf {u} _{\mathrm {r} }}\,}$

আমরা দেখতে পাই যে ত্বরণ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ :

${\displaystyle \mathbf {a} =r\left({\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }-\omega ^{2}\mathbf {u} _{\mathrm {r} }\right)\ .}$

সুতরাং, ত্বরণের রেডিয়াল এবং স্পর্শকীয় উপাংশগুলি হলো:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=-\omega ^{2}r\ \mathbf {u} _{\mathrm {r} }=-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ \mathbf {u} _{\mathrm {r} }\ }$     এবং    ${\displaystyle \ \mathbf {a} _{\mathrm {\theta } }=r\ {\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}\ \mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }={\frac {\mathrm {d} |\mathbf {v} |}{\mathrm {d} t}}\ \mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }\,}$

যেখানে ${\displaystyle |\mathbb {v} |=\mathbf {r} \omega }$ হলো বেগের পরিমাণ (গতি)।

এই গাণিতিক সমীকরণগুলি প্রকাশ করে যে, পরিবর্তিত গতির সাথে একটি বৃত্তাকার পথ ধরে যে কোনও বস্তুর ক্ষেত্রে বস্তুর ত্বরণ একটি লম্বাংশে ভেঙে যায় যা গতির দিক (কেন্দ্রমুখী বল) পরিবর্তন করে এবং একটি সমান্তরাল বা স্পর্শকীয় উপাংশও থাকে যা গতি পরিবর্তন করে।

সাধারণ প্ল্যানার গতি

অবস্থান ভেক্টর r, সর্বদাই কেন্দ্র থেকে বাহিরের দিকে দিক করে থাকে

বেগ ভেক্টর v, এর দিক সর্বদাই গতিপথের স্পর্শক বরাবর

ত্বরণ ভেক্টর a, ব্যসার্ধ বরাবর গতির সমান্তরাল নয় কিন্তু যা কৌণিক এবং কোরিওলিস ত্বরণ দ্বারা পুষিয়ে নেয়, অথবা পথের স্পর্শক বরাবরও নয় কিন্তু এটি কেন্দ্রমুখী এবং ব্যসার্ধীয় ত্বরণ দ্বারা পুষিয়ে নেয়

সমতল পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় গতিবিজ্ঞানের ভেক্টর। লক্ষ্য করার বিশয় যে ব্যবস্থাটি শুধু দ্বিমাত্রিক স্থানের জন্য সীমাবদ্ধ নয় তবে যেকোন উচ্চমাত্রার সমতলের জন্য এটি প্রযোজ্য।

উপরের ফলাফল পোলার স্থানাঙ্কে আরও সহজভাবে প্রতিপাদ করা যেতে পারে এবং একই সাথে কোন সমতলের মধ্যে নিম্ন প্রদর্শনরুপে যে কোন সাধারণ গতির জন্য সম্প্রসারিত করা যেতে পারে। উপরে দেখানো মতে, সমতলে পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি ব্যাসার্ধীয় একক ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {\rho } }}$ এবং কৌণিক একক ভেক্টর ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {\theta } }}$ তে বিভক্ত হয়।^[১৭] r অবস্থানে থাকা একটি কণার:

${\displaystyle \mathbf {r} =\rho \mathbf {u} _{\rho }\,}$

যেখানে স্বরলিপি ρ জোর দেওয়া যে এই দূরত্ব সংশোধন করা হয় না আর পরিবর্তে মূল থেকে পথের দূরত্ব বর্ণনা করতে ব্যবহার করা, কিন্তু সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হয় করা হয়। একক ভেক্টর তোমার দর্শন লগ করা দ (টি) হিসাবে একই দিক কণা এবং সবসময় পয়েন্ট সঙ্গে ভ্রমণ _ρ। ইউনিট ভেক্টর u _θ এছাড়াও কণা নিয়ে ভ্রমণ করে এবং অরথোগোনাল থেকে u _s থাকে _ρ সুতরাং, তুমি _ρ এবং তুমি গঠন _θ একটি স্থানীয় কার্টিজিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা কণা সংযুক্ত, এবং পাথ কণা দ্বারা ভ্রমণ বাঁধা। ^[১৮] তাই তাদের মুদ্রার উলটা পিঠ কাকতালীয়ভাবে, যেমন উপরের ছবিতে বাঁদিকে উপস্থিত বৃত্তে দেখা, এটাও দেখা যায় যে তোমার দর্শন লগ করা _ρ এবং তুমি যে ফিরে ট্রেস এবং এর ঘোষণা ইউনিট বৃত্ত বিষয়ে টিপ্স সঙ্গে একটি সমকোণী যুগল গঠন _θ ইউনিট ভেক্টর সরিয়ে ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ হিসাবে একই কোণ θ ( টি ) সহ এই বৃত্তের পরিধি।

কণা যখন সরে যায়, তখন এর বেগ হয়

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}\ .}$

একইভাবে, U- _θ পরিবর্তনের হার পাওয়া যায়। সঙ্গে তোমার দর্শন লগ করা _ρ, U- _θ একটি একক ভেক্টর এবং আকার পরিবর্তন না করে শুধুমাত্র ঘোরাতে পারবেন না। তোমার দর্শন লগ করা _ρ যখন গ্রহণক্ষত্রের নির্দিষ্ট আবক্র পথ দ (টি) একটি পরিমাণ ঘ θ, U- _θ, যা দ (টি) থেকে লম্ব হয় rotates লম্ব থাকা, এছাড়াও ঘ θ দ্বারা ঘোরে। উপরের চিত্রটি দেখুন। অতএব, পরিবর্তন ঘ তোমার দর্শন লগ করা _{θ θ} এবং আনুপাতিক করার ঘ θ (দেখুন ইমেজ উপরে) তোমার দর্শন লগ করা লম্ব হল:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }=\mathbf {u} _{\theta }\mathrm {d} \theta \ ,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }\ .}$

একইভাবে, U- _θ পরিবর্তনের হার পাওয়া যায়। সঙ্গে তোমার দর্শন লগ করা _ρ, U- _θ একটি একক ভেক্টর এবং আকার পরিবর্তন না করে শুধুমাত্র ঘোরাতে পারবেন না। তোমার দর্শন লগ করা _ρ যখন গ্রহণক্ষত্রের নির্দিষ্ট আবক্র পথ দ (টি) একটি পরিমাণ ঘ θ, U- _θ, যা দ (টি) থেকে লম্ব হয় rotates লম্ব থাকা, এছাড়াও ঘ θ দ্বারা ঘোরে। উপরের চিত্রটি দেখুন। অতএব, পরিবর্তন ঘ তোমার দর্শন লগ করা _{θ θ} এবং আনুপাতিক করার ঘ θ (দেখুন ইমেজ উপরে) তোমার দর্শন লগ করা লম্ব হল:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=v_{\rho }\mathbf {u} _{\rho }+v_{\theta }\mathbf {u} _{\theta }=\mathbf {v} _{\rho }+\mathbf {v} _{\theta }\ .}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }\ .}$

অরথোগোনালটি বজায় রাখতে উপরের চিত্রে চিহ্নকে ঋণাত্মক হিসাবে দেখায়। যদি ${\displaystyle d\theta }$ এর সাথে ${\displaystyle d\mathbf {u} _{\mathbf {p} }}$ ধনাত্মক হয় তবে ${\displaystyle d\mathbf {u} _{\mathbf {\theta } }}$ অবশ্যই হ্রাস পেতে হবে।

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {p} }}$ এর ব্যবকলন বেগের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে,

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ .}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=v_{\rho }\mathbf {u} _{\rho }+v_{\theta }\mathbf {u} _{\theta }=\mathbf {v} _{\rho }+\mathbf {v} _{\theta }\ .}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=v_{\rho }\mathbf {u} _{\rho }+v_{\theta }\mathbf {u} _{\theta }=\mathbf {v} _{\rho }+\mathbf {v} _{\theta }\ .}$

ত্বরণটি পেতে, আরও একবার সময়ের সাপেক্ষে ব্যবকলন করা হয়:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}-\rho \mathbf {u} _{\rho }\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ }$

${\displaystyle =\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\ }$

${\displaystyle =\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} v_{\rho }}{\mathrm {d} t}}-{\frac {v_{\theta }^{2}}{\rho }}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {2}{\rho }}v_{\rho }v_{\theta }+\rho {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {v_{\theta }}{\rho }}\right]\ .}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {p} }}$ ও ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {\theta } }}$ এর ব্যবকলন প্রতিস্থাপন করে কণার ত্বরণ পাওয়া যায়:^[১৯]

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {u} _{\rho }\left[-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\ }$

${\displaystyle =\mathbf {u} _{\rho }\left[-{\frac {v^{2}}{r}}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right]\ }$

একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ হিসাবে, কণা যদি ধ্রুব R ব্যাসার্ধের বৃত্তে ঘুরতে থাকে তবে ${\displaystyle {d\rho \over dt}=0,\ \ \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\mathbf {\theta } }}$ এবং:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)}{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {d\theta }{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {1}{\rho }}\ ;}$ ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)}{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {1}{\rho }}\ .}$

যেখানে ${\displaystyle v=v_{\theta }}$ ।

এই ফলাফল অসম বৃত্তীয় গতির জন্য উপরেরগুলির সাথে একমত। (অসম বৃত্তীয় গতি সম্পর্কিত নিবন্ধটিও দেখুন) যদি এই ত্বরণকে কণার ভর দ্বারা গুণ করা হয় তবে প্রাপ্ত প্রথম অংশ কেন্দ্রমুখী বল এবং কৌণিক ত্বরণের সাথে সম্পর্কিত দ্বিতীয় অংশের ঋণাত্মক মানকে কখনও কখনও ইউলারের বল বলা হয়।^[২০]

বৃত্তীয় গতি ব্যতীত চলরেখার জন্য, উদাহরণস্বরূপ, উপরের চিত্রটিতে আরও সাধারণ চলরেখা কল্পনা করা হয়েছে, চলরেখার বক্ররেখার ঘূর্ণন এবং ব্যাসার্ধের তাত্ক্ষণিক কেন্দ্রটি কেবল ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {p} }}$ ও ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {\theta } }}$ এবং দৈর্ঘ্য ${\displaystyle |\mathbf {r} (\mathbf {t} )|=\rho }$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাথে পরোক্ষভাবে সম্পর্কিত। ফলস্বরূপ, সাধারণ ক্ষেত্রে, উপর্যুক্ত সাধারণ ত্বরণ সমীকরণ থেকে কেন্দ্রমুখী এবং ইউলার পদগুলি বিভক্ত করা সোজা নয়।^{[২১][২২]} এই সমস্যাটির সাথে সরাসরি পরিমাপ করার জন্য, স্থানীয় সমন্বয়গুলি অগ্রাধিকারযোগ্য যেমনটি পরবর্তী আলোচনা করা হয়েছে।

স্থানীয় স্থানাঙ্ক

স্থানীয় স্থানাঙ্ক বলতে বোঝায় এমন একটি স্থানাঙ্কের একটি সেট যা কণার সাথে ভ্রমণ করে,^[২৩] এবং কণার পথ দ্বারা নির্ধারিত অভিমুখ হয়।^[২৪] চিত্রটিতে ডানদিকে যেমন দেখানো হয়েছে তেমন একক ভেক্টরগুলি গঠিত হয়, উভয় পথে স্পর্শকীয় এবং লম্ব। এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাকে কখনও কখনও অভ্যন্তরীণ বা পথের স্থানাঙ্ক হিসাবে উল্লেখ করা হয়^{[২৫][২৬]} বা এনটি-স্থানাঙ্ক যা লম্ব-স্পর্শকীয়ের জন্য, এই একক ভেক্টরকে উল্লেখ করে। এই স্থানাঙ্ক ব্যবকলনীয় ফর্মের তত্ত্ব থেকে স্থানীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাধারণ ধারণার খুব বিশেষ উদাহরণ।^[২৭]

কণার পথের সাথে দূরত্বটি হল চাপের দৈর্ঘ্য যা সময়ের একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হয়।

${\displaystyle s=s(t)\ .}$

বক্রতার একটি কেন্দ্র লম্ব ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {n} }\mathbf {(} s)}$ এর সাথে রেখার উপর বক্ররেখা থেকে ρ (বক্রতা ব্যাসার্ধ) দূরত্বে অবস্থিত প্রতিটি স্থান s এ সংজ্ঞায়িত। এ চাপের দৈর্ঘ্য s এ প্রয়োজনীয় দূরত্ব ${\displaystyle \mathbf {\rho } \mathbf {(} s)}$ বক্রের ঢালের আবর্তনের হার হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেটা ঘুরে ফিরে পথ নিজে দ্বারা নির্ধারিত হয়। যদি কিছু সূচনামূলক অবস্থার সাথে সম্পর্কিত স্পর্শকের অবস্থান ${\displaystyle \mathbf {\theta } \mathbf {(} s)}$ হয় তবে ${\displaystyle \mathbf {\rho } \mathbf {(} s)}$ কে ${\displaystyle {d\theta \over ds}}$ ব্যবকলন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho (s)}}=\kappa (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$

বক্রতার ব্যাসার্ধ সাধারণত ধণাত্মক (যে একটি পরম মান হিসাবে হয়) নেয়া হয় এবং বক্রতা κ একটি স্বাক্ষরিত পরিমাণ।

বক্রতার কেন্দ্র এবং বক্রাতার ব্যাসার্ধ সন্ধানের একটি জ্যামিতিক পদ্ধতির একটি সীমাবদ্ধ প্রক্রিয়া ব্যবহার করে যা দোলক বৃত্তের দিকে পরিচালিত করে।^{[২৮][২৯]} উপরের চিত্রটি দেখুন।

এই স্থানাঙ্কগুলি ব্যবহার করে, পথ বরাবর গতিকে সর্বদা পরিবর্তিত কেন্দ্রের বৃত্তাকার পাথের পর্যায়ক্রম হিসাবে দেখা হয় এবং প্রতিটি অবস্থানে s সেই অবস্থানে ρ ব্যাসার্ধের অসম বৃত্তাকার গতি গঠন করে। আবর্তনের কৌণিক হারের স্থানীয় মান তারপরে নিম্নরুপে দেওয়া হয়:

${\displaystyle \omega (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\rho (s)}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {v(s)}{\rho (s)}}\ ,}$

স্থানীয় গতি v নিম্নরুপে প্রদত্ত:

${\displaystyle v(s)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\ .}$

উপরের অন্যান্য উদাহরণের জন্য, যেহেতু একক ভেক্টরগুলোর মান পরিবর্তিত হতে পারে না, তাই তাদের পরিবর্তনের হারটি সর্বদা তাদের দিকের সাথে লম্ব হয় (উপরের চিত্রটিতে বাম-হাতের সন্নিবেশ দেখুন):^[৩০]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)}{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {d\theta }{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {1}{\rho }}\ ;}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)}{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {d\theta }{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {1}{\rho }}\ ;}$

ফলস্বরূপ গতি এবং ত্বরণ হলো:^{[২৯][৩১][৩২]}

${\displaystyle \mathbf {v} (t)=v\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ;}$

এবং ব্যবকলনের চেইন নিয়ম ব্যবহার করে:

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$ স্পর্শকীয় ত্বরণের সাথে,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {\mathrm {d} } v}{\mathrm {\mathrm {d} } t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ v\ }$

এই স্থানীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, ত্বরণ স্থানীয় ব্যাসার্ধ ${\displaystyle \rho (\mathbf {s} )}$ এর সাথে অসম বৃত্তীয় গতির জন্য অভিব্যক্তির অনুরূপ এবং কেন্দ্রমুখী ত্বরণকে দ্বিতীয় পদ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। ^[৩৩]

এই পদ্ধতি ত্রিমাত্রিক বক্রস্থানে প্রসারিত করালে ফ্রেনেট-সেরেট সূত্রগুলি পাওয়া যায়।^{[৩৪][৩৫]}

বিকল্প পথ

উপরের চিত্র দেখে কেউ আশ্চর্য হতে পারে যে ${\displaystyle \rho (\mathbf {s} )}$ ও ${\displaystyle \rho (\mathbf {s} +ds)}$ পার্থক্যে বক্রতায় চাপের দৈর্ঘ্য ${\displaystyle ds=\rho (s)d\theta }$ হিসাব করতে গণনা সঠিক হয়েছে কিনা। নীচে বর্ণিত আরও ভালো পদ্ধতির সাহায্যে এই বিষয়টিতে আশ্বাস পাওয়া যাবে। এই পদ্ধতির বক্রতার সঙ্গে সংযোগ করে তোলে।

স্থানীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার একক ভেক্টরগুলো বর্ণনা করতে কার্তেসিয়ান স্থানাঙ্কে একটি পদ্ধতির সূচনা এবং এই কার্তেসিয়ান স্থানাঙ্কের সাপেক্ষে স্থানীয় স্থানাঙ্কগুলি বর্ণনা করতে হবে। এর চাপ দৈর্ঘ্য s নিরিখে পথ হিসাবে বর্ণনা করা যায়;^[৩৬]

${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\left[x(s),\ y(s)\right]\ }$

তারপরে ds পথ ধরে একটি বর্ধনশীল সরণ বর্ণনা করে: ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} (s)=\left[\mathrm {d} x(s),\ \mathrm {d} y(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\mathrm {d} s\ ,}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} (s)=\left[\mathrm {d} x(s),\ \mathrm {d} y(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\mathrm {d} s}$

যেখানে মৌলিক s এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করতে ব্যবহৃত হয়। এই সরণের মান ds, এটি দেখায়:^[৩৭]

${\displaystyle \left[x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right]=1\ .}$ ${\displaystyle \left[x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right]=1\ \ }$ (সমী. ১)

এই সরণ অগত্যা s বক্রের একটি স্পর্শক, এটি দেখায় যে বক্ররেখার স্পর্শক একক ভেক্টরটি:

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\ ,}$

বাহ্যিক ইউনিট ভেক্টরটি বক্ররেখা থেকে লম্ব হয়

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[y'(s),\ -x'(s)\right]\ ,}$

ভেক্টর ডট গুণন শূন্য তা দেখিয়ে অভিলম্বিকতা যাচাই করা যেতে পারে। এই ভেক্টরগুলির এককের পরিমাণ সমীকরণ ১ এর একটি ফলাফল। স্পর্শক ভেক্টর ব্যবহার করে, বক্ররেখায় স্পর্শক কোণ θ নিম্নরুপে দেওয়া হয়:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s)\ ;}$ এবং

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ .}$

বক্রাতার ব্যাসার্ধ সম্পূর্ণরুপে সুত্রগতভাবে (জ্যামিতিক ব্যাখ্যার প্রয়োজন ছাড়াই) নিম্নরুপে প্রতিপাদন করা যায়:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$

${\displaystyle \sin \theta }$ এর ব্যবকলন থেকে Θ এর ব্যবকলন পাওয়া যাবে:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}=\cos \theta {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}\cos \theta \ ={\frac {1}{\rho }}x'(s)\ .}$

এখন:

 ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}}$

${\displaystyle ={\frac {y''(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{\left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$

যেখানে ডিনোমিনেটরটি একক। সাইন ব্যবকলনের জন্য এই সূত্রের সাহায্যে বক্রতার ব্যাসার্ধ দাড়ায়:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}=y''(s)x'(s)-y'(s)x''(s)\ }$

${\displaystyle ={\frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x''(s)}{y'(s)}}\ ,}$

যেখানে, সমীকরণ ১ ব্যবকলন থেকে গোড়া থেকে গঠিত সমতুল্যতা:

${\displaystyle x^{\prime }(s)^{2}+y^{\prime }(s)^{2}=1\ ;\ {\frac {1}{\rho }}=y^{\prime \prime }(s)x^{\prime }(s)-y^{\prime }(s)x^{\prime \prime }(s)={\frac {1}{\alpha }}\ .}$

এই ফলাফলের সাথে, ত্বরণ হবে:

${\displaystyle \mathbf {a} (s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {v} (s)}$ ${\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\left(x'(s),\ y'(s)\right)\right]\ }$

${\displaystyle =\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\left(x''(s),\ y''(s)\right)}$

${\displaystyle =\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\,}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {t} }(\mathbf {s} )}$ এবং ${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathbf {n} }(\mathbf {s} )}$ একক ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন করে যাচাই করা যেতে পারে। ত্বরণের জন্য এই ফলাফলটি ρ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তীয় গতির মতো একই। জড় কাঠামোতে এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করে, চলরেখার লম্ব বলকে কেন্দ্রিক বল হিসাবে এবং চলরেখার সমান্তরাল বলকে স্পর্শকীয় বল হিসাবে চিহ্নিত করা সহজ। গুণগত দৃষ্টিকোণ থেকে, পথটি একটি সীমিত সময়ের জন্য বৃত্তের একটি চাপ দ্বারা সীমাবদ্ধ করা যেতে পারে এবং সীমিত সময়ের জন্য বক্রতার একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধ প্রযোজ্য, কেন্দ্রবিমুখী এবং ইউলার বল ব্যাসার্ধের সাথে বৃত্তাকার গতির ভিত্তিতে বিশ্লেষণ করা যেতে পারে।

ত্বরণের জন্য এই ফলাফল আগে পাওয়া ফলাফলের সাথে মিলে যায়। যাইহোক, এই পদ্ধতির মধ্যে s এর সাথে বক্রতার ব্যাসার্ধের পরিবর্তনের সমস্যাটি একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যা সম্পূর্ণভাবে সুত্রগতভাবে প্রতিপাদ করা হয়েছে, তবে এর উপর নির্ভর করে নয়, ফলে উপরের চিত্রটি ρ এর পরিবর্তনকে উপেক্ষা করার বিষয়ে কোন সমস্যা সৃষ্টি করে না।

উদাহরণ: বৃত্তীয় গতি

উপরের সূত্রগুলি চিত্রিত করতে, x, y কে নিম্নরুপ দেওয়া উচিত:

${\displaystyle x=\alpha \cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ y=\alpha \sin {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

এখন

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\alpha ^{2}\,}$

যা ব্যাসার্ধ ${\displaystyle \alpha }$ দিয়ে উত্সের চারপাশে একটি বৃত্তাকার পথ হিসাবে প্রকাশ করা যাতে পারে। ${\displaystyle \mathbf {s} =0}$ অবস্থানটি ${\displaystyle [\alpha ,0]}$ বা ঘড়ির কাটার ৩টার সমতুল্য। উপর্যুক্ত সুত্রগুলো ব্যবহার করতে নিম্নরুপ প্রতিপাদন প্রয়োজন:

${\displaystyle y^{\prime }(s)=\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime }(s)=-\sin {\frac {s}{\alpha }}\,}$

${\displaystyle y^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\cos {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

এই ফলাফলের সাথে, কেউ তা যাচাই করতে পারে:

${\displaystyle x^{\prime }(s)^{2}+y^{\prime }(s)^{2}=1\ ;\ {\frac {1}{\rho }}=y^{\prime \prime }(s)x^{\prime }(s)-y^{\prime }(s)x^{\prime \prime }(s)={\frac {1}{\alpha }}\ .}$

একক ভেক্টরগুলোও লেখায় যায়:

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ;\ \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]\,}$

যা দেখায় যে, ${\displaystyle [\rho ,0]}$ অবস্থানে ${\displaystyle \mathbf {s} =0}$ এবং ${\displaystyle [0,\rho ]}$ তে ${\displaystyle \mathbf {s} ={\frac {\rho \pi }{2}}}$ যা x এবং y এর মূল অভিব্যক্তিগুলির সাথে একমত। অন্য কথায়, ঘড়ির কাটায় ৩টা থেকে বৃত্তের চারপাশে উল্টোদিকে পরিমাপ করা হয়। এছাড়াও, এই ভেক্টরগুলির প্রতিপাদন অন্যভাবে পাওয়া যায় পাওয়া যায়:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]=-{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$

${\displaystyle \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)={\frac {1}{\alpha }}\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]={\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ .}$

বেগ এবং ত্বরণ পাওয়ার জন্য, s এর সময়-নির্ভরতা প্রয়োজন। পরিবর্তনশীল গতি ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {t} )}$ এ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত গতির জন্য:

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\ dt^{\prime }\ v(t^{\prime })\,}$

যখন ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ গতি, ${\displaystyle t}$ সময় এবং ${\displaystyle \mathbf {s} (t=0)=0}$ তখন:

${\displaystyle \mathbf {v} =v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ,}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+v{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-v{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\,}$

যেখানে এটি ইতিমধ্যে প্রতিষ্ঠিত যে, ${\displaystyle \alpha =\rho }$ । এই ত্বরণ অসম বৃত্তীয় গতির আদর্শ ফলাফল।

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (২০০৪)। Physics for Scientists and Engineers (৬ষ্ঠ সংস্করণ)। Brooks/Cole। আইএসবিএন 978-0-534-40842-8। 
• Tipler, Paul (২০০৪)। Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th সংস্করণ)। W. H. Freeman। আইএসবিএন 978-0-7167-0809-4। 
• কেন্দ্রমুখী বল বনাম কেন্দ্রবিমুখী বল, সিটি স্কুল জেলা কর্তৃক একটি অনলাইন রিজেন্টস পরীক্ষার পদার্থবিজ্ঞানের টিউটোরিয়াল।

• উইনিপেগ বিশ্ববিদ্যালয় থেকে নোটস
• জর্জিয়া স্টেট ইউনিভার্সিটির পদার্থবিজ্ঞান এবং জ্যোতির্বিজ্ঞান হাইপার ফিজিক্সের নোট ; হোম পৃষ্ঠা দেখুন
• ব্রিটানিকার নোটস
• ফিজিক্সনেট থেকে নোটস
• ডেভিড পি স্টার্নের নাসার নোটস
• ইউ টেক্সাসের নোটস ।
• স্মার্ট ইও-ইয়োর বিশ্লেষণ
• ইনুইট ইয়ো-ইও
• ডিজাইন ডিজিটাল লাইব্রেরির জন্য কেমনেটিক মডেলগুলি (কেএমওডিডিএল)
  কর্নেল বিশ্ববিদ্যালয়ের শত শত মেকানিকাল-সিস্টেমের মডেলের সিনেমা এবং চিত্র। এছাড়াও যান্ত্রিক নকশা এবং প্রকৌশল সম্পর্কিত ক্লাসিক পাঠগুলির একটি ই-বুক লাইব্রেরি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।