Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στην γραμμική άλγεβρα , ο μηδενικός πίνακας είναι ο πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδέν 0. Ο πίνακας διαστάσεων n × m {\displaystyle n\times m} 0 n , m {\displaystyle \mathbf {0} _{n,m}} ( 0 n , m ) i j {\displaystyle (\mathbf {0} _{n,m})_{ij}} 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle 1\leq j\leq m} [1] :102 [2] :11 [3] :6 [4] :31 Ή διαγραμματικά,
0 n , m = [ 0 0 … 0 0 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 0 ] . {\displaystyle \mathbf {0} _{n,m}={\begin{bmatrix}0&0&\ldots &0\\0&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.} Όταν οι διαστάσεις του είναι ξεκάθαρες, συμβολίζεται απλά ως 0 {\displaystyle \mathbf {0} } [3] : 6 δακτύλιο το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης στον μηδενικό πίνακα.[5] :18
Παρακάτω δίνονται κάποια παραδείγματα μηδενικών πινάκων για διάφορες διαστάσεις:
0 2 , 2 = [ 0 0 0 0 ] ⏟ 2 × 2 0 3 , 3 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ⏟ 3 × 3 0 3 , 2 = [ 0 0 0 0 0 0 ] ⏟ 3 × 2 0 2 , 3 = [ 0 0 0 0 0 0 ] ⏟ 2 × 3 0 3 , 1 = [ 0 0 0 ] ⏟ 3 × 1 0 1 , 3 = [ 0 0 0 ] ⏟ 1 × 3 {\displaystyle \mathbf {0} _{2,2}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \mathbf {0} _{3,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \mathbf {0} _{3,2}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}} _{3\times 2}\qquad \mathbf {0} _{2,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}} _{2\times 3}\qquad \mathbf {0} _{3,1}=\underbrace {\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}} _{3\times 1}\qquad \mathbf {0} _{1,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}} _{1\times 3}\qquad } Ο μηδενικός πίνακας 0 n , m {\displaystyle \mathbf {0} _{n,m}}
Είναι το ουδέτερο στοιχείο των πινάκων με πράξη την πρόσθεση πινάκων διαστάσεων n × m {\displaystyle n\times m} [5] : 18 [6] A {\displaystyle A} n × m {\displaystyle n\times m} A + 0 n , m = 0 n , m + A = A {\displaystyle A+\mathbf {0} _{n,m}=\mathbf {0} _{n,m}+A=A} Είναι συμμετρικός , καθώς ( 0 n , m ) i j = ( 0 n , m ) j i = 0 {\displaystyle (\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=(\mathbf {0} _{n,m})_{ji}=0} 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle 1\leq j\leq m} Είναι αντισυμμετρικός , καθώς ( 0 n , m ) i j = − ( 0 n , m ) j i = 0 {\displaystyle (\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=-(\mathbf {0} _{n,m})_{ji}=0} 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle 1\leq j\leq m} Είναι διαγώνιος , καθώς ( 0 n , m ) i j = 0 {\displaystyle (\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=0} i = j {\displaystyle i=j} [5] : 365 Έχει ίχνος t r ( 0 n , m ) = 0 {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {0} _{n,m})=0} Έχει ορίζουσα d e t ( 0 n , m ) = 0 {\displaystyle \mathrm {det} (\mathbf {0} _{n,m})=0} μη-αντιστρέψιμος πίνακας . Το μηδενικό διάνυσμα ( 0 , 0 , … , 0 ) ∈ R n {\displaystyle (0,0,\ldots ,0)\in R^{n}} δακτύλιο R {\displaystyle R} R = R {\displaystyle R=\mathbb {R} } R = C {\displaystyle R=\mathbb {C} } 0 {\displaystyle \mathbf {0} } m = 1 {\displaystyle m=1} διάνυσμα στήλης
0 n , 1 = [ 0 0 ⋮ 0 ] , {\displaystyle \mathbf {0} _{n,1}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}},} και για n = 1 {\displaystyle n=1} διάνυσμα γραμμής
0 1 , m = [ 0 0 … 0 ] . {\displaystyle \mathbf {0} _{1,m}={\begin{bmatrix}0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.} 
διαστάσεων 
.
, για κάθε 
, για κάθε 
(και) για κάθε 
.[5]: 365 
.
και έτσι είναι μη-αντιστρέψιμος πίνακας.
