Μηδενικός πίνακας

Παρακάτω δίνονται κάποια παραδείγματα μηδενικών πινάκων για διάφορες διαστάσεις:

${\displaystyle \mathbf {0} _{2,2}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \mathbf {0} _{3,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \mathbf {0} _{3,2}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}} _{3\times 2}\qquad \mathbf {0} _{2,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}} _{2\times 3}\qquad \mathbf {0} _{3,1}=\underbrace {\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}} _{3\times 1}\qquad \mathbf {0} _{1,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}} _{1\times 3}\qquad }$

Ο μηδενικός πίνακας ${\displaystyle \mathbf {0} _{n,m}}$ ,

• Είναι το ουδέτερο στοιχείο των πινάκων με πράξη την πρόσθεση πινάκων διαστάσεων ${\displaystyle n\times m}$ .^{[5]: 18 [6]} Δηλαδή, για κάθε πίνακα ${\displaystyle A}$ διαστάσεων ${\displaystyle n\times m}$ , ισχύει ότι

${\displaystyle A+\mathbf {0} _{n,m}=\mathbf {0} _{n,m}+A=A}$ .

• Είναι συμμετρικός, καθώς ${\displaystyle (\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=(\mathbf {0} _{n,m})_{ji}=0}$ , για κάθε ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ και ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$ .
• Είναι αντισυμμετρικός, καθώς ${\displaystyle (\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=-(\mathbf {0} _{n,m})_{ji}=0}$ , για κάθε ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ και ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$ .
• Είναι διαγώνιος, καθώς ${\displaystyle (\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=0}$ (και) για κάθε ${\displaystyle i=j}$ .^[5]: 365
• Έχει ίχνος ${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {0} _{n,m})=0}$ .
• Έχει ορίζουσα ${\displaystyle \mathrm {det} (\mathbf {0} _{n,m})=0}$ και έτσι είναι μη-αντιστρέψιμος πίνακας.

Το μηδενικό διάνυσμα ${\displaystyle (0,0,\ldots ,0)\in R^{n}}$ σε έναν δακτύλιο ${\displaystyle R}$ (για παράδειγμα ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$ ή ${\displaystyle R=\mathbb {C} }$ ) συμβολίζεται ως ${\displaystyle \mathbf {0} }$ και είναι μία ειδική περίπτωση του μηδενικού πίνακα. Συγκεκριμένα, για ${\displaystyle m=1}$ παίρνουμε το μηδενικό διάνυσμα στήλης

${\displaystyle \mathbf {0} _{n,1}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}},}$

και για ${\displaystyle n=1}$ το μηδενικό διάνυσμα γραμμής

${\displaystyle \mathbf {0} _{1,m}={\begin{bmatrix}0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}$

• Ταυτοτικός πίνακας