アンダーソン–ダーリング検定

${\displaystyle \{X_{1}<\cdots <X_{n}\}}$ を標本データ（ただし昇順にソート済み）とし、帰無仮説の与える分布を${\displaystyle F}$ とする。このとき検定統計量${\displaystyle A}$ は、

${\displaystyle A^{2}=-n-S\,,}$

ただし

${\displaystyle S=\sum _{j=1}^{n}{\frac {2j-1}{n}}\left[\ln(F(X_{j}))+\ln \left(1-F(X_{n+1-j})\right)\right]}$

で与えられる。

まず帰無仮説で与える分布${\displaystyle F(x)}$ （ここでは正規分布を仮定している）を求める必要がある。この際、(1)平均・分散とも既知、(2)分散は既知、平均は未知、(3)平均は既知、分散は未知、(4)平均・分散とも未知、の4ケースが考えられるが、それぞれのケースによって検定量の棄却域が変わることに注意。

次に検定量${\displaystyle A^{2}}$ を上述の式に従って求める。平均・分散とも未知のケース（上記ケース(4)）の場合、修正統計量として${\displaystyle {A^{*}}^{2}=A^{2}(1+4/n-25/n^{2})}$ を用いることがある。

次に検定量${\displaystyle A^{2}}$ （または${\displaystyle {A^{*}}^{2}}$ ）を基準値CVと比較する。基準値CVは(n>5のとき)次の数表で与えられる^[2]。

(*) ケース(2)の数値は分布が非対称な場合。

ケース(4)でn>8の場合については、修正前のA²に対するCVとして、以下に示す近似公式が与えられている^[3]。

${\displaystyle CV=K_{\alpha }/\left(1+{\frac {0.75}{n}}+{\frac {2.25}{n^{2}}}\right).}$

${\displaystyle K_{\alpha }}$ の値

有意水準${\displaystyle \alpha }$	10%	5%	1%
${\displaystyle K_{\alpha }}$	0.631	0.752	1.035

${\displaystyle A^{2}>CV}$ または${\displaystyle A^{*2}>CV}$ のとき帰無仮説は棄却される。すなわち、標本分布は正規分布F(x)とは異なる可能性が示唆される。

正規分布以外の検定については、ことなる基準値が適用されることに注意。

• コルモゴロフ-スミルノフ検定
• リリフォース検定
• シャピロ-ウィルク検定
• ジャック-ベラ検定

• US NIST Handbook of Statistics