極値

n 次元ユークリッド空間 (Rⁿ, d) の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとる^{[注 2]}。関数 f を定義域 U に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最小値であるとき、値 f(p) を関数 f の極小値（local minimum）といい、点 p を関数 f の極小点（local minimum point^[1]）という。この条件は論理式を用いると

${\displaystyle \exists \varepsilon >0[\forall q\in U[d(p,q)<\varepsilon \implies f(p)\leq f(q)]]}$

と表せる^{[注 3]}。同様に関数 f を定義域 U に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最大値であるとき値 f(p) を関数 f の極大値（local maximum）といい、点 p を関数 f の極大点（local maximum point^[1]）という。

極小値と極大値を総称して極値（extremum）といい、極小点と極大点を総称して極値点という。

上の条件に現れる d(p, q) < ε ⇒ f(p) ≤ f(q) を 0 < d(p, q) < ε ⇒ f(p) < f(q) へ置き換えたとき、値 f(p) を関数 f の狭義の極小値（strict local minimum）という。同様に狭義の極大値（strict local maximum）も定義される。またこれらを総称して狭義の極値という。（ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。）

n 次元ユークリッド空間 Rⁿ の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが微分可能であるとする。

定義域 U に属する点 p における関数 f の勾配

${\displaystyle \nabla f(p)={\bigg [}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p),\dotsc ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p){\bigg ]}}$

が 0 であるとき、点 p を関数 f の停留点（stationary point）あるいは臨界点（critical point）といい、値 f(p) を停留値（stationary value）あるいは臨界値（critical value）という。

点 p が関数 f の極値点であるためには、点 p が関数 f の停留点であることが必要である。

n 次元ユークリッド空間 Rⁿ の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが2回連続微分可能であるとする。

関数 f の停留点 p におけるヘッセ行列

${\displaystyle \nabla ^{2}f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(p)\end{bmatrix}}}$

が正の定符号（∇² f(p) > 0）であるならば関数 f は点 p において狭義の極小値をとる^[2]。またヘッセ行列 ∇² f(p) が負の定符号（∇² f(p) < 0）であるならば関数 f は点 p において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 f は点 p において極値をとらない（このとき点 p は関数 f の鞍点と呼ばれる）。

この方法^{[注 4]}により、ヘッセ行列 ∇² f(p) が特異行列で停留点 p が退化している場合を除けば、極値判定ができる。

• ラグランジュの未定乗数法

• ユルゲン・ヨスト『ポストモダン解析学』シュプリンガー、2000年。ISBN 978-4-431-70871-1。 

書評 doi:10.11429/sugaku1947.54.314

• Weisstein, Eric W. "Extremum". mathworld.wolfram.com (英語).
• extremum - PlanetMath.（英語）
• Ivanov, A.B. (2001), “Extremum”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Extremum 
• extremum in nLab