ヤングの畳み込み不等式

実解析において、ヤングの畳み込み不等式^{[2](Theorem 3.9.4)}は以下のようなものである:

定理 (Young's convolution inequality)

f ∈ L^p(ℝ^d), g ∈ L^q(ℝ^d) で

$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1\qquad (1\leq p,q,r\leq \infty )}$$

が満たされるならば、不等式

$${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$$

が成り立つ。ここに、左辺の ∗ は畳み込みで、L^p はルベーグ p-乗可積分函数の空間および

$${\displaystyle \|f\|_{p}:={\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}{\mathit {dx}}{\Bigr )}^{1/p}}$$

は L^p-ノルムである。

おなじことだが、以下のように述べることもできる:

p, q, r ≥ 1 が ${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2}$ を満たすならば

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {dx}}\,{\mathit {dy}}\leq {\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}{\Bigr )}^{1/p}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}{\Bigr )}^{1/q}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}{\Bigr )}^{1/r}}$$

が成り立つ。

一般化

ヤングの畳み込み不等式は、ℝ^d を単模群 G に取り換えた自然な一般化ができる。G 上の両側ハール測度を μ とすれば μ に関する積分が定義できて、G 上の実または複素数値函数 f, g に対して

$${\displaystyle f*g(x):=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,{\mathit {d\mu }}(y)}$$

および

$${\displaystyle \|f\|_{p}:={\Bigl (}\int _{G}|f(x)|^{p}\,{\mathit {d\mu }}(x){\Bigr )}^{1/p}}$$

と定めれば、f ∈ L^p(G, μ), g ∈ L^q(G, μ) に対して、件の不等式

$${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}}$$

はそのままの形で成り立つ（もちろん、${\textstyle \int _{G\times G}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\leq (\int _{G}\vert f\vert ^{p})^{1/p}(\int _{G}\vert g\vert ^{q})^{1/q}(\int _{G}\vert h\vert ^{r})^{1/r}}$ とも書ける）。

事実として、ℝ^d は局所コンパクトアーベル群（英語版）、したがって単模であり、ルベーグ測度がそのハール測度を与えるから、事実これは先の不等式を一般化するものである。

p, q > 1 の場合、ヤングの不等式はより強く、適当な定数 c_p,q < 1 を含む

$${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq c_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q}}$$

最適化定数 1 のヤングの不等式には、初等的な証明がある^[6]。

位相群の不変積分版の証明を以下に示す:

ヘルダーの不等式による一般の場合の証明

G はハール測度 μ を持つ単模群とし、函数 f, g, h: G → ℝ は非負かつ可積分とする。また、任意の可測集合 S ⊂ G に対して反転不変性: ${\textstyle \mu (S)=\mu (S^{-1})}$ が成立する（したがって、積分も反転不変）という事実を用いる。

いま、${\textstyle p(2-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}})=q(2-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r}})=r(2-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r}})=1}$ であるから、

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G\times G}f(x)g(y^{-1}x)h(y){\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\\&\qquad =\int _{G\times G}{\Bigl (}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}{\Bigr )}^{1-{\frac {1}{r}}}{\Bigl (}f(x)^{p}h(y)^{r}{\Bigr )}^{1-{\frac {1}{q}}}{\Bigl (}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}{\Bigr )}^{1-{\frac {1}{p}}}{\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\end{aligned}}}$$

とできる。右辺に三函数に対するヘルダーの不等式を適用すれば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{G\times G}f(x)g(y^{-1}x)h(y){\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y)\\&\qquad \leq {\Bigl (}\int _{G\times G}f(x)^{p}g(y^{-1}x)^{q}{\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y){\Bigr )}^{1-{\frac {1}{r}}}{\Bigl (}\int _{G\times G}f(x)^{p}h(y)^{r}{\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y){\Bigr )}^{1-{\frac {1}{q}}}{\Bigl (}\int _{G\times G}g(y^{-1}x)^{q}h(y)^{r}{\mathit {d\mu }}(x){\mathit {d\mu }}(y){\Bigr )}^{1-{\frac {1}{p}}}\end{aligned}}}$$

が導かれ、ここから、ハール測度の左不変性と、積分が反転不変であるという事実、およびフビニの定理により、結論を得る。

ヤングの不等式の応用の一つの例が、L²-ノルムを用いて 熱半群（英語版）が縮小半群である（つまり、ヴァイヤシュトラス変換が L²-ノルムを大きくしない）ことを示すことである。

• Young's Inequality for Convolutions at ProofWiki