Sinuss

Leņķis grādos	0°	30°	45°	60°	90°
Leņķis radiānos	0	π/6	π/4	π/3	π/2
Sinusa vērtība	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle 1\,}$

Visbiežāk nepieciešamās sinusa vērtības ir dotas tabulā pa labi. Lai tās vieglāk iegaumētu, ir jāatceras zīmīgie leņķi 0°, 30°, 45°, 60° un 90° (jeb 0, π/6, π/4, π/3 un π/2 radiānos). Var ievērot, ka tiem atbilstošās sinusa vērtības ir šādas:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {0}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {1}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {2}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {3}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {4}}{2}}.}$

Leņķiem, kas neatrodas intervālā no 0° līdz 90°, sinusa vērtību var aprēķināt, izmantojot zemāk uzskaitītās sinusa funkcijas īpašības.

Sinusa funkcijai piemīt vairākas būtiskas īpašības, kas ir uzskaitītas zemāk dotajā tabulā. Tās ir viegli nolasāmas no funkcijas grafika.

Matemātiskais pieraksts	Īpašības nosaukums
${\displaystyle -1\leq \sin x\leq 1\,}$	ierobežota
${\displaystyle \sin(-x)=-\sin x\,}$	nepāra
${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x\,}$	periodiska
${\displaystyle \sin(x+\pi )=-\sin x\,}$	maina zīmi, ja leņķi palielina par π

No šīm īpašībām izriet sakarība

${\displaystyle \sin(x+\pi k)=(-1)^{k}\sin x,\,}$

kur k ir patvaļīgs vesels skaitlis. Ar tās palīdzību sinusa aprēķināšanu patvaļīgam leņķim var reducēt uz sinusa aprēķināšanu leņķim, kas atrodas intervālā [0°, 90°] (jeb [0,π/2] radiānos).

Jebkuriem diviem reāliem skaitļiem α un β ir spēkā:

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \,\cos \beta +\cos \alpha \,\sin \beta ,}$

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \,\cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta ,}$

${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\,\sin \alpha \,\cos \alpha .}$

Sinusa izvirzījums Teilora rindā ir

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\mp \cdots .}$

Tā atvasinājums ir

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x,\,}$

bet nenoteiktais integrālis ir

${\displaystyle \int \sin x\,{\rm {d}}x=-\cos x+C.}$

• Trigonometriskās funkcijas
• Kosinuss
• Tangenss
• Kotangenss

• Eric W. Weisstein, Sine, MathWorld.