Површински интеграл

За да се најде експлицитна формула за површинскиот интеграл, неопходно е да се параметриизира областа на интерес, S, сметајќи го системот на криволиниски координати на S, како и географската ширина и должина на сферата. Нека таквата параметаризација биде ${\displaystyle x}$ (s, t), каде што (s, t) варира во некоја област T во рамнината. Потоа, даден е површинскиот интеграл

${\displaystyle \iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

каде изразот меѓу линиите од десната страна е големината на вкрстениот производ на парцијалните изводи ${\displaystyle x}$ (s, t) и е познат како површински елемент. Површинскиот интеграл може да се изрази и во еквивалентна форма

${\displaystyle \iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

каде што g е детерминанта на првиот фундаментален облик на површинско пресликување ${\displaystyle x}$ (s, t).^[1][2]

На пример, ако сакаме да ја најдеме површината на графиконот на некоја скаларна функција, на пример ${\displaystyle z=f(x,y)}$ , имаме

${\displaystyle {\displaystyle A=\iint \limits _{S}\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}}$

при што ${\displaystyle {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}\mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}$ . Така што ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$ и${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$ следи

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}}$

што е стандардната формула за површината опишана на овој начин. Векторот може да се препознае во вториот ред погоре како нормален вектор на површината.

Треба да се има на ум дека, поради присуството на вкрстен производ, горенаведените формули важат само за површини вградени во тридимензионален простор.

• Криволиниски интеграл
• Зафатнински интеграл
• Декартов координатен систем
• Сферен координатен систем
• Цилиндричен координатен систем

• Surface Integral — from MathWorld
• Surface Integral — Theory and exercises