ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ

ਨਿਊਟਨ ਅਤੇ ਲਾਇਬਨਿਜ਼ ਦੇ 1671 ਵਾਲੇ Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum ਦੇ ਚੈਪਟਰ 2 ਦੁਆਰਾ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਖੋਜ ਨਾਲ ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਂਦ ਵਿੱਚ ਆਈ।^[1] ਨਿਊਟਨ ਨੇ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਈ ਹੈ: ਦੋ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ${\displaystyle {\dot {x}},{\dot {y}}}$ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਅਣਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਟ ਮਾਤਰਾ ${\displaystyle x}$ ; ਜਿਸ ਵਿੱਚ ${\displaystyle {\dot {x}},{\dot {y}},x}$ ਅਤੇ ${\displaystyle y}$ ਹਨ; ਅਤੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਾਲੀਉਦਾਹਰਣ::

• ${\displaystyle {\dot {y}}{\dot {y}}={\dot {x}}{\dot {y}}+{\dot {x}}{\dot {x}}xx}$ ,

  ${\displaystyle {\dot {y}}ax-{\dot {x}}xy-aa{\dot {x}}=0}$ , ਅਤੇ

  ${\displaystyle 2{\dot {x}}-{\dot {z}}+{\dot {y}}x=0}$ , ਕਰਮਵਾਰ.

ਉਸ ਨੇ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨਾ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ।

1695 ਵਿੱਚ ਜੈਕਬ ਬਰਨਾਉਲੀ ਨੇ ਬਰਨਾਉਲੀ ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੱਲ ਕੀਤੀ।^[2] ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਆਮ ਹੈ।

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਉਸ ਨੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਲੱਭਿਆ।^[3]

ਸੰਗੀਤ ਵਾਲੇ ਸਾਜ਼ ਦੀ ਤਾਰ ਦਾ ਕੰਪਨ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵਿਗਿਆਨੀ ਨੇ ਪਰਖਿਆ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਜੀਅਨ ਲੲ ਰਾਉਡ ਡੀ'ਅਲੇਮਬਰਟ, ਲਿਉਨਾਰਡ ਉਏਲਰ, ਡੇਨੀਅਲ ਬਰਨਾਉਲੀ ਅਤੇ ਜੋਸਫ਼ ਲਾਓਸ ਲੈਂਗਰੇਂਜ਼^[4][5][6] 1750 ਵਿੱਚ ਉਏਲਰ-ਲੈਂਗਰੇਂਜ਼ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਹੋਇਆ। ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੁ ਤੋਂ ਭਾਰਦਾਰ ਪਦਾਰਥ ਦਾ ਸਥਿਰ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਚਾਪ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਡਿਗਣਾ ਦੀ ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜੋ ਮੁਢਲੇ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ 1755 ਵਿੱਚ ਲੈਂਗਰੇਂਜ਼ ਨੇ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਤੇ ਉਏਲਰ ਨੂੰ ਭੇਜ ਦਿਤਾ ਤੇ ਦੋਨਾਂ ਨੇ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਤੇ ਜਿਸ ਨਾਲ ਲੈਂਗਰੇਂਜ਼ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਆਗਾਜ ਹੋਇਆ।

ਮੰਨ ਲਉ u, x ਦਾ ਫਲਨ ਹੈ ਅਤੇ c ਅਤੇ ω ਦੋ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਹਨ।

• ਪਹਿਲੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਸਥਿਰ ਗੁਣਾਕਾਂ ਵਾਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}$

• ਇਕਸਾਰ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਰੇਖੀ ਸਧਾਰਨ ਸਮੀਕਰਨ:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}$

• ਇਕਸਾਰ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਰੇਖੀ ਸਥਿਰ ਗੁਣਾਕਾਂ ਵਾਲੀ ਸਧਾਰਨ ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਨਰ:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.}$

• ਅਣ-ਇਕਸਾਰ ਪਹਿਲੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਸਧਾਰਨ ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ:

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.}$

• ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਗੈਰ-ਲੀਨੀਅਰ ਸਧਾਰਨ ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਜੋ ਪੈਂਡੂਲਮ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਜਿਸ ਦੀ ਲੰਬਾਈ L ਹੈ।

${\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.}$

ਮੰਨ ਲਉ u ਦੋ ਚੱਲ x ਅਤੇ t ਜਾਂ x ਅਤੇ y ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ।

• ਇਕਸਾਰ ਪਹਿਲੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਰੇਖੀ ਪਾਰਸ਼ਿਅਲ ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

• ਇਕਸਾਰ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੀ ਰੇਖੀ ਸਥਿਰ ਗੁਣਾਕਾਂ ਵਾਲੀ ਪਾਰਸ਼ਿਅਲ ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ ਲੈਪਲੇਟਾ ਸਮੀਕਰਨ

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}$

• ਤੀਜੇ ਦਰਜੇ ਨਾਨ-ਰੇਖੀ ਪਾਰਸ਼ਿਅਲ ਡਿਫ਼ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.}$