معادله دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل با اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط آیزاک نیوتن و گوتفرید لایبنیتس به وجود آمد. نیوتن در فصل ۲ کتاب خودMethodus fluxionum et Serierum Infinitarum، در سال ۱۶۷۱ سه نوع معادله دیفرانسیل را فهرست کرد:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}$

در تمام این موارد، y یک تابع مجهول از x (یا از x1 و x2)، و f یک تابع معین است.

او این مثال‌ها و نمونه‌های دیگر را با استفاده از سری‌های بی‌نهایت حل می‌کند و در مورد منحصربه‌فرد نبودن جواب‌ها بحث می‌کند.

ژاکوب برنولی در سال ۱۶۹۵ میلادی معادله دیفرانسیل برنولی را پیشنهاد کرد.^[۲] این معادله یک معادله دیفرانسیل معمولی با شکل زیر است:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

که سال بعد لایبنیتس با ساده کردن آن جواب‌هایی برای آن به دست آورد.^[۳]

از نظر تاریخی، مسئله سیم ارتعاشی مانند یک ساز موسیقی توسط ژان لو رون دالامبر، لئونارد اویلر، دانیل برنولی و ژوزف لوئی لاگرانژ مورد مطالعه قرار گرفت.^{[۴][۵][۶][۷]} در سال ۱۷۴۶، دالامبر معادله موج یک بعدی را کشف کرد و در عرض ده سال اویلر معادله موج سه بعدی را کشف کرد.^[۸]

معادله اویلر-لاگرانژ در دهه ۱۷۵۰ توسط اویلر و لاگرانژ در ارتباط با مطالعات آنها در مورد مسئله خم همزمانی ایجاد شد. این مسئله در رابطه با تعیین منحنی‌ای است که در آن یک ذره وزن‌دار در یک زمان ثابت، مستقل از نقطه شروع، به یک نقطه ثابت سقوط می‌کند. لاگرانژ این مسئله را در سال ۱۷۵۵ حل کرد و راه حل را برای اویلر فرستاد. آن دو روش لاگرانژ را بیشتر توسعه دادند و آن را در مکانیک به کار بردند که منجر به تدوین مکانیک لاگرانژی شد.

در سال ۱۸۲۲، ژوزف فوریه کار خود را در مورد شارش گرما در کتاب Théorie analytique de la chaleur (نظریه تحلیلی گرما) منتشر کرد،^[۹] که در آن استدلال خود را بر قانون خنک‌سازی نیوتن استوار کرد. در این کتاب پیشنهاد فوریه از معادله گرما برای رسانش واپخشی گرما وجود داشت. در حال حاضر این معادله دیفرانسیل جزئی بخشی مشترک از درس فیزیک ریاضی است.

در حل مسائل کلّی به ثابت انتگرال برمی‌خوریم. به عنوان مثال:

${\displaystyle y'=1\Longrightarrow y=\int 1\operatorname {d} \!x+c=x+c}$

به این معنی که مقدار پادمشتق می‌تواند هر تابع ${\displaystyle x+c}$ (به ازای هر ${\displaystyle c}$ ) باشد. به عبارتی دیگر تابع ${\displaystyle y}$ ممکن است ${\displaystyle y=x+1}$ یا ${\displaystyle y=x+2}$ یا موارد مشابه باشد.

در صورتی که مقدار اوّلیّهٔ ${\displaystyle y}$ را بدانیم، می‌توان آن را به صورت دقیق پیدا کرد. در مثال قبلی، اگر بدانیم ${\displaystyle y(1)=2}$ از این موضوع نتیجه می‌گیریم:

${\displaystyle y(x)=x+c\Longrightarrow y(1)=1+c=2\Longrightarrow c=1\Longrightarrow y(x)=x+1}$

به عنوان مثال، اگر بدانیم سرعت یک جسم (${\displaystyle y'}$ ) برابر ۱ است و همچنین در ثانیهٔ ۱ در مکان ۲ قرار داشته (${\displaystyle y(1)=2}$ )، از روش مذکور برای پیدا کردن معادلهٔ مکان-زمان استفاده می‌کنیم.

معادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد:

• معادلات دیفرانسیل معمولی (به انگلیسی: ordinary differential equation): در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای تنها یک متغیّر مستقل است. یک معادله شامل یک متغیّر مستقل ${\displaystyle x}$ ، تابع ${\displaystyle y(x)}$ و مشتقات آن را یک معادله دیفرانسیل عادی یا معمولی (به انگلیسی: ODE) می‌نامند.
• معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (به انگلیسی: partial differential equation): در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای چندین متغیّر مستقل می‌باشد. معادله‌ای پدید آمده از تابعی با بیش از یک متغیّر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن را معادله دیفرانسیل جزئی (به انگلیسی: PDE) می‌نامند.

خطی

هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه خطی یا غیرخطی بودن تابع پاسخ هم دسته‌بندی کرد. اکثر معادلاتی (معمولی) که در فیزیک به آنها برمی‌خوریم خطی هستند.

اگر درجهٔ مجهول و مشتقاتش یک باشند، آن را خطی و در غیر این صورت غیرخطی می‌نامیم.^[۱۰]

به عنوان مثال، معادلهٔ ${\displaystyle y'=1}$ خطی است ولی معادلهٔ ${\displaystyle (y')^{2}=1}$ غیرخطی است.

به دلیل این که معادلات خطی حل (نسبتاً) ساده‌تری دارند، می‌توان معادلات غیرخطی را با تقریب خطی به معادلات خطی تبدیل و آنها را با روش‌های معمول حل کرد. به این عمل خطی‌سازی می‌گویند.

از کاربردهای فیزیکی این معادلات می‌توان به مدل‌سازی حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن به دست می‌آیند اشاره کرد. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند. همچنین در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو و قانون سرمایش نیوتن کاربرد فراوانی دارد.

مرتبه

مرتبهٔ یک معادلهٔ دیفرانسیل عبارت است از مرتبهٔ مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.

به عنوان مثال، مرتبهٔ معادلهٔ ${\displaystyle y'=1}$ یک است و مرتبهٔ ${\displaystyle y''=1}$ دو است.

همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل غیرخطی نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود.

دستگاه معادلات دیفرانسیل

یک شاخه‌بندی دیگر این معادلات، تعداد مجهول‌های این معادلات است. اگر یک مجهول وجود داشته باشد، یک معادله برای پیدا کردن جواب کافی است. اگر دو مجهول باشد دو معادله نیاز است که تشکیل دستگاه معادلات دیفرانسیل می‌دهند.^[۱۱]

از این معادلات می‌توان به معادله لوتکا-ولترا اشاره کرد که در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی استفاده می‌شود.

معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل (به انگلیسی: First-Order Differential Equations) گروهی از معادلات دیفرانسیل هستند که تنها شامل مشتق مرتبهٔ اوّل تابع مجهول هستند (و البتّه خود آن تابع). اگر ${\displaystyle y(x)}$ تابعی مجهول از متغیّر ${\displaystyle x}$ باشد، یک معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت زیر نمایش داد (که در آن ${\displaystyle f}$ می‌تواند هر تابع پیوسته‌ای باشد):^[۱۰]

${\displaystyle {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}=y\prime =f(x,y)}$

به عنوان مثال ${\displaystyle y\prime =2x}$ یک معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل است (${\displaystyle f=2x}$ ) و حل آن ما را به ${\displaystyle y=x^{2}+c}$ می‌رساند.

یکی از فرم‌های دیگر این معادلات به شکل زیر است:

${\displaystyle M(x,y)\operatorname {d} \!x+N(x,y)\operatorname {d} \!y=0}$

برای حل این معادلات روش کلی وجود ندارد. روش‌های متعدّدی وجود دارد که هر کدام تنها برای دستهٔ خاصی از این معادلات کاربردی هستند. از مهم‌ترین آنها می‌توان به مرتبه اول خطی و مرتبه اول تفکیک‌پذیر اشاره کرد که در ادامه به آنها می‌پردازیم.

قضیهٔ وجود و یکتایی

قضیهٔ پیکارد-لیندلوف (به انگلیسی: Picard–Lindelöf theorem): این معادلات در بازهٔ وجودی‌شان دقیقاً یک جواب دارند. اگر ${\displaystyle f}$ پیوسته باشد، بازهٔ وجودی برابر ${\displaystyle \mathbb {R} }$ است.^[۱۱]

در غیر این صورت، پیدا کردن بازه‌ای که جواب در آن وجود دارد می‌تواند سخت باشد. بازهٔ وجودی جواب شاید هیچ ارتباطی با بازهٔ پیوستگی ${\displaystyle f}$ نداشته باشد.^[۱۱]

اگر توابع ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle {\partial f \over \partial y}}$ در یک مربّع فرضی (مثل ${\displaystyle x\in [X_{1},X_{2}],\ \ \ y\in [Y_{1},Y_{2}]}$ ) پیوسته باشند،

بازه‌ای از ${\displaystyle x}$ (مثل ${\displaystyle x\in [\alpha ,\beta ]\subseteq [X_{1},X_{2}]}$ ) وجود دارد که معادلهٔ ${\displaystyle y\prime =f(x,y)}$ (با مقادیر اوّلیّهٔ دلخواه) در آن جواب دارد.^[۱۱]

توجّه کنید که شروط ذکر شده ضروری نیستند؛ یعنی شاید بتوان به روشی دیگر و بدون کمک گرفتن از این قضیه، بازهٔ وجودی پیدا کرد.

مرتبهٔ اول خطی

در صورتی که درجهٔ ${\displaystyle y}$ و ${\displaystyle y\prime }$ یک باشد به آن خطی گوییم.

در مدارهای RL، به کمک قانون اهم به معادلاتی مشابه ${\displaystyle L{\operatorname {d} \!i \over \operatorname {d} \!t}+Ri=V}$ می‌رسیم (${\displaystyle L}$ و ${\displaystyle R}$ و ${\displaystyle V}$ ثابت و ${\displaystyle i}$ تابعی از ${\displaystyle t}$ ) و برای پیدا کردن ${\displaystyle i}$ باید از معادلات دیفرانسیل مرتبه اوّل خطی کمک بگیریم.^[۱۰]

برنولی

معادلهٔ دیفرانسیل برنولی (به انگلیسی: Bernoulli differential equation) معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت ${\displaystyle y'+p(t)y=q(t)y^{n}}$ نوشت.

برای حل این معادلات می‌توان آنها را با تغییر متغیّر ${\displaystyle u=y^{n-1}}$ به معادلهٔ خطی تبدیل کرد:^[۱۱]

${\displaystyle y'+p(t)y=q(t)y^{n}\Longrightarrow y^{-n}y'+p(t)y^{1-n}=q(t)\Longrightarrow {1 \over 1-n}{\operatorname {d} \!u \over \operatorname {d} \!t}+p(t)u=q(t)\Longrightarrow {\operatorname {d} \!u \over \operatorname {d} \!t}+(1-n)p(t)u=(1-n)q(t)}$

مرتبهٔ اول تفکیک‌پذیر

معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل تفکیک‌پذیر (به انگلیسی: separable first-order differential equations) معادلاتی هستند که بتوان آن‌ها را به فرم دیفرانسیلی زیر نمایش داد (${\displaystyle M}$ و ${\displaystyle N}$ دلخواه):^[۱۲]

${\displaystyle M(x)\operatorname {d} \!x=N(y)\operatorname {d} \!y}$

برای حل این معادله، آن را به فرم زیر می‌نویسیم:

${\displaystyle f(x)=g(y){\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}}$

با فرض این که ${\displaystyle F}$ و ${\displaystyle G}$ پادمشتق ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ باشند:

${\displaystyle F'(x)=G'(y){\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}}$

طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای:

${\displaystyle G'(y){\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!y}G(y){\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!x}G(y)}$

در نتیجه تساوی بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:

${\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!x}F(x)={\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!x}G(y)}$

در نتیجه، با انتگرال‌گیری نسبت به ${\displaystyle x}$ داریم:

${\displaystyle F(x)=G(y)+c}$

به عبارتی دیگر، جواب به صورت زیر به دست می‌آید:^[۱۱]

${\displaystyle \int f(s)\operatorname {d} \!s=\int g(s)\operatorname {d} \!s}$

مرتبهٔ اول همگن

اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم ${\displaystyle M(x,y)\operatorname {d} \!x+N(x,y)\operatorname {d} \!y=0}$ بنویسیم، در صورتی که توابع ${\displaystyle M(x,y)}$ و ${\displaystyle N(x,y)}$ هر دو توابع همگن با درجه (مرتبه) یکسان باشند، آن معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن (به انگلیسی: Homogeneous first-order differential equation) است.^[۱۳]

به عبارتی دیگر ${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)}$ و ${\displaystyle N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)}$ .

توجّه کنید که مرتبهٔ همگنی توابع (${\displaystyle n}$ ) با مرتبهٔ معادله (یک) اشتباه نشود.

حال درصورتی که ${\displaystyle \lambda ={1 \over x}}$ :

${\displaystyle y\prime =f(x,y)={M(x,y) \over N(x,y)}={x^{n}({1 \over x^{n}}M(x,y)) \over x^{n}({1 \over x^{n}}N(x,y))}={x^{n}(\lambda ^{n}M(x,y)) \over x^{n}(\lambda ^{n}N(x,y))}={x^{n}M(\lambda x,\lambda y) \over x^{n}N(\lambda x,\lambda y)}={M(1,{y \over x}) \over N(1,{y \over x})}=f(1,{y \over x})}$

به عبارتی دیگر ${\displaystyle y\prime }$ را می‌توان به صورت تابعی از تنها کسر ${\displaystyle y \over x}$ بیان کرد (${\displaystyle f}$ یک تابع همگن درجه صفر است). این معادلات را می‌توان با تغییر متغیّر ${\displaystyle v={y \over x}}$ به معادلات تفکیک‌پذیر تبدیل کرد.^[۱۱]

به عنوان مثال، معادلهٔ ${\displaystyle {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={y-4x \over x-y}}$ را می‌توان به صورت ${\displaystyle {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={{y \over x}-4 \over 1-{y \over x}}}$ نمایش داد (پس همگن است). با فرض ${\displaystyle v={y \over x}}$ ، می‌توان معادله را به صورت ${\displaystyle {1 \over x}\operatorname {d} \!x={1-v \over v^{2}-4}\operatorname {d} \!v}$ تفکیک کرد. ادامهٔ حل، به روش حل معادلات تفکیک‌پذیر است.

یک حالت خاص

اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل به فرم ${\displaystyle (ax+by+c)\operatorname {d} \!x+(ex+fy+g)\operatorname {d} \!y=0}$ یا ${\displaystyle y'={\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}=-{ax+by+c \over ex+fy+g}}$ باشد، می‌توان معادلهٔ مذکور را با تغییر متغیّر به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد.

جواب‌های دو معادله دومجهولی ${\displaystyle ax+by+c=0}$ و ${\displaystyle ex+fy+g=0}$ به صورت زیر به دست می‌آید (اگر ${\displaystyle af\neq be}$ ):

${\displaystyle \alpha ={cf-bg \over be-af},\quad \beta ={ag-ce \over be-af}}$

سپس با تغییر متغیّر ${\displaystyle X=x-\alpha }$ و ${\displaystyle Y=y-\beta }$ می‌توان معادلهٔ مذکور را به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد:

${\displaystyle {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={\operatorname {d} \!Y \over \operatorname {d} \!X}=-{aX+bY \over eX+fY}}$

مرتبهٔ اول خودگردان

در صورتی که نرخ رشد یک تابع (${\displaystyle y(x)}$ ) تنها به مقدار تابع وابسته باشد، خودگردان (به انگلیسی: autonomous differential equations) نامیده می‌شود: ${\displaystyle y\prime =f(y)}$

رشد نمایی

معادلهٔ رشد نمایی ساده‌ترین نوع معادلات خودگردان است و برای مدل‌سازی رشد بعضی گونه‌ها (مثل میکروب‌ها) استفاده می‌شود. به این معادله «قانون رشد طبیعی» نیز می‌گویند.^[۱۲]

این معادلات را می‌توان به فرم ${\displaystyle y\prime =ry}$ نوشت (${\displaystyle r}$ یک عدد و ${\displaystyle y}$ تابعی از ${\displaystyle t}$ است) و جواب آن برابر ${\displaystyle y=y_{0}e^{rt}}$ است.^[۱۱]

رشد لجستیک

معادلهٔ لُجِستیک یا معادلهٔ ورهولست (به انگلیسی: Verhulst equation or Logistic equation) از انواع معادلات خودگردان است که اوّلین بار توسّط یک ریاضی‌دان بلژیکی (به فرانسوی: Pierre François Verhulst) برای مدل‌سازی رشد جمعیّت معرّفی شد.

به عنوان مثال در حالت کشت سلّول در یک پتری‌دیش، اگر در ابتدا تعداد میکروب‌ها کم باشند به صورت نمایی رشد می‌کنند؛ امّا به دلیل محدود بودن فضای رشد، تعداد آن‌ها از مقدار خاصی فراتر نمی‌رود و سرعت رشد به مرور کاهش پیدا می‌کند. همچنین اگر تعداد اوّلیّهٔ میکروب‌ها از این حد فراتر بود تعدادی از آنها نابود می‌شدند.

این معادلات را می‌توان به فرم ${\displaystyle y\prime =(r-ay)\ y}$ یا به شکل معمول‌ترِ ${\displaystyle y\prime =r(1-{y \over K})\ y}$ نوشت (${\displaystyle K={r \over a}}$ ).

به ثابت ${\displaystyle r>0}$ نرخ رشد ذاتی (به انگلیسی: intrinsic growth rate) گفته می‌شود، زیرا در ابتدا (یعنی ${\displaystyle t=0}$ ) که ${\displaystyle y\thickapprox 0}$ است، ${\displaystyle y\prime \thickapprox ry}$ می‌شود.

به ثابت ${\displaystyle K}$ حد اشباع یا ظرفیّت تحمّل محیطی (به انگلیسی: environmental carrying capacity) گفته می‌شود. تمام توابع لجستیک (با هر مقدار اوّلیّهٔ مثبتی) به ${\displaystyle K}$ میل می‌کنند.

حل این معادلات به صورت زیر است:^[۱۱]${\displaystyle y\prime ={\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!t}=r(1-{y \over K})\ y\Longrightarrow r\operatorname {d} \!t={\operatorname {d} \!y \over {(1-{y \over K})\ y}}=({1 \over y}+{{1 \over K} \over 1-{y \over K}})\operatorname {d} \!y\Longrightarrow \int r\operatorname {d} \!t=\int {1 \over y}+{{1 \over K} \over 1-{y \over K}}\operatorname {d} \!y\Longrightarrow rt+c=\ln y-\ln(1-{y \over K})\Longrightarrow e^{rt+c}={y \over 1-{y \over K}}}$ ${\displaystyle \Longrightarrow y={y_{0}K \over y_{0}+(K-y_{0})e^{-rt}}}$

مرتبهٔ اول کامل

اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم ${\displaystyle M(x,y)\operatorname {d} \!x+N(x,y)\operatorname {d} \!y=0}$ بنویسیم، با فرض این که ${\displaystyle M_{y}(x,y)={\partial {M} \over \partial y}}$ و ${\displaystyle N_{x}(x,y)={\partial N \over \partial x}}$ مشتق‌های جزئی این توابع باشند (که در یک ناحیهٔ خاص پیوسته است)،

معادلهٔ مورد نظر کامل (به انگلیسی: exact differential equations) است اگر و تنها اگر ${\displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)}$ .

به بیانی دیگر معادله کامل است اگر و تنها اگر تابعی مانند ${\displaystyle \psi (x,y)}$ وجود داشته باشد که ${\displaystyle \psi _{x}=M}$ و ${\displaystyle \psi _{y}=N}$ .^[۱۱] در آن صورت ${\displaystyle \psi _{xy}=M_{y}=N_{x}=\psi _{yx}}$ می‌شود.

برای حل این معادلات می‌توان از این روش استفاده کرد:

${\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}=0={\operatorname {d} \!\psi \over \operatorname {d} \!x}+{\operatorname {d} \!\psi \over \operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}=2{\operatorname {d} \!\psi \over \operatorname {d} \!x}\Longrightarrow {\operatorname {d} \!\psi \over \operatorname {d} \!x}=0\Longrightarrow \psi =c}$

در نتیجه با قرار دادن ${\displaystyle \psi (x,y)=c}$ به جواب می‌رسیم.^[۱۱]

عامل انتگرال‌ساز

در بعضی موارد که معادلهٔ ${\displaystyle M(x,y)\operatorname {d} \!x+N(x,y)\operatorname {d} \!y=0}$ کامل نیست می‌توان با یک ترفند آن را به یک معادلهٔ کامل تبدیل کرد و سپس آن را به روش مذکور حل کرد. در این ترفند ساده معادله را در یک عامل انتگرال‌ساز (به انگلیسی: integrating factor) (مثل ${\displaystyle \mu }$ ) ضرب می‌کنیم به صورتی که معادلهٔ به دست آمده (${\displaystyle \mu (x,y)M(x,y)\operatorname {d} \!x+\mu (x,y)N(x,y)\operatorname {d} \!y=0}$ ) کامل باشد.

مشکل این ترفند در پیدا کردن عامل انتگرال‌ساز مناسب است. طبق تعریفِ معادلهٔ کامل برای معادلهٔ جدید:

${\displaystyle (\mu M)_{y}=(\mu N)_{x}\Longrightarrow M\mu _{y}-N\mu _{x}+(M_{y}-N_{x})\mu =0}$

امّا پیدا کردن ${\displaystyle \mu }$ با حل این معادله بسیار دشوار است (همچنین احتمالاً ${\displaystyle \mu }$ یکتا نیست). برای حل این مشکل حدس می‌زنیم که ${\displaystyle \mu _{y}=0}$ باشد و امیدوار می‌مانیم که همین‌طور باشد. اگر با این فرض ${\displaystyle \mu }$ به دست آمد و معادلهٔ ${\displaystyle \mu M\operatorname {d} \!x+\mu N\operatorname {d} \!y=0}$ طبق تعریف کامل شد، به این نتیجه می‌رسیم که فرضمان درست بوده. گاهی نیز با حدس ${\displaystyle \mu _{x}=0}$ می‌توان به جواب رسید.^[۱۱]

یک مثال

معادلهٔ ${\displaystyle 3xy+y^{2}+(x^{2}+xy)y'=0}$ کامل نیست. ${\displaystyle M(x,y)=3xy+y^{2}}$ و ${\displaystyle N(x,y)=x^{2}+xy}$ .

برای پیدا کردن عامل انتگرال‌ساز از حدس ${\displaystyle \mu _{y}=0}$ استفاده می‌کنیم:

${\displaystyle (\mu M)_{y}=(\mu N)_{x}\Longrightarrow -N\mu _{x}+(M_{y}-N_{x})\mu =0\Longrightarrow {\mu _{x} \over \mu }={M_{y}-N_{x} \over N}={1 \over x}\Longrightarrow \mu =x}$

معادلهٔ جدید به صورت ${\displaystyle 3x^{2}y+xy^{2}+(x^{3}+x^{2}y)y'=0}$ به دست می‌آید.

باید بررسی کنیم که آیا معادلهٔ جدید کامل هست یا نه، زیرا شاید حدسمان اشتباه بوده. پس از بررسی (تعریف کامل بودن) مشاهده می‌کنیم که معادله کامل شده. حال باید معادلهٔ کامل را حل کنیم تا جواب به دست بیاید.

تابعی مانند ${\displaystyle \psi (x,y)}$ وجود دارد که ${\displaystyle \psi _{x}=M=3x^{2}y+xy^{2}}$ و ${\displaystyle \psi _{y}=N=x^{3}+x^{2}y}$ .

${\displaystyle \psi =\int \psi _{x}\operatorname {d} \!x=\int M\operatorname {d} \!x=x^{3}y+{1 \over 2}x^{2}y^{2}+h(y)\Longrightarrow \psi _{y}=x^{3}+x^{2}y+h'(y)}$

از طرفی می‌دانستیم که ${\displaystyle \psi _{y}=N=x^{3}+x^{2}y}$ . پس:

${\displaystyle \psi _{y}=x^{3}+x^{2}y+h'(y)=x^{3}+x^{2}y\Longrightarrow h'=0\Longrightarrow h=c}$

${\displaystyle \Longrightarrow \psi =x^{3}y+{1 \over 2}x^{2}y^{2}+c}$

برای حل معادلات کامل باید از ${\displaystyle \psi =c}$ استفاده کرد:

${\displaystyle x^{3}y+{1 \over 2}x^{2}y^{2}=c}$

در ادامه می‌توان ${\displaystyle y}$ را بر حسب ${\displaystyle x}$ به دست آورد.

همچنین توجّه داشته باشید که ${\displaystyle \mu }$ یکتا نبود. به عنوان مثال ${\displaystyle \mu ={1 \over xy(2x+y)}}$ یک عامل انتگرال‌ساز دیگر است که به کمک آن باز هم به همین جواب می‌رسیم.^[۱۱]

• قانون دوم نیوتن در دینامیک (مکانیک)
• معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک
• واپاشی هسته‌ای در فیزیک هسته‌ای
• معادله موج
• معادلات ماکسول در الکترومغناطیس
• معادلات پواسن
• معادله لاپلاس که توابع هارمونیک را تعریف می‌کند
• مسئله منحنی کوتاه‌ترین زمان.
• فرمول انیشتین.
• قانون گرانش نیوتن.
• معادله شرودینگر در مکانیک کوانتوم
• معادلات ناویه-استوکس در دینامیک شاره‌ها
• معادلات کوشی-ریمان در آنالیز مختلط
• معادله پواسون-بولتزمن در دینامیک ملکولی
• معادله موج برای تار مرتعش.
• نوسانگر همساز در مکانیک کوانتومی.
• نظریه پتانسیل.
• معادله موج برای غشای مرتعش.
• معادلات شکار و شکارچی.
• مکانیک غیر خطی.
• مسئلهٔ مکانیکی آبل.
• معادلات دسته لین-امدن
• معادله ابرگاز کروی
• معادله کوتوله سفید
• معادلات امدن-فاولر
• معادله جمعیتی ولترا
• معادله توماس فرمی
• معادله بلاسیوس
• معادله فالکنر اسکن
• معادله فوکر-پلانک
• معادله لوتکا ولترا در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی
• معادله زابولوتسکایا-خوخولوف
• معادله برنولی

• مدل‌سازی ریاضیاتی

• سیمونز آرش دارابی فرد ج.اف. معادلات دیفرانسیل و کاربرد آنها، ترجمه:علی اکبر بابایی، مرکز نشر دانشگاهی، چاپ یازدهم
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Differential equation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

• معادلات دیفرانسیل در متلب