تفرقی مساوات

تفرقی مساوات کا نظریہ (theory) کافی ترقی کر چکا ہے اور اب کو اس کی قسم کے لحاظ سے پڑھا جاتا ہے۔

عام اور جزوی تفرقی مساوات

• عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)

یہ وہ تفرقی مساوات ہوتی ہے جس میں تفاعل (function) میں صرف ایک آزاد متغیر (independent variable) ہوتا ہے۔ اس لیے اس میں عام مشتق (derivative) لیا جاتا ہے۔

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.}$

عمومی طور پر ہم اس کو اس طرح لکھ سکتے ہیں۔

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \cdots ,\ y^{(n)}\right)=0}$

• جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)

اس تفرقی مساوات میں تفاعل (function) میں ایک سے زیادہ آزاد متغیر (independent variable) ہوتا ہے اس لیے اس میں جزوی مشتق (partial derivative) لیا جاتا ہے۔

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

عمومی طور پر ہم اس کو اس طرح لکھ سکتے ہیں۔

${\displaystyle F(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n},\,u,\,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},\ldots )=0}$

لکیری اور غیر لکیری تفرقی مساوات

• لکیری تفرقی مساوات (linear differential equation)

اس تفرقی مساوات میں نامعلوم تفاعل (function) اور اس کے مشتق (derivative) کی وقت ایک ہوتی ہے۔

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.}$

• غیر لکیری تفرقی مساوات (nonlinear differential equation)

اس تفرقی مساوات میں نامعلوم تفاعل (function) اور اس کے مشتق (derivative) کی وقت ایک سے زیادہ ہوتی ہے۔ یہ تفرقی مساوات کسی بہت ہی مشکل حقیقی زندگی کے مسئلے کی مثیل (model) ہوتی ہے اور اسے حل کرنا بہت مشکل ہوتا ہے۔

${\displaystyle L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.}$

تفرقی مساوات کو دو مختلف طریقوں سے حل کیا جاتا ہے۔ پہلا تجزیاتی طریقہ (analytical method) ہے۔ اس میں ہم ایسا فنکشن (function) معلوم کرنے کی کوشش کرتے ہیں جو اس مساوات کو حل کر سکے۔ مگر اکثر تجزیاتی طریقے سے تفرقی مساوات کو حل کرنا مشکل یا ناممکن ہوتا ہے۔ ایسی صورت میں تفرقی مساوات کو عددی طریقہ (numerical method) سے حل کرتے ہیں اور مطلوبہ فنکشن (function) کی خصوصیات پتہ کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔

تجزیاتی طریقہ

تفرقی مساوات کو حل کرنے کا مطلب ہے کہ ایک ایسا فنکشن (function) معلوم کرنا جس کا اگر مشتق (derivative) تفرقی مساوات میں دیے گئے طریقے سے کیا جائے تو وہ ایک درست مساوات ہو۔ مثال کے طور پر اگر ہم یہ کہیں کہ وہ کون سا فنکشن (function) ہے جس کا مشتق (derivative) اسی کے برابر ہے۔ اسے اگر ہم تفرقی مساوات کی صورت میں لکھنا چاہیں تو اس طرح لکھیں گے۔

${\displaystyle y={\frac {dy}{dx}}}$

یہ شاید سب سے آسان تفرقی مساوات ہے۔ بظاہر اس کا حل بہت آسان ہے اور زبانی بھی نکالا جا سکتا ہے۔ ہم جانتے ہیں کہ ایک ایسا فنکشن(function) ہے جس کا مشتق (derivative) وہ خود ہوتا ہے۔

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}}$

اس کا مطلب ہے کہ مندرجہ بالا تفرقی مساوات کا حل یہ فنکشن (function) ہے۔

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

یہاں یہ بات اہم ہے کہ ہم دائم (constant) کو نظر انداز کر رہے ہیں۔ اگر ہم دائم کو بھی شامل کریں تو ایک تفرقی مساوات کے لامتناہی حل ہو سکتے ہیں اور کوئی خاص حل جاننے کے لیے ہمیں مزید معلومات چاہیے ہوتی ہیں۔ یہاں یہ بات قابل ذکر ہے کہ اسی دالہ (exponential function) کی یہ بہتر تعادیف ہے کہ یہ فنکشن (function) مندرجہ ذیل تفرقی مساوات کا حل ہے

${\displaystyle y'=y}$

جبکہ ${\displaystyle y(0)=1}$ ہو۔

اسی طرح سے ہم یہ سوال بھی کر سکتے ہیں کہ وہ کون سا فنکشن (function) ہے جس کا دوسرا مشتق (second derivative) اور فنکشن کا حاصل جمع صفر کے برابر ہو۔ اسے ہم اس طرح لکھیں گے۔

${\displaystyle y+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$

یہاں مثال کے طور پر اس فنکشن کو دیکھتے ہیں۔

${\displaystyle f(x)=sin(x)}$

اس کا پہلا اور دوسرا مشتق (derivative) ہے۔

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dsin(x)}{dx}}=cos(x)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}sin(x)}{dx^{2}}}=-sin(x)}$

اب اگر ہم دوسرے مشتق (derivative) کو اصل فنکشن (function) میں جمع کریں گے تو جواب صرف آئے گا۔

${\displaystyle y+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$

${\displaystyle sin(x)-sin(x)=0}$

اس تفرقی مساوات (differential equaation) کا حل یہ فنکشن (function) ہے۔

${\displaystyle f(x)=sin(x)}$

مگر اہم بات یہ ہے کہ ایک اور فنکشن (function) بھی یہی خصوصیات رکھتا ہے۔

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dcos(x)}{dx}}=-sin(x)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}cos(x)}{dx^{2}}}=-cos(x)}$

${\displaystyle y+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$

${\displaystyle cos(x)-cos(x)=0}$

اس کا مطلب ہے کہ تفرقی مساوات کے ایک سے زیادہ حل ہو سکتے ہیں۔

عددی طریقہ

اکثر تفرقی مساوات کو تجزیاتی طریقے سے حل کرنا مشکل یا ناممکن ہوتا ہے۔ ایسی مساوات کو ہم نظریۂ عدد (numerical analysis) کی مدد سے حل کرتے ہیں۔ اس طرح سے تفرقی مساوات کو حل کرنے کے بہت سارے طریقے ہیں مگر سب سے آسان طریقہ اویلر کا طریقہ ہے۔ اس طریقے سے عام تفرقی مساوات کا قریبی حل نکالا جا سکتا ہے۔ مشہور سوئس ریاضی دان لیونہارڈ اویلر نے یہ طریقہ دریافت کیا۔ اس طریقے میں ہم تفرقی مساوات کو ابتدائی قدر (initial value) کی مدد سے حل کرتے ہیں۔

اس کا بنیادی خیال یہ ہے کہ ہم ایک نامعلوم منحنی (curve) کو ڈھونڈ رہے ہیں جس کا ہمیں صرف ابتدائی نقطہ ${\displaystyle A_{0}}$ معلوم ہے۔ وہاں سے ہم اس کے مماسی خط (tangent line) پر ایک چھوٹا سا قدم لیتے ہیں اور نئے مقام ${\displaystyle A_{1}}$ پر پہنچ جاتے ہیں۔ یہاں یہ خیال رہے کہ ہمارا قدم اتنا چھوٹا ہونا چاہیے کہ منحنی (curve) اور خط کی ڈھلوان (slope) تقریباً ایک جیسا ہو۔ ہم اس عمل کو بار بار دہراتے رہتے ہیں اور نئے نئے نقاط ${\displaystyle A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}\dots }$ حاصل کرتے رہتے ہیں۔ اگر ہمارا قدم بہت چھوٹا ہو تو یہ نقاط منحنی (curve) کے بہت قریت ہوں گے اور اس کے مدد سے ہم منحنی (curve) حاصل کر لیں گے۔

فرض کریں کہ ہماری تفرقی مساوات اور ابتدائی قدر مندرجہ ذیل ہے۔

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0}.}$

اگر ہمارے قدم کی قدر h ہو تو اویل کے طریقے سے ہمارا اگلا قدم ${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$ ہو گا۔ اور منحنی کا اگلا نقطہ ہم اس طریقے سے نکال سکتے ہیں۔

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).\qquad \qquad }$

• عام تفرقی مساوات (ordinary differential equation)
• جزوی تفرقی مساوات (partial differential equation)
• تاخیری تفرقی مساوات (delay differential equation)
• عشوائی تفرقی مساوات (stochastic differential equation)
• الجبرائی تفرقی مساوات (differential algebraic equation)

• تفرقی مساوات کا استعمال
• تفرقی مساوات کے درست حل۔
• میٹ لیب کے مثیل۔آرکائیو شدہ (Date missing) بذریعہ hedengren.net (Error: unknown archive URL)
• تفرقی مساوات کی ابتدائی درسی کتاب۔
• خان اکادمی کی تفرقی مساوات کی ویڈیوز۔